2025高考数学一轮复习-第5章-第3节 平面向量的数量积及其应用【课件】

第五章平面向量、复数第3节平面向量的数量积及其应用1.理解平面向量数量积的含义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE|a||b|cosθ|a||b|cosθ3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.1.有关向量夹角的两个结论已知向量a，b(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.常用结论与微点提醒×解析(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.√√×2.(必修二P34例11改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，设a，b的夹角为θ，则cosθ＝________.

3.(必修二P21例13改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k＝________.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一数量积的计算B解析法一由题意知，A感悟提升1.计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积.(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.2.数量积最值(范围)的解法：(1)坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.(2)向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.CA解析由已知条件得|a＋b|2＝|a－b|2，即a·b＝0.22解析如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，考点二数量积的应用D解析因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ).因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.角度1夹角与垂直例2(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(

)A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1 C.λμ＝1 D.λμ＝－1D所以c＝－a－b，等式两边同时平方得c2＝a2＋b2＋2a·b，即2＝1＋1＋2a·b，解得a·b＝0.法一

a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，所以(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，则a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝－a－b＝(－1，－1)，所以a－c＝(2，1)，b－c＝(1，2)，即2a·b＝a2＋b2－3.①由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，结合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是________________.解析a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，感悟提升2.求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数求解；（2）几何法，利用模的几何意义求解.训练2(1)(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(

)A.2 B.3 C.4 D.5D解析由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，B解析由题意知a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，(3)(多选)(2024·武汉调研)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是(

)A.若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b B.若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b)C.若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直 D.(b·c)a－(a·c)b不与c垂直AB解析a，b，c是三个非零向量，对于A，|a＋b|＝|a－b|两边平方得(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，则a⊥b，故A正确；对于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，因为|a|＝|b|，所以(a＋b)·(a－b)＝0，故(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；对于C，a·c＝b·c，故a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，则a－b与c垂直，故C错误；对于D，[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，故(b·c)a－(a·c)b与c垂直，故D错误.7拓展视野

极化恒等式解析设A，B，C三点所在圆的圆心为O，取AB中点D，因为A，B，C三点在圆上，所以CD长度最大为r＋d，其中d为圆心O到弦AB的距离，D课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIANA解析(a－b)·(b－2a)＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－2a2B解析因为平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，AC解析因为a，b为单位向量，|3a－5b|＝7，所以(3a－5b)2＝49，即9a2－30a·b＋25b2＝49，5.平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1，0)的夹角是钝角，则b＝(

) A.(－3，－4)

B.(4，3) C.(－4，3) D.(－4，－3)DA7.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(

)A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c)C.a·b≤|a|·|b| D.|a－b|≤|a|＋|b|ACD解析根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不一定成立；根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.8.已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为________.－2e解析设a与b所成的角为θ，9.(2023·赣州摸底)已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k).若(2a－b)⊥(2a＋b)，则实数k的值为________.±2解析因为a＝(1，2)，b＝(4，k)，所以2a－b＝(－2，4－k)，2a＋b＝(6，4＋k).又(2a－b)⊥(2a＋b)，所以(2a－b)·(2a＋b)＝－2×6＋(4－k)(4＋k)＝4－k