自动控制技术及应用（第2版）课件 单元2 自动控制系统数学模型建立

自动控制系统数学模型建立

授课教师：陈慧蓉层间水沸石水系统数学模型在控制系统的分析和设计中，建立系统的数学模型是首要工作。数学模型即描述系统（或元件）动态特性的数学表达方式。微分方程：最基本直接的方法，时域数学模型传递函数：复域数学模型，古典控制理论中最为重要，工程上用得最多图形表示：框图（方框图、动态结构图）信号流图频率特性：频域数学模型数学模型的表示形式借助于拉普拉斯变换数学工具PART-01拉氏变换及其应用

拉氏变换

拉普拉斯变换定义定义：对于定义在[0,∞)区间上的时变量函数f(t)，有复变量函数

拉氏变换

拉普拉斯变换定义复变量函数F(s)称为时变量函数f(t)的拉氏正变换。记作：

拉氏变换是一种单值变换拉普拉斯变换定义说明

常用函数拉氏变换值拉氏变换的定义得到7个常用函数的拉氏变换值需记住方便以后使用

常用函数拉氏变换值拉氏变换的定义得到7个常用函数的拉氏变换值需记住方便以后使用

单位阶跃函数常用函数拉氏变换值拉氏变换的定义得到7个常用函数的拉氏变换值需记住方便以后使用

单位斜坡函数（等速度函数）常用函数拉氏变换值拉氏变换的定义得到7个常用函数的拉氏变换值需记住方便以后使用

单位抛物线函数（等加速度函数）常用函数拉氏变换值拉氏变换的定义得到7个常用函数的拉氏变换值需记住方便以后使用

单位脉冲函数

常用函数拉氏变换值拉氏变换的定义得到7个常用函数的拉氏变换值需记住方便以后使用

指数函数

常用函数拉氏变换值拉氏变换的定义得到7个常用函数的拉氏变换值需记住方便以后使用

正弦函数常用函数拉氏变换值拉氏变换的定义得到7个常用函数的拉氏变换值需记住方便以后使用

余弦函数拉氏变换变换及应用拉氏变换的运算定理积分定理微分定理32知识网络1线性定理终值定理延迟定理654位移定理拉氏变换的运算定理1线性定理已知：则：随堂练习解：根据线性定理得：拉氏变换的运算定理2微分定理零初始状态：则：上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的阶导数的拉氏式等于其象函数乘以。随堂练习解：根据微分定理得：RLC的微分方程：则：随堂练习拉氏变换的运算定理3积分定理零初始状态：则：拉氏变换的运算定理4位移定理已知：则：分析频域特性，下式在上式的基础上平移α个单位随堂练习解：根据位移定理得：拉氏变换的运算定理5延迟定理当原函数

延迟时间得

，其拉氏式为：随堂练习解：上图可分解为：根据线性定理得：根据延迟定理得：拉氏变换的运算定理6终值定理

条件：sF(s)的全部极点除坐标原点外应全部分部在s平面的左半平面

终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。零点？极点？讨论：拉氏变换运算定理讨论什么是零点？什么是极点？零点在s平面上如何表示？极点在s平面上如何表示？

拉氏反变换拉氏反变换定义记作：

利用分解定理求拉氏反变换

拉氏反变换的求解方法中，较为简单的方法有两种，一种是查表（拉氏变换表）；一种是利用分解定理（部分分式法）。的有理分式形式如下：注：有理式的分母多项式阶次高于分子多项式阶次。分母的因式分解如下：可将转换成若干分量的和：可得原函数：1A(s)=0无重根情况可将F(s)展开成n个简单的分式之和，即利用分解定理求拉氏反变换1A(s)=0无重根情况利用分解定理求拉氏反变换随堂练习解：进行部分分式展开得：微分方程微分方程的解拉氏式(代数式)拉氏变换拉氏变换求解微分方程应用拉氏变换求解微分方程的步骤如下：困难1微分方程微分方程的解拉氏式(代数式)拉氏变换拉氏变换求解微分方程应用拉氏变换求解微分方程的步骤如下：困难1输出量象函数2解代数方程微分方程微分方程的解拉氏式(代数式)拉氏变换拉氏变换求解微分方程应用拉氏变换求解微分方程的步骤如下：困难1输出量象函数2解代数方程拉氏反变换3

开关S闭合前，电路处于零初始状态，即：uc(0-)=0，试求开关S闭合后，电容的端电压uc(t)。解：确定微分方程阶跃输入：即：RC电路例RC电路例12部分展开3

63.2%86.5%95%98.2%99.3%响应曲线PART-02时域数学模型——微分方程系统微分方程建立微分方程的建立步骤如下：4321确定系统输入量、输出量根据相应的物理定义列方程消除中间量，留下输入输出量化为标准形式，即降幂形式步骤2是关键机械位移系统例1确定输入量、输出量输入量F输出量y

(t)Fy(t)kfmFy(t)2列写方程m根据牛顿第二定律，可得：机械位移系统例Fy(t)kfmFy(t)2列写方程根据牛顿第二定律，可得：物体的加速度a，为：3消除中间变量4转换标准形式RLC电路例1确定输入量、输出量

2列写方程根据基尔霍夫电压定理。可得：1RLC电路例2列写方程根据基尔霍夫电压定理。可得：1电容的伏安关系可表示为：3消除中间变量4转换标准形式RLC电网络：系统微分方程建立机械位移系统:Fy(t)kfm微分方程：微分方程：虽物理结构不同，但具有相同形式的微分方程，称这些系统为相似系统。PART-03复域数学模型——传递函数传递函数的定义传递函数：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换式。G(s)随堂练习试写出下图RLC串联电路的传递函数拉普拉斯变换传递函数的性质唯一性1传递函数是在零初始条件下定义的2传递函数反映系统固有特性，只取决于系统的结构和参数，而与系统的输入无关3传递函数是复变量S的有理分式函数4m<n阶次例传递函数的分母多项式A(s)=0称为系统特征方程5问：该系统为几阶系统？系统特征方程？以及系统的零点、极点分别多少，在s平面上如何表示呢？已知：某系统传递函数

零极点形式传递函数的两种表现形式6典型环节形式根轨迹增益系统增益注意：通常所说的增益是典型环节形式下的增益k而不是零极点形式下的增益。零点z，极点p时间常数

τ零极点形式典型环节形式/2/2问：该系统的增益为多少？分子分母除以2传递函数的求取由定义求取传递函数1用复阻抗法求电网络传递函数2由定义求取传递函数1

建立系统（或环节）微分方程，根据拉氏变换的时域微分性对此微分方程进行拉氏变换，然后根据传递函数定义求出系统（或环节）传递函数。随堂练习试写出下图RLC串联电路的传递函数拉普拉斯变换用复阻抗法求电网络传递函数2复阻抗

对于任一二端电网络，设初始条件为零，电路两端间电压的拉氏变换为U(s)，通过元件的电流的拉氏变换为I(s)，二端电路的复阻抗为Z(s)

基本线性元件有三种，电阻R，电感L，电容C，它们的复阻抗分别为：电阻元件01时域电路模型拉氏变换复数域电路模型

基本线性元件有三种，电阻R，电感L，电容C，它们的复阻抗分别为：电感元件02时域电路模型拉氏变换复数域电路模型

基本线性元件有三种，电阻R，电感L，电容C，它们的复阻抗分别为：电容元件03时域电路模型拉氏变换复数域电路模型RLCui(t)i(t)uo(t)时域电路模型复数域电路模型RLCRsLUi(s)I(s)Uo(s)RLC电路例

复数域电路模型RLCRsLUi(s)I(s)Uo(s)RLC电路例

典型环节的数学模型积分环节3惯性环节21比例环节延迟环节6振荡环节54微分环节典型环节的数学模型微分方程比例环节1传递函数与功能框动态响应典型环节的数学模型微分方程惯性环节2传递函数与功能框动态响应典型环节的数学模型微分方程积分环节3传递函数与功能框动态响应典型环节的数学模型微分方程理想微分环节4传递函数与功能框动态响应典型环节的数学模型理想微分环节只是数学上的近似，实际微分环节总是有惯性的实际微分环节4传递函数与功能框动态响应典型环节的数学模型微分方程比例微分环节4传递函数与功能框动态响应典型环节的数学模型微分方程振荡环节5传递函数与功能框注意典型环节的数学模型振荡环节5传递函数与功能框动态响应c(t)0t1典型环节的数学模型微分方程延迟环节4传递函数与功能框动态响应典型环节的数学模型延迟环节4传递函数与功能框延时环节的实例，如晶闸管整流电路，当控制电压改变时，由于晶闸管导通后即失控，要等到下一个周期开始后才能响应，这意味着，在时间上会造成延迟，对于单相全波电路，平均延时时间PART-04控制系统方框图

方框图又称动态结构图，是系统数学模型的一种图形表示方法，它可以形象描述自动控制系统各单元之间和各作用量之间的相互联系，具有简明直观，且可利用等效变换方法方便求出系统传递函数，故在自动控制系统的分析中得到广泛应用。方框图的组成与建立方框图的组成

由四种基本符号构成信号线：是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向。在直线旁标记信号的时间函数或时间函数的拉氏变换表达式.R(s)功能框：又称环节，表示对信号进行的数学变换。框中写入元件或系统的传递函数。G(s)R(s)C(s)C(s)C(s)引出点：又称分支点、测量点，分点表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。比较点：又称综合点或和点R(s)－B(s)E(s)

R(s)方框图的组成ABCDR(s)－－C(s)－信号线：R(s)动态结构图E(s)X(s)B(s)R(s)方框图的组成ABCDR(s)6－－C(s)－AA功能框：E(s)X(s)B(s)E(s)X(s)

动态结构图信号线：R(s)R(s)方框图的组成ABCDR(s)6－－C(s)－AE(s)X(s)B(s)C(s)C(s)A功能框：E(s)信号线：R(s)引出点：X(s)动态结构图（分支点）R(s)方框图的组成ABCDR(s)6－－C(s)－AE(s)X(s)B(s)C(s)C(s)A功能框：E(s)信号线：R(s)引出点：比较点：（综合点或和点）R(s)－B(s)E(s)X(s)

动态结构图方框图的建立绘制系统方框图一般步骤为：①根据系统工作原理，分解各环节，确定各环节的输入量和输出量，求出个环节传递函数并画出各环节的功能框。②确定系统的输入量和输出量，从输入量开始，从左到右，根据相互作用的顺序，依次画出各环节，直至得出所需的输出量。③最后由内到外画出各反馈环节，完成整个系统的方框图。两级RC网络方框图建立1对各元件分别列写复域方程和绘制方框图电阻R1：

两级RC网络方框图建立1电阻R1：

电容C1：

对各元件分别列写复域方程和绘制方框图两级RC网络方框图建立1电阻R1：

电容C1：

电阻R2：

对各元件分别列写复域方程和绘制方框图两级RC网络方框图建立1电阻R1：

电容C1：

电阻R2：

电容C2：

对各元件分别列写复域方程和绘制方框图两级RC网络方框图建立2绘制输入到输出的通路电阻R1：

电容C1：电阻R2：

电容C2：

两级RC网络方框图建立3画出各反馈环节

两级RC网络方框图建立3画出各反馈环节

两级RC网络方框图建立3画出各反馈环节

两级RC网络方框图建立3画出各反馈环节

有关方框图的几个概念前向通路：沿信号传递方向，即箭头指向，从系统的输入端到输出端的信号通路，称为前向通路反馈通路：从输出端返回到输入端的信号通路

ABCDR(s)C(s)___

前向通道ABCDR(s)C(s)___

R(s)C(s)ABCDEF__

前向通路1

前向通路2

回路：若通路的终点就是始点，且通路中各点要过只经过一次ABCDR(s)C(s)___L1回路传函：-ABL1L2回路传函：-BCL2L3回路传函：-CDL3不接触回路：回路中没有公共部分称为互不接触回路。有关方框图的几个概念ABCDR(s)C(s)___L1回路传函：-ABL2回路传函：-BCL3回路传函：-CDL1L3L1与L3为两两不接触回路回路：若通路的终点就是始点，且通路中各点要过只经过一次不接触回路：回路中没有公共部分称为互不接触回路。有关方框图的几个概念方框图的等效变换与简化串联并联反馈等效变换的原则是：变换前后系统的输入量和输出量都保持不变。方框图有三种基本连接方式：串联连接等效变换R(s)G1(s)X(s)G2(s)C(s)R(s)C(s)G(s)

串联连接等效变换R(s)G1(s)X(s)G2(s)C(s)R(s)C(s)G(s)

结论：串联时，等效传函等于各串联传函的乘积并联连接等效变换R(s)G1(s)G2(s)C(s)X1(s)X2(s)R(s)C(s)G(s)并联连接等效变换R(s)G1(s)G2(s)C(s)X1(s)X2(s)R(s)C(s)G(s)

并联连接等效变换R(s)G1(s)G2(s)C(s)X1(s)X2(s)R(s)C(s)G(s)

结论：并联时，等效传函等于各并联传函的代数和反馈连接等效变换R(s)G(s)C(s)H(s)B(s)E(s)_R(s)C(s)Φ(s)为闭环传递函数反馈连接等效变换R(s)G(s)C(s)H(s)B(s)E(s)_R(s)C(s)Φ(s)为闭环传递函数

反馈连接等效变换R(s)G(s)C(s)H(s)B(s)E(s)_R(s)C(s)Φ(s)为闭环传递函数

+++反馈连接等效变换R(s)G(s)C(s)H(s)B(s)E(s)_R(s)C(s)

注意：区别开环传递函数与开环系统的传递函数反馈连接等效变换R(s)G(s)C(s)H(s)B(s)E(s)_注意：区别开环传递函数与开环系统的传递函数开环传递函数是针对闭环系统而言，是假设反馈断开反馈连接等效变换R(s)G(s)C(s)H(s)B(s)E(s)_闭环系统的开环传递函数开环传递函数是针对闭环系统而言，是假设反馈断开

简化方框图例R(s)C(s)G1G2G3G6－G5＋G4＋－串联简化方框图例R(s)C(s)G1G2G3G6－G5＋G4＋－并联简化方框图例R(s)C(s)G1G2G3G6－G4+G5反馈简化方框图例R(s)C(s)G1

G6－串联简化方框图例R(s)C(s)

G6－反馈简化方框图例R(s)C(s)

ABCDUi(s)132654－－－－－在一些复杂系统的方框图中，三种基本连接方式常存在交叉现象。Uo(s)引出点和比较点的移动出现交叉出现交叉移动的两条基本原则：移动前后前向通道的传函保持不变移动前后回路的传函保持不变。引出点和比较点的移动注意：移动时不能改变原系统性质简化方框图例引出点和比较点的移动ABCDUi(s)132654－－－－－Uo(s)出现交叉出现交叉ABCD132654－－－－－简化方框图例Ui(s)Uo(s)前向通道传函为：ABCD引出点和比较点的移动ABCD132654－－－－－简化方框图例Ui(s)Uo(s)前向通道传函为：ABCDⅠⅡⅢ回路传函分别为：-BC,-AB,-CD引出点和比较点的移动ABCD132654－－－－－简化方框图例Ui(s)Uo(s)前向通道传函为：ABCDⅠⅡⅢ回路传函分别为：-BC,-AB,-CD-AB与-CD为两两不接触回路引出点和比较点的移动ABCD132654－－－－－简化方框图例Ui(s)Uo(s)C引出点和比较点的移动ABCD132654－－－－－简化方框图例Ui(s)Uo(s)C因为改变了原系统的性质。ⅠⅢ-BC与-CD移动前接触，移动后两两不接触回路引出点和比较点的移动ABCD132654－－－－－简化方框图例Ui(s)Uo(s)C因为改变了原系统的性质。ABCD132654－－－－－Ui(s)Uo(s)－A引出点和比较点的移动ABCD132654－－－－－简化方框图例Ui(s)Uo(s)ⅠⅠ回路传递函数为-BC引出点和比较点的移动ABCD132654－－－－－简化方框图例Ui(s)Uo(s)ⅠⅠ回路传递函数为-BC1/AD引出点和比较点的移动ABCD132654－－－－简化方框图例Ui(s)Uo(s)1/AD引出点和比较点的移动CD13654－－简化方框图例Ui(s)Uo(s)1/AD

引出点和比较点的移动136－简化方框图例Ui(s)Uo(s)1/AD

引出点和比较点的移动16简化方框图例Ui(s)Uo(s)

引出点和比较点的移动梅逊公式及应用为特征式∑Li为各回路传递函数之和∑LiLj为所有两两互不接触回路传递函数乘积之和∑LiLjLz为所有三个互不接触回路传递函数乘积之和

ⅠⅡⅢL1=-BCL2=-ABL3=-CD梅逊公式及应用求系统闭环传函例找回路1ⅠⅡⅢL1=-BCL2=-ABL3=-CD梅逊公式及应用求系统闭环传函例找回路1找不接触回路2ⅡⅢ

梅逊公式及应用为特征式∑Li为各回路传递函数之和∑LiLj为所有两两互不接触回路传递函数乘积之和