2022年中考数学复习专题 几何压轴题题型分类

专题训练一平移问题

基本模型

经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共

线）且相等，因此可以通过平移构造平行四边形，转移线段和角.

（基本模型图2）

如图1,将线段CD进行平移可得到线段EA,连接EC,AD.

根据平移的性质，得CD幺EA.

・•・四边形CDAE是平行四边形.・・・EC〃AD.

同理，四边形CDFA、四边形CDBG和四边形CDHB均为平行四边形.

如图2,平移线段AB,即可得到口ABCP、口ABDM、口ABND和叫BQC.

典型题

在RtZXBAC中，ZA=90°,D,E分别为AB,AC上的点.

（1）如图1,CE=/\B,B3AE,过点C作C卜〃EB,且CF=EB,连接D卜交EB于点G,连接出,

求战的值;

（典型题图1）（典型题图2）

拓展题

1.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC，NBAC-90。一£/CAD,AC与BD相交于点E,且NBEC-60°,

若AD=5,BD=15,求AC的长.

（1题图）

2.如图，在AABC中，点D在AB的延长线上，点E在BC上，AC=BC=AD=DE,BE=BD,求NBAC

的度数.

（2题图）

3.阅读下面材料：

数学课上，老师出示了下列问题：

（1）如图1,过点B作AB的垂线BD,延长AB到点C,使AC=BD,延长BD到点E,使ED=CB,

连接AE,CD,且CD的延长线交AE于点F,求NAFC的度数；

（2）如图2,在AABC中,AB=AC=5m,D是边BC上一点,连接AD,延长CB到点E,使BE=kAD,

过点E作EF_LAD,交AD的延长线于点F.若AF=kCD,tanC=求EF的长.（用含m,k的式

子表示）

（3题图1）

同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现NAFC的度数等于45°”

小伟：“通过平移线段AC,BD,ED,BC中的一条线段，可以构造两个全等三角形，进而可以

获得等腰直角三角形,那么NAFC的度数等于45°这一结论也就显而易见了.”

老师：“只要类比小伟平移线段构造全等三角形的思路与方法，那么（2）的问题就能迎刃而

解.”

请你根据上面的材料，完成上面的两个问题的解答过程.

4.如图,在四边形ABCD中,ADIIBC,AD+BC=BD,AC与BD相交于点F。

(1)求证：4BCF为等腰三角形；

(2)如图2,若NBAC=45°,且AF：FC=1：求证：ZDBC=2ZABD：

(3)如图3,若NBAC=60°,点E在AD上，ZACE=ZABD,AD=2,CE=5,求线段

BD的长；

专题训练二作平行线构造全等或相似

基本模型

本模取图2）

（林木模欧图I）

如图1：在AABC中，D为AB边上一点。

过点D作DE||BC交AC于点E。

ZADE=ZB,ZAED=ZC,ADEABC.

如图2：在AABC中，I）为BA的延长线上一点。

过点D作DE||BC交CA的延长线于点Eo

•••ND=NB,NE=NC,MADEABC.

典型题

⑴如图1,在AABC中，D是BC的中点，E是AC上的一点，拶=\连接AD与BE相交

EC3

于点F,求知勺值。

小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法，从而解决了问题。

下面是小明的解法：

解：过点C作CH||BE交AD的延长线于点H（如图1-1）

VCH||BE,D是BC的中点，

.FHBC2

•h而=7

・・・CHIIFE嚷吟

,AF_AE_1

,•而=诟=3

.AFAFFH122

••-=--♦--=_*一=一.

FDFHFD313

小英添加的辅助性是：过点D作DG||BE交AC于点G（如图1-2）

小聪添加的辅助性是:过点A作AM||BE交CB的延长线于点M（如图1-3）.

请你在小英和小聪添加的辅助线中选择一种完成解答;

(典型题图D(兵礴图].])

1-2）

(典型题图1-3)

拓展题

1.(1)如图L在aABC中，D为边BA的延长线上的点，过点D作DEIIBC交CA的延长线

于点E,若染=T，DE=5，求线段BC的长；

(2)如图2,在AABC中，D是边AB上的一点，E为边AC的中点，连接BE、CD交于点F,

畸心晦的值：

(3)如图3,在△ABC中，D是边AB上的一点，E为CA的延长线上的点，连接BE、CD交于

点F。若,=；，W=；4ACD的面积为2,求4CEF的面积。

BD2AC3

图）

(1题图2)（1Q3

(1座图1>

2.如图1,在AABC中，AB=AC,D是AC边的中点，过点A作AE_LBD于点E,AE的延长线交

BC于点F.

(1)若AF=CF,求证：AC2:CF・BC；

廿CF4+EF

(2)若一=一，求一的值;

BF5AE

(3)如图2,若NBAC=90°,求证：BF=2CF.

AB

3.如图，0是4ABC的边BC上一点,过点0的直线分别交射线AB,线段AC于点M,N,且

AM

AC

=m,---=n.

AN

（1）—BM=（用含m的式子表示）；CJN=（用含n的式

AMAN

子表示）；

（2）若0是线段BC的中点，求证：m+n=2；

（3）若上CO上二k（k^O）,求m,n之间的数量关系.（用含k的式子表示）

0B

4.在aABC中，ZACB=90°,E为AC上一点，连接BE.

（1）如图1,当AC二BC时，将aBCE绕点C逆时针旋转90°得到aACF,点E的对应点F落

在BC的延长线上.求证：BE_LAF；

（2）过点C作CP_LBE,垂足为P,连接AP并延长交BC于点Q.

ADCF

①如图2,若AOBC,求证：—=—；

PQCQ

②如图3,若AC=3a,AE=2EC,BC=kAC,求线段AP的长.（用含a,k的式子表示）

专题训练三角平分线问题

模型一.如图，遇到角平分线上的点到角的一边的垂线时，一般过该店作另一边的垂线，构

造双垂直，运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等求解。

模型二.如图，当题目中有垂直于角平分线的线段PA时，通过延长AP交ON于点B,构造

AOPB=AOPA,进而将一些线段和角进行等量代换来求解。

模型三.如图，若P是NM0N的平分线上一点，A是边0M上任意一点，可考虑在边ON上截取

OB=OA,连接PB,构造AOPB空AOPA,进而将一些线段和角进行等量代换。

模型四.如图，当题目中同时出现角平分线和平行线时，注意找等腰三角形，即0P平分NM0N,

PQ〃ON,则AOPQ为等腰三角形，一般地，角平分线、平行线、等腰三角形中任意两个条件

存在，即可得到第三个条件。

模型五.如图，0P是NM0N的平分线，点A,B分别在OM,ON上，若NM0N+NAPB=180。，则

PA=PB,ZPAB=ZPBA.

典型题

如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°.

图1

如图1,k=l,BD平分NABC交AC于点D,CE±BD,垂足E在BD的延长线上，探究线段CE

和BD之间的数量关系，并证明；

如图2,k=l,F为BC上一点，Z3FC=|ZB,CEXEF,垂足为E,EF与AC交于点D,探究线

段CE和FD之间的数量关系，并证明；

如图3,F为BC上一点，NEFC^NB,CE±EF,垂足为E,EF与AC交于点D.请直接写出

线段CE和FD的数量关系。

拓展题

46.如图1,在△/%中，为角平分线，点£在边47上，ZABE=ZC,AD、BE交于F,FG

〃力。交8。于G.

（1）求证：BD=BF：

（2）在图中找到一条与口相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；

（3）如图2,当AF=AE,且cos4E尸=k时，求铝的值.（用含有女的式子表示）.

RR

1题图11题图2

47.阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题：

如图1,在△4园中，^ACB=W，点〃在加上，且/物仁2N况况求证：AC=AD.

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法1：如图2,作然平分/a8,与必相交于点反

方法2：如图3,作比次与48相交于点片

(1)根据阅读材料，任选一种方法，证明力

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

(2)如图4,在比中，点。、E、F分别在.AB、BC、BD上,28DE=2/ABC,ZAFE=

4BAC,延长必处相交于点G,且NDGF=/BDE.

①在图中找出与/叱相等的角，并证明；

②若AB=kDF,猜想线段应与龙的数量关系，并证明你的猜想.

48.如图1,在四边形力鳍中，AD"BC,BC=CD,悬E在CD上,且NABE=/C.

（1）求证：NBED=NABC；

（2）在图1中找出与力6相等的线段，并证明；

（3）将△8"沿鹿翻折，得到4BFE、防与⑦相交于点0.若点尸恰好落在的延长

线上（如图2）,AD=m＞比三〃（其中Z〃），求加的长（用含勿、〃的代数式表示）.

49.(1)如图1,在△力8c中，AC=BC,过点、A作AD〃BQ点、E、尸分别在8aAC1.,DE与

防相交于点G且NDEB+NBFA-180°.

①求证：NC=NEGB

②在图1中找出与应相等的线段并证明.

(2)如图2,在a'中，AC=BC,〃为应'边上一点，将■四沿直线8翻折，点C的对

应点为点发AE〃BC,且NEBA=22.5°,求器的值.

图2

图1

50.如图1,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,0B=0I),0C=0A+AB,AD=m,BC=n,

ZABD+ZADB=ZACB.

(1)填空：NBAD与NACB之间的数量关系为；

(2)求-的值；

n

(3)如图2,将4ACD沿CD翻折，得到△△'CD,连接BA',与CD相交于点P.若CD=^,求

PC的长.

51.如图，Z\ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,ZD=45°,E是BD上一点，

且NBAE=NCBD,AE交BC于点瓦将4CBD沿BC翻折得到ABCF,BF交AE于点G,交AC于

点H.

(1)NAGF的度数为；

(2)探究BG与CD之间的数量关系，并证明;

(3)若AG=kGM,求空的值.

(6题用)

52.如图1,在RtAABC中，ZA=90°,AB=AC,点D在线段BC上，ZEDB=|ZC,DE交

AB于点3BEJ_DE于点E,探究线段BE与DF之间的数量关系，并证明。

小白的想法是，将aBDE以直线DE为对称轴翻折(如图2),再通过证明△GBHgAFDH得到

结论。

请按照小白的想法解答此题：

(7«(Bl>1>

(2)如图3,在aABC中，ZACB=2ZABC,E是线段BC的延长线上一点，CE=kBC,AD平

分ZBAC交BC于点D,EFXAD于点F,交AC于点G,求整的值.

53.小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，ZBAC=120°,AD_LBC于点D,且AB+BD

=DC,求NC的度数.小明通过探究发现，如图2,在CD上取一点E,使ED=BD,再证明△

ADB^AADE,可使问题得到解决.

(8«ffl1)(8吧图2)

(1)根据阅读材料回答，Z\ADBgAADE的条件是：(填“SSS”“SAS”“ASA”

“AAS”或“HL”)参考小明思考问题的方法,解答下列问题：

(2)如图3,在AABC中，过点B任意作一条射线1,在1上取一点D,使NABD=NACD,

AM_LBD于点M,且BM=MD+CD,探究AB与AC之间的数量关系，并证明；

(3)如图4,在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=4,D,E分别是BC,AC上的点，AC=CD,

ZBAC=45°+1ZDEC,连接BE,若CE=1,求SZ\ABE.

(8HS3)aano

专题训练四二倍角问题

基本方法

1.二倍角一一等腰法：①小角等腰法：以二倍角为外角构造等腰三角形：

②大角等腰法：以二倍角为底角构造等腰三角形.

2.二倍角一一角分线法：作二倍角的角分线，平分二倍角.

3.二倍角一一对称角法：小角或大角的对称角.

4.二倍角——加倍法：以小角的一边为对称轴作二倍角

5.二倍角一一顶角法：2a与90°-a,以2a为顶角构造等腰三角形.

典型题

【问题原型】

有这样一个问题：如图1,在中，NBCA=2NA,BD为边AC上的中线，且

2

求证：4BCD为等边三角形.

小聪同学的解决办法是：延长AC至点E,使CE二BC,如图2,利用二倍角的条件构造等腰三

角形进而解决问题

(典型题图】)

【解决问题】

(1)请你利用小聪的办法解决此问题:

【应用拓展】

⑵如图3,在ZkABC中,ZABC=2ZACB,AB=3,BC=5,求线段AC的长.

拓展题

1.如图，在AABC中，ZC=2ZB,点F在AB上，点G在AC上，CD=CG,FD_LBC于点D,且

FD平分NBFG,FD=kDG,探究AB与AC之间的数量关系，并证明.（用含k的式子表示）

2.如图，在aABC中，ZA=90°,AB=AC,D为BC的中点，点E,F分别在AB,AC±,且满

足NAEF=2NFDC,若EF=5,AC=6,求线段DF的长.

C

BI）

DF

3.如图，在AABC中，AD_LBC于点D,E是AD上一点，NB=2NDCE,AD=kDC,BD=mDE,求——

AB

的值.（用含m,k的式子表示）

4.如图，在加BC中，ADBC于点D,点E在AD上，NABE=45°,ZC=2ZDBE,AE=10,AC=15,

求线段DE的长。

（4题图）

5.如图1,在MBC中,点如E,F分别在边AB,BC,AC上，BE=CE,点G在线段CD上,CG=CA,

GF二DE,ZAFG=ZCDE,连接AG。

（1）填空：与/CAG相等的角是；

（2）探究线段AD与BD之间的数量关系，并证明；

AC

（3）如图2,若NBAC=90°,ZABC=2ZACD,求一的值。

AB

（S题图2）

（5题图1）

6.如图1,在Rt&BC中，ZACB=90°,CDAB于点D,延长CD至点E,使得CE=AB,连接

AE,且NBAE+2NBAC=90°,连接EB并延长交AC的延长线于点F。

(1)填空：NAEC与NBAC之间的数量关系为

Ar

(2)求2上的值；

BF

(3)如图2,连接FD,求士D上F的值；

BE

7.如图，在4ABD中，BA=BD,NABC=60。，E是BA边上一点，连接DE,

ZDBC-2ZBDE,过点C件CG工DE交ED的延长线于点F,交BD的延长线于点G,

BG=kCF.

（1）求NAOE的度数；

⑵若AB+BE=m,求线段CF的长.（用含k,m的式子表示）

（7题图）

专题训练五旋转问题

基本模型

模型1.遇到60°旋转60°,构造等边三角形（如图1）

模型2.遇到90°旋转90°,构造等腰直角三角形（如图2,3）或全等三角形（如图4,5）

（基本模型图（基本模型图5>

（基本模型图2）4）

模型3.遇到等腰三角形旋转顶点，构造全等三角形（如图6,7,8

（基本模型田8）

（基本模型图6）

模型4.遇到中点旋转180。,构造中心对称（如图9）

《基本模必图9）

数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图1,AC,BD是四边形ABCD的对角线，若NACB=

ZACD=ZABD=ZADB=60°,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2,延长CB到点E,使3E=CD,连接AE,证得

△ABE丝△ADC,从而容易证明AAIE是等边三角形，故AC=CE,所以AC=BC+CD

小亮展示了另一种正确的思路：如图3,将AABC绕着点A逆时针旋转60°,使AB与AD重

合，从而容易证明4ACF是等边三角形，故AOCF,所以AOBC+CD

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1)小颖提出：如图4,如果把“NACB=NACD=NABD=NADB=60°”改为“NAC小NACD=

NABD二NADB二45°”，其它条件不变，那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系？针对小

颖提出的问题，请你写出结论，并证明.

(2)小华提出：如图5,如果把“NACB=NACD=NABD=NADB=60°”改为“NACB=NACD=

ZABD=ZADB=a"，其它条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系？针对小华

提出的问题，请你写出结论，并证明.

C

图4

拓展题

1.如图1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是线段BC上一点，过点B作BE〃AC,过点

D作DE_LAD,垂足为D,BE,DE两线相交于点E,连接AE,交BD于点M

(1)求证：ZDAE=45°

(2)如图2,延长AD,BE交于点F,若BD二kCD,求g的值(用含k的式子表示)

(10R1)

2.如图1,在aABC中，ZBAC=60°,点D在BC边上，连接AD,AD=DC,点E,F分别在AC,

AD上，且ADEF为等边三角形

(1)填空：与NB相等的角是,

(2)求证：BD=AF

(3)若BC=kBD(k>2),求与的值(用含k的式子表示)

D

(2图图)

3.阅读下列材料：

数学课上，，老师出示了这样一个问题：

如图1.在4ABC中,AC=BC,/ACB=90°,点D,E在AB上，且AD=BE,DG±CE,垂足为G,DG的

延长线与BC相交于点F,探究线段AD,BD,DF之间的数量关系，并证明。

某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现NBCE与NBDF存在某种数量关系。”

小强：“通过观察和度量,发现图1中有一条线段与CE相等」

小伟：“通过构造三角形，证明三角形全等,可以得到线段AD,BD,DF之间的数量关系。”

老师:“保留原题条件,再过点D作DH1BC,垂足为H,DH与CE相交于点M(如图2).如果给

出器的值,那么可以求出名的值。”

CGCM

(1)在图1中找出与线段CE相等的线段,并证明；

(2)探究线段AD,BD,DF之间的数量关系，并证明；

(3)若祟n,求翳的值.(用含n的式子表示)

(30B2)

(3收图1)

4.在RtAACB中，NACB=90°,NB=30°,M为AB的中点,P为BC的延长线上一点，CP〈BC,

连接PM,AC=n,CP=m.

(1)如图1,将射线MP绕点M逆时针旋转60,,交CA的延长线于点D,且BC=AD+CP.

①在图中找出与NW)C相等的角，并证明；

②求巴的值.

n

(2)如图2,若将射线MP绕点M顺时针旋转60°,交AC的延长线于点H,求CH的长.(用

含m,n的式子表示)

5.阅读下列材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点D在BC上，点E

在AC上，ZADC=2ZEBC,若CD;mCE,求然的值.（用含m的式子表示）

（5题图1）（5题图2）

小明通过探究发现：将4ACD绕点C逆时针旋转90°得到4BCF（如图2）,再证出EF=BF,

问题就可以解决。

（1）请你根据小明的思路，解决这个问题；

（2）如图3,在等边4ABC中，点D在AB上，点E在CD上，NEBO2NACD,点F在BE上NFDC=60°,

若EF二kBF,求器的值.（用含k的式子表示）

8

G

（5题图3）

6.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,在aABC中，AB=AC,CBAC=90°,D是线段BC上一点，连

接AD,点D作DE_LDA,过点B作BE〃AC,BE与DE相交于点E,•求证：DA=DE.

小明通过探究发现，要证明AD二DE,可以考虑将ABDE通过旋转，使DE与DA重合，由此得

到辅助线：过点D作BC的垂线，交BA的延长线于点F(如图2),从而可证△FDA^^BDE,

使问题得到解决。

(1)根据阅读材料回答：

△FDA与4BDE全等的条件是___________；(填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”)

(2)证明小明发现的结论；

参考小明思考问题的方法,解决下面的问题：

(3)如图3,在AABC和aADE,NBAC=NDAE=90°,AB=mAC,AE=kAD,连接BE,CD,作

AGIRE.直线AG交CD于点F,求空的值-(用含k,m的式子表示)

7.阅读理解：

小明遇到这样一个问题：

如图1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,ZIC8=60°—Z4D8,若BC=2,BD=3,

求线段AB的长。

小明通过探究发现，如图2,以点A为旋转中心构造AACE三AABD,通过计算可求得

线段BE的长，进而使问题得到解决。

（1）参考小明思考问题的方法，继续添加必要的辅助线完成上面的问题；

（2）如图3,在四边形ABCD中，NBAC=90°,E为BD的中点，且/DBC=

ZBAE,AC=kAB

①BC：AB=；（用含k的式子表示）

②参考小明思考问题的方法或用其他方法，求黑的值。

（7题图1）

8.在RtAABC中，ZACB=90°,BC=kAC,CD_LAB于点D,E是AD上的一点，连接CE,

将射线EC绕着点E顺时针旋转NACD的度数，交BC于点G,过点C作CF1EG于点F。

⑴如图1,找到与NFCG相等的角，并证明；

⑵如图2,连接BF并延长，交AC于点H,探窕HC与DE之间的数量关系，并证明（用含k

的式子表示）

（8题图2）

（8题图1）

9.阅读下面材料.

小明遇到这样一个问题，如图1,是AABC等边三角形，D是AABC内一点，AD=V2,BD=

1,CD=V3,求NADB的度数

小明通过探究，为同学们提供了解题的想法：

想法1：将ABDC绕着点B逆时针旋转60°,得到ABEA,连接DE（如图2）,分别计算

NADE与NBDE的度数即可；

想法2：将ABAD绕着点B顺时针旋转60°,得到ABCF,连接DF（如图3）,分别计算

NBFD与NDFC的度数即可；

请回答:

（1）选择其中的一种想法，求NADB的度数;

参考小明的思考问题的方法，解决下列问题:

⑵如图4,正方形ABCD的边长为1，点E,F在正方形内,ZEAF=ZECF=45°,若AAEF的

面积为g，求SABEC+SADFC的值;

(3)如图5,在AABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,D是AABC内一点，则AD、BD、CD

三条线段的和的最小值为

专题训练六一边一角问题

基本模型

满足“一边一角”的条件：AB=DE,NA=ND（如图1,图2）,或AB=DE,ZA+ZEDG=180°

（如图1,图3）.

“一边一角”构造分为以下两种模型：

模型1：一边一等角

（1）如图1,将相等的边（已知相等的边或所求相等的边）和相等的角（即AB=DE,ZA=ZD）

放在一个三角形（即^ABC）中；

（2）如图2,以相等的一条线段（DE）的另一个端点（点E）为顶点，作NE=NB,则△ABCgA

DEF.

模型2：一边一互补角

（1）如图1,将相等的边和互补的角（即AB=DE,NA+NEDG=180）放在一个三角形（即AABC）

中；

⑵如图3,延长GD,得到NA=NFDE,即将“一边一互补角”转化为“一边一等角”,以相

等的一条线段（DE）的另一个端点（点E）为顶点，作NE=/B,则△ABC94DEF.

（超本模型图1）（基本模型图3）

典型题

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,在AABC中，点D,E分别在边AC,AB上，BD,CE相交于

点F,CE=BE,且NBEC+NBDC=180°.求证：BF=CA.小明经探究发现，在AB上取一点G(不与

点E重合)，使CE=CG,连接CG(如图2),从而可证4BEFg4CGA,使问题得到解决，

(1)请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

(2)如图3,在等腰4ABC中，AB=AC,点D,F在直线BC上，DE=BF,连接AD,过点E作EG

拓展题

1.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题:如图1,在△/比中，AB=AC,E是BC上一点,点〃在力£上,

4BDE=BAC=24CDE,连接BD,CD.求证:劭=2AD.

小明通过探究发现，由已知条件，能够证明乙他9=zm然后考虑将△/!勿通过旋转,

使班与力C重合，乙佃9和/。〃重合，因此得到辅助线:在做上截取跖=4〃，连接力/7,

从而可证△以启△?!5（如图2）,使问题得到解决.

（1）根据阅读材料回答:△胡P与△力如全等的依据是；（填“553'”以4弘”

“AAST或“血”中的一个）

（2）证明小明发现的结论：

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（3）如图3,在△48。和△力庞中，NBAC=NDAE=90°,AB=AC,AB=AD,连接应；

作“_L跖交旗的延长线于点£交⑺于点EBE=kAF,求女的值.

2.如图，在△力胸中，AB=AC,N劭C=90°,点〃在〃'上，点£在力的延长线上，且

CD=AE,过点力作"'_1的垂足为尸，过点〃作阳的平行线，交48于点G交物的

延长线于点〃

（1）求证：NBAH；

（2）在图中找出与四相等的线段，并证明；

（3）若。/=kDH,求黑的值.（用含衣的式子表示）

（2题图）

3.如图1,在△力8。中，的二然，点〃在物的延长线上，点E在比上，DE=DC,F是DE

与47的交点，且DF=FE

（1）图1中是否存在与/飒'相等的角?若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说

明理由；

（2）求证:跖=EC；

（3）若将“点。在BA的延长线上，点E在BC上”和“F是应与”的交点，且DF二阳'

分别改为“点〃在44上，点〃在面的延长线上”和是龙的延长线与力。的交点，其

他条件不变（如图2）”

①当〃:kFE,AB=1,/ABC;a时，求线段庞的长；（用含A,a的式子表示）

②若DE=4DF,请直接写出SMBC:SADR的值.

（3题图1）（3题图2）

4.如图1,在AABC中，点D,E分别在BC,AC上，BD=BA,点F在BE上，

FA=FE,^AFE=/LABD.

（1）在图1中找出与/ESC相等的角，并证明;

（2）求证：ZBEA=NBED；

(3)如图2,连接FD,点M在EF上，ZEDM+ZEDF=180°,AE=kDE,求

工的值.（用含k的式子表示）

EM

（4题图2）

（4题图1）

5.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,BE±AD,垂足为E,NBCD—ZABE=90。，过

点C作CF〃AD,交对角线BD于点F.

(1)求证：CF=CD；

BF

(2)若NCDB=2NABE,DE=kAE,求也的值.（用含k的式子表示）

DF

(5MS)

专题训练七中点问题

模型L等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质。

等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边上的中线、

高线、顶角的角平分线“三线合一”的性质得到：AD1BC,BD=CD,进而解决

线段相等及平行问题、角度之间的相等问题。

（基本模型困2）

直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的

一半”，可得CD=40=80=^713,有时有直角无中点，要找中点，可简记“直角+中点,

等腰必呈现”。

作用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换。

模型3.遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段），考虑倍长中线法构造全等

三角形。

（基本模型图3）

当遇到中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数量关系,

该类型经常会与中位线定理一起综合应用。

模型4.遇见三角形一边的中点，常考虑构造中位线。

（基本模型图4）

在三角形中，如果有中点，可构造三角形中位线，利用三角形中位线的性质定理:

DE〃BC,且DE=：8C,AADE^AABC,解决线段之间的相等或比例关系及平行问题。

典型类题

（1）如图1,若〃为等腰直角三角形的C的斜边比的中点，点白户分别在的、力。上，且

NEDF40。，连接49,EF,当比二5加,心2时，求线段EF的长度。

（2）如图2,若〃为等边三角形仍。的边函的中点，点£尸分别在48,〃'边上，且/

EDF冯V，〃为梦的中点，连接CM当"'〃小时，探究M与6V之间的数量关系并证明。

（3）如图3,若〃为等边三角形486'的边8。的中点，点后尸分别在力属力。边上，且一

被Q90°,当B£=6,67川.8时，请直接写出线段所的长度。

（典型题图D（典型题图2）（典型题图3）

1.在△/1优中，AB=AC,点〃平面内一点，”是初中点，连接4M作，毗14M

(1)如图1,若点夕在。的垂直平分线上，ZBAC=m,则求上出T的度数(用含力的

式子表示)；

(2)如图2,当点，在。延长线上，且%1%,若tan/ABC=k,则求芸的值(用含女

的式子表示).

2.小明遇到这样一个问题;

如图1,点£是因中点，ZBAE=ZCDE,求证：AB=DC.小明通过探究发现，如图2,

过点8作跖〃口，交龙的延长线于点色再证明△磔四△应冗使问题得到解决.

（1）根据阅读材料回答△。国△血户的条件是（填“SSS”“AAS”'ASA”或“也'

（2）写出小明的证明过程，参考小明思考问题的方法，解答下列问题；

（3）已知，△/!比中，.”是比边上一点，CM=BM,E,尸分别在是48,ACAL.连接外

点、是线段即上一点FN=EN,连接J邠并延长交加于点P,4BAC=24BPM=2a,如图

3,当a=60°时，探究空的值，并说明理由.

3.已知△仍C是等腰直角三角形，N物仁90°,CD=ABC,DEICE,DE=CE,连接力瓦点

2

必是力夕的中点.

(1)如图1,若点〃在a'边上，连接Q/,当力44时，求CM的长；

(2)如图2,若点〃在△力宛的内部，连接被点N是切中点，连接柳V；NE,求证：

MNVAEx

(3)如图3,将图2中的△口成绕点。逆时针旋转，使/圜9=3。°,连接劭，点”是

劭中点，连接拗；探索筝的值并直接写出结果.

4.阅读下面材料:

小明遇到这样两个问题:

(1)如图1,4?是00的直径，C是。。上一点，ODLAC,垂足为〃仁6,求如的长；

(2)如图2△胸中，科=6,力84,点〃为欧的中点，求加的取值范围.

对于问题(1),小明发现根据垂径定理，可以得出点〃是力。的中点，利用三角形中位线

定理可以解决；对于问题(2),小明发现延长到反使DE=AD,连接比；可以得到全

等三角形，通过计算可以解决.

请回答：

问题(1)中切长为；问题(2)中49的取值范围是；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

(3)如图3,△/!宛中，N劭C=90°,点〃、£分别在被力。上，庞与勿相交于点£

AC=mEC,AB=2yl~^EC,AD=nDB.

①当〃=1时，如图4,在图中找出与龙相等的线段，并加以证明；

②直接写出名的值(用含必〃的代数式表示).

5.阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题：如图1,△/纪中，AB=AC,点〃在40边上，ZDAB=ZABD,

BELAD,垂足为£,求证：BC=2AE.

小明经探究发现，过点/作力用垂足为先得到N4阳=/3球,从而可证用且△

以£(如图2),使问题得到解决.

(1)根据阅读材料回答：△/!防与△力£全等的条件是(填“SSS”、“弘S”、“4弘”、

uAASn或"HIT中的一个)

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

(2)如图3,△/!%中，AB=AC,/加仁90°,〃为重的中点，6为国的中点，点产

在/C的延长线上，且NCDF=4EAC,若6F=2,求力8的长；

(3)如图4,△力比中,AB=ACfN班C=120°,点。、£分别在48、〃•边上，且49=

々如(其中0V〃(返

),/AE!)=/BCD,求芸的值(用含〃的式子表示).

6.如图1,在△力8。中，点〃为8。中点，点£在力。上，AIK被交于点尸，4ADC=/BEC.

（2）若AD=BF,求器的值；

（3）如图2,若AD=BF,/加=90°,BC=m,求而（用含力的式子表示）.

专题八一线三等角问题

【问题背景】

(1)如图1,ZXABC是等腰直角三角形，AC=BC,直线1过点C,AM_L1,BN±1,垂足分别

为M,No求证：△AMC也Z\CNB；

【尝试应用】

(2)如图2,AC=BC,ZACB=90°,N,B,E三点共线，CN±NE,ZE=45°,CN=1,BN

=2。求AE的长;

【拓展创新】

(3)如图3,在ADCE中，NCDE=45°,点A,B分别在DE,CE上,AC=BC,ZACB=90°,

AF

若tanNDCA=12,直接写出——的值为

AD

B

A

图1图2图3

1.小明遇到这样一个问题：

如图1,2XABC中，ZA=90°,ZB=30°,点D,E分别在AB,BC±,且/CDE=90°°当

BE=2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，

说明理由。

小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF,垂足为F,能得到一对全等三角形（如图2）,

从而将解决问题。

请回答:

（1）小明发现的与CD相等的线段是；

（2）证明小明发现的结论；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（3）如图3,ZXABC中，AB=AC,ZBAC=90°,点D在BC上，BD=2DC,点E在AD上，且

BE

NBEC=135°,求——的值。

图1图2图3

2.（1）如图，在AABC中，AC=nBC,且NACB二NADC=NBEC=100°,猜想线段DE,