2025年人教版七年级数学寒假预习 重难点01 相交线与平行线热考模型（10种模型+专题训练+10种模型解析）

重难点01相交线与平行线热考模型（10种模型汇总+专题训练+10种模型解析）【题型汇总】题型01三线八角的识别已知图示结论（性质）直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8；3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5；4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.1．（2024七年级上·全国·专题练习）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？题型02猪蹄模型猪蹄模型猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型）条件AB∥DEa∥b图示结论∠B+∠E=∠BCE∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE左拐角之和=右拐角之和辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线.【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程.3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，QUOTE，试问QUOTE与QUOTE的关系是什么？并说明理由；（2）如图②，QUOTE，试问QUOTE与QUOTE的关系是什么？请直接写出结论；（3）如图③，QUOTE，试问QUOTE与QUOTE的关系是什么？请直接写出结论．4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线QUOTE，直线QUOTE𝑙3l3和直线QUOTE𝑙1l1、QUOTE𝑙2l2分别交于点QUOTE𝐶C和点QUOTE𝐷D，QUOTE𝑃P为直线QUOTE𝑙3l3上一点，QUOTE𝐴A、QUOTE𝐵B分别是直线QUOTE𝑙1l1、QUOTE𝑙2l2上的定点．设QUOTE，QUOTE，QUOTE．(1)若QUOTE𝑃P点在线段QUOTE𝐶𝐷CD（QUOTE𝐶C、QUOTE𝐷D两点除外）上）运动时，问QUOTE、QUOTE、QUOTE之间的关系是什么？说明理由．(2)在QUOTE的前提下，若QUOTE𝑃P点在线段QUOTE𝐶𝐷CD之外时，QUOTE、QUOTE、QUOTE之间的关系又怎样？5．（2024七年级上·全国·专题练习）综合与探究：已知QUOTE，QUOTE𝐸E，QUOTE𝐹F分别是QUOTE𝐴𝐵AB，QUOTE𝐶𝐷CD上的点，点QUOTE𝑃P在QUOTE𝐴𝐵AB，QUOTE𝐶𝐷CD之间，连接QUOTE𝑃𝐸PE，QUOTE𝑃𝐹PF．(1)如图1，若QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度数．(2)如图2，QUOTE与QUOTE的平分线交于点QUOTE𝑄Q，猜想QUOTE与QUOTE之间有何数量关系？并说明理由．(3)如图3，QUOTE与QUOTE的平分线交于点QUOTE𝑄Q，猜想QUOTE与QUOTE之间有何数量关系？并说明理由．QUOTE6．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．(1)如图1，QUOTE，QUOTE𝑀M是QUOTE𝐴𝐵AB、QUOTE𝐶𝐷CD之间的一点，连接QUOTE𝐵𝑀BM，QUOTE𝐷𝑀DM，则有QUOTE．请你证明这个结论．(2)【运用】如图2，QUOTE，QUOTE𝑀M、QUOTE𝑁N是QUOTE𝐴𝐵AB、QUOTE𝐶𝐷CD之间的两点，且QUOTE，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出QUOTE、QUOTE、QUOTE三者之间的数量关系，并说明理由．(3)【延伸】如图3，QUOTE，点QUOTE𝐸E、QUOTE𝐹F分别在QUOTE𝐴𝐵AB、QUOTE𝐶𝐷CD上，QUOTE𝐸𝑁EN、QUOTE𝐹𝐺FG分别平分QUOTE和QUOTE，且QUOTE．如果QUOTE，那么QUOTE等于多少？（用含QUOTE伪伪的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）题型03铅笔头模型铅笔头模型铅笔头模型-进阶条件AB∥DEAB∥DEa∥b图示结论∠B+∠BCE+∠E=360°∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540°[类推]7．（20-21七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1）QUOTE，猜想QUOTE与QUOTE的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知QUOTE，猜想图中的QUOTE与QUOTE的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知QUOTE，猜想图中的QUOTE与QUOTE的关系，不需要说明理由．

QUOTE𝐸𝐹鈭𝐵8．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，QUOTE，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若QUOTE，QUOTE，则QUOTE_______；(2)如图2，试说明，QUOTE；(3)如图3，若QUOTE的平分线与QUOTE的平分线相交于点F，判断QUOTE与QUOTE的数量关系，并说明理由．9．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，QUOTE，则QUOTE________；如图②，QUOTE，则QUOTE________，请你说明理由；（2）如图③，QUOTE，则QUOTE________；（3）利用上述结论解决问题：如图④，QUOTE，QUOTE和QUOTE的平分线相交于点F，QUOTE，求QUOTE的度数．10．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若QUOTE，如图①“QUOTE𝑀M”型和如图②铅笔型．试猜想QUOTE，QUOTE，QUOTE之间的数量关系．【独立思考】（1）如图①QUOTE，QUOTE，QUOTE之间的数量关系是________．（2）如图②QUOTE，QUOTE，QUOTE之间的数量关系是________．【问题迁移】（3）如图③，QUOTE，QUOTE𝐴𝑁AN，QUOTE𝐶𝑁CN分别是QUOTE，QUOTE的角平分线，探索QUOTE，QUOTE之间的数量关系是________．（4）如图④，QUOTE，QUOTE𝐴𝑃AP、QUOTE𝐶𝑃CP分别是QUOTE、QUOTE的角平分线，探索QUOTE、QUOTE之间的数量关系是________．【联想拓展】如图⑤，已知直线QUOTE𝐴𝐵AB，将一个含QUOTE的直角三角板QUOTE𝑄𝐶𝑃QCP，使顶点QUOTE𝑃P落在直线QUOTE𝐴𝐵AB上，过点QUOTE𝑄Q作直线QUOTE𝑀𝑁MN，且满足QUOTE．（5）请你探索直线QUOTE𝑀𝑁MN与QUOTE𝐴𝐵AB具有怎样的位置关系，并说明理由．7．（20-21七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1）QUOTE，猜想QUOTE与QUOTE的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知QUOTE，猜想图中的QUOTE与QUOTE的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知QUOTE，猜想图中的QUOTE与QUOTE的关系，不需要说明理由．

8．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，QUOTE，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若QUOTE，QUOTE，则QUOTE_______；(2)如图2，试说明，QUOTE；(3)如图3，若QUOTE的平分线与QUOTE的平分线相交于点F，判断QUOTE与QUOTE的数量关系，并说明理由．9．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，QUOTE，则QUOTE________；如图②，QUOTE，则QUOTE________，请你说明理由；（2）如图③，QUOTE，则QUOTE________；（3）利用上述结论解决问题：如图④，QUOTE，QUOTE和QUOTE的平分线相交于点F，QUOTE，求QUOTE的度数．10．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若QUOTE，如图①“QUOTE𝑀M”型和如图②铅笔型．试猜想QUOTE，QUOTE，QUOTE之间的数量关系．【独立思考】（1）如图①QUOTE，QUOTE，QUOTE之间的数量关系是________．（2）如图②QUOTE，QUOTE，QUOTE之间的数量关系是________．【问题迁移】（3）如图③，QUOTE，QUOTE𝐴𝑁AN，QUOTE𝐶𝑁CN分别是QUOTE，QUOTE的角平分线，探索QUOTE，QUOTE之间的数量关系是________．（4）如图④，QUOTE，QUOTE𝐴𝑃AP、QUOTE𝐶𝑃CP分别是QUOTE、QUOTE的角平分线，探索QUOTE、QUOTE之间的数量关系是________．【联想拓展】如图⑤，已知直线QUOTE𝐴𝐵AB，将一个含QUOTE的直角三角板QUOTE𝑄𝐶𝑃QCP，使顶点QUOTE𝑃P落在直线QUOTE𝐴𝐵AB上，过点QUOTE𝑄Q作直线QUOTE𝑀𝑁MN，且满足QUOTE．（5）请你探索直线QUOTE𝑀𝑁MN与QUOTE𝐴𝐵AB具有怎样的位置关系，并说明理由．题型04大脚模型类型大脚模型骨折模型已知AB∥CD图示结论∠E=∠1-∠3即：脚尖度数=大角-小角∠E=∠3-∠111．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知QUOTE．(1)QUOTE，求QUOTE的度数；(2)猜想QUOTE三者之间的关系并加以说明．12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，请判断QUOTE𝐴𝐵AB与QUOTE𝐸𝐹EF的位置关系，并说明理由．13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图QUOTE𝑎a，QUOTE，猜想QUOTE与QUOTE、QUOTE的关系，并说明理由．(1)填空：解：猜想QUOTE．理由：过点QUOTE𝑃P作QUOTE，如图QUOTE𝑒e所示，所以QUOTE(①___________)．因为QUOTE，QUOTE，所以QUOTE(如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以QUOTE(③___________)，所以QUOTE④___________，即QUOTE；(2)依照上面的解题方法，观察图QUOTE𝑏b，已知QUOTE，猜想图中的QUOTE与QUOTE、QUOTE的关系，并说明理由；(3)观察图QUOTE𝑐c和图QUOTE𝑑d，已知QUOTE，猜想图中的QUOTE与QUOTE、QUOTE的关系，不需要说明理由．14．（23-24七年级下·广东韶关·期中）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为QUOTE180掳180掳．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．（1）如图1，过QUOTE的顶点A作QUOTE𝐵𝐶BC的平行线QUOTE𝐸𝐷ED，请你证明三角形的内角和为QUOTE180掳180掳；【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能．【迁移应用】（2）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中QUOTE．①若QUOTE，QUOTE，则QUOTE的度数为______；②若QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度数．（3）如图3，若QUOTE，点P在QUOTE𝐴𝐵AB、QUOTE𝐶𝐷CD外部，请直接写出QUOTE、QUOTE、QUOTE之间的关系．15．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）【感知探究】如图①，已知QUOTE，点M在QUOTE𝐴𝐵AB上，点N在QUOTE𝐶𝐷CD上，求证：QUOTE【类比迁移】如图②，QUOTE的数量关系为（不需要证明）【结论应用】如图③，已知QUOTE，QUOTE，则QUOTE【拓展延申】如图④，已知QUOTE，QUOTE分别平分QUOTE和QUOTE，探究QUOTE之间的关系，并说明理由QUOTE题型05蛇形模型条件AB∥CD图示结论∠BCD+∠D-∠B=180°∠BCD+∠B-∠D=180°16．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：在图2中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度数．17．（23-24七年级下·辽宁营口·阶段练习）如图，QUOTE𝐴𝐵ABQUOTEQUOTE𝐷𝐶DC，点QUOTE𝐸E在直线QUOTE𝐴𝐵AB，QUOTE𝐷𝐶DC之间，连接QUOTE𝐷𝐸DE，QUOTE𝐵𝐸BE．

(1)写出QUOTE，QUOTE，QUOTE之间的数量关系，并说明理由；(2)若QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度数；18．（22-23六年级下·山东烟台·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图，已知点QUOTE𝐴A是QUOTE𝐵𝐶BC外一点，连接QUOTE𝐴𝐵AB、QUOTE𝐴𝐶AC，求QUOTE的度数．阅读并补充下面推理过程．

解：过点QUOTE𝐴A作QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，又因为QUOTE，所以QUOTE．

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将QUOTE、QUOTE、QUOTE“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图1，已知QUOTE，求QUOTE的度数；(3)深化拓展：已知直线QUOTE，点QUOTE𝑃P为平面内一点，连接QUOTE𝑃𝐴PA、QUOTE𝑃𝐷PD．①如图2，已知QUOTE，QUOTE，请直接写出QUOTE的度数；②如图3，请判断QUOTE、QUOTE、QUOTE之间的数量关系，并说明理由．

19．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线QUOTE，QUOTE𝑃P为平面内一点，连接QUOTE𝑃𝐴PA、QUOTE𝑃𝐷PD．(1)如图QUOTE11，已知QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度数；(2)如图QUOTE22，判断QUOTE、QUOTE、QUOTE之间的数量关系为．(3)如图QUOTE33，在（2）的条件下，QUOTE，QUOTE𝐷𝑁DN平分QUOTE，若QUOTE，求QUOTE的度数．题型06平行平分三等角解题大招：平行平分得三等角.20．（24-25七年级上·全国·期末）如图，QUOTE，直线QUOTE𝐸𝐹EF分别与直线QUOTE𝐴𝐵,𝐶𝐷AB,CD交于点E，F，点G在QUOTE𝐶𝐷CD上，QUOTE𝐸𝐺EG平分QUOTE．若QUOTE，求QUOTE的度数．

21．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，QUOTE𝐶𝐷CD是QUOTE的角平分线，QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度数．22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，QUOTE，三角形QUOTE𝐸𝐹𝐺EFG的顶点F，G分别落在直线QUOTE𝐴𝐵AB，QUOTE𝐶𝐷CD上，QUOTE𝐺𝐸GE交QUOTE𝐴𝐵AB于点H，QUOTE𝐺𝐸GE平分QUOTE，若QUOTE，QUOTE求QUOTE的度数．题型07平行线折叠问题记住三句话:①折叠前后对应角，对应边相等.②折叠不改变原先的平行关系.③以折线为对称轴.23．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，在长方形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，将长方形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD沿着直线QUOTE𝐵𝐷BD折叠，使点C落在QUOTE𝐶'C'处，QUOTE𝐵𝐶BC交QUOTE𝐴𝐷AD于点E，求QUOTE的度数．24．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图QUOTE1−1−图QUOTE66中，QUOTE，点QUOTE𝐸E，点QUOTE𝐹F，点QUOTE𝐺G与QUOTE𝐴𝐵AB，QUOTE𝐶𝐷CD在同一平面内．(1)探究与表达请直接写出：QUOTE图QUOTE11中QUOTE，QUOTE，QUOTE的数量关系；QUOTE图QUOTE22中QUOTE，QUOTE，QUOTE的数量关系；QUOTE图QUOTE33中QUOTE，QUOTE，QUOTE的数量关系：QUOTE图QUOTE44中QUOTE，QUOTE，QUOTE的数量关系；QUOTE图QUOTE55中QUOTE，QUOTE，QUOTE的数量关系；QUOTE图QUOTE66中QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE的数量关系；(2)推导与应用如图QUOTE77，将长方形纸片沿QUOTE𝐸𝐹EF折叠，已知QUOTE，求QUOTE的度数．25．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动：〖活动素材〗如图，长方形纸片QUOTE．〖活动1〗如图1，将长方形纸片QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD进行折叠，第1次QUOTE𝐸𝐹EF折叠，折叠后QUOTE𝐸𝐵EB与QUOTE𝐶𝐷CD交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现QUOTE与QUOTE的度数总是相等的；〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD进一步折叠，第2次沿QUOTE𝑀𝑁MN折叠，且QUOTE，同学们通过研究发现QUOTE与QUOTE之间也存在一定的数量关系；〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作QUOTE的平分线QUOTE𝐹𝑅FR，并反向延长与QUOTE的平分线交于点Q，QUOTE与QUOTE之间是否也存在确定的数量关系呢?〖任务1〗求证：QUOTE；〖任务2〗若QUOTE，求QUOTE的度数；〖任务3〗请画出点Q，并直接写出QUOTE与QUOTE之间的数量关系．26．（23-24七年级下·福建三明·期中）综合与实践：七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线(1)知识初探如图1，长方形纸条QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD中，QUOTE，QUOTE，QUOTE．将长方形纸条沿直线QUOTE𝐸𝐹EF折叠，点A落在QUOTE𝐴'A'处，点D落在QUOTE𝐷'D'处，QUOTE𝐴'𝐸A'E交QUOTE𝐶𝐷CD于点G．①若QUOTE，求QUOTE的度数．②试猜想QUOTE和QUOTE之间的数量关系，并进行说明．(2)类比再探如图2，在图1的基础上将QUOTE对折，点C落在直线QUOTE𝐺𝐸GE上的QUOTE𝐶'C'处．点QUOTE𝐵B落在QUOTE𝐵'B'处，得到折痕QUOTE𝐺𝐻GH，点QUOTE𝐴'A'、QUOTE𝐺G、QUOTE𝐸E、QUOTE𝐶'C'在同一条直线上，则折痕QUOTE𝐸𝐹EF与QUOTE𝐺𝐻GH有怎样的位置关系?请说明理由．27．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD沿QUOTE𝐵𝐸BE折叠，点QUOTE𝐴A落在点QUOTE𝐹F处．(1)如图QUOTE11，她通过测量发现：QUOTE，请你证明她的结论；(2)如图QUOTE22，点QUOTE𝑀M在QUOTE𝐴𝐷AD上，点QUOTE𝑁N在QUOTE𝐵𝐶BC上，连接QUOTE𝑀𝑁MN，QUOTE，将四边形QUOTE𝑀𝐷𝐶𝑁MDCN沿QUOTE𝑀𝑁MN所在直线折叠得到QUOTE𝑀𝐻𝐺𝑁MHGN，QUOTE𝑀𝑁MN交QUOTE𝐵𝐶BC于QUOTE𝑅R，点QUOTE𝐷D的对应点落在点QUOTE𝐻H处，点QUOTE𝐶C的对应点落在点QUOTE𝐺G处．她通过测量发现：QUOTE，请你证明她的结论．(3)如图QUOTE33，在（QUOTE22）的条件下，将四边形QUOTE𝑀𝐻𝐺𝑁MHGN沿QUOTE𝑅𝑁RN向上折叠得到四边形QUOTE𝑅𝑃𝑄𝑁RPQN，点QUOTE𝐻H的对应点恰好落到QUOTE𝐴𝐷AD上的点QUOTE𝑃P处，点QUOTE𝐺G落到点QUOTE𝑄Q处，猜想QUOTE，QUOTE与QUOTE的数量关系，并证明你的结论．题型08三角板拼接模型常见的三角板与三角板（平行）拼接模型：类型两条斜边平行斜边于直角边平行两条直角边平行图示顶点在斜边上顶点在直角边上顶点在边上顶点重合【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值.28．（23-24七年级下·山东临沂·期中）在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．已知：QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．

(1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在QUOTE𝐴𝐵AB上，且QUOTE，求QUOTE的度数；(2)如图2，张明将一个三角板QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC放在一组直线QUOTE𝑀𝑁MN与QUOTE𝑃𝑄PQ之间，并使顶点B在直线QUOTE𝑀𝑁MN上，顶点QUOTE𝐶C在直线QUOTE𝑃𝑄PQ上，现测得QUOTE，QUOTE，请判断直线QUOTE𝑀𝑁MN，QUOTE𝑃𝑄PQ是否平行，并说明理由；(3)现将三角板QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线QUOTE𝑀𝑁MN上，顶点C在直线QUOTE𝑃𝑄PQ上，若QUOTE，请直接写出QUOTE与QUOTE之间的关系式．29．（23-24七年级下·四川乐山·期末）将一副三角板按如图放置，其中点QUOTE在同一直线上，QUOTE，QUOTE，QUOTE．(1)若QUOTE相交于点QUOTE𝐹F，求QUOTE的度数；(2)将图中的QUOTE绕点QUOTE𝐶C以每秒QUOTE5掳5掳的速度顺时针旋转得QUOTE，设运动时间为QUOTE𝑡t秒．当QUOTE𝑡t为何值时，QUOTE𝐴'𝐵'A'B'与QUOTE𝐶𝐷CD第一次平行；(3)QUOTE绕点QUOTE𝐶C以每秒QUOTE5掳5掳的速度顺时针旋转的同时，QUOTE绕点QUOTE𝐶C以每秒QUOTE4掳4掳的速度逆时针旋转QUOTE得QUOTE，旋转过程中若射线QUOTE𝐶𝐵'CB'、QUOTE𝐶𝐷'CD'、QUOTE𝐶𝐸'CE'中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，设运动时间为QUOTE𝑡t秒，请求出满足条件的QUOTE𝑡t值．30．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点QUOTE𝐶C按如图方式叠放在一起，友情提示：QUOTE，QUOTE，QUOTE．(1)①若QUOTE，则QUOTE的度数为________．②若QUOTE，则QUOTE的度数为________．(2)由（1）猜想QUOTE与QUOTE的数量关系，并说明理由．(3)若QUOTE且点QUOTE𝐸E在直线QUOTE𝐴𝐶AC的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出QUOTE角度所有可能的值（不必说明理由）．31．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中QUOTE．请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题：【初步感知】（1）如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起．当QUOTE时，QUOTE_________．（2）如图3，当CA平分QUOTE时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由．【深度探究】（3）将上述三角板按图4所示的方式摆放，点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上，直线QUOTE，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒QUOTE3掳3掳的速度顺时针旋转，设旋转时间为QUOTE𝑡sts，且QUOTE，则是否存在t的值，使边BC与另一块三角板DEF的一条边平行？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）将上述三角板按图5所示的方式摆放，点C与点D重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，使点F在直线BC上方，当两块三角板的两条边互相平行时，若QUOTE度数的最大值为m，最小值为n，则QUOTE𝑚−𝑛=m−n=_________．32．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点QUOTE𝐹F在直线QUOTE𝐴𝐶AC上，且QUOTE，QUOTE𝐷𝐹DF与QUOTE𝐴𝐵AB相交于点QUOTE𝐺G，其中QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．(1)求此时QUOTE的度数；(2)若三角板QUOTE𝐷𝐸𝐹DEF绕QUOTE𝐹F点按顺时针方向旋转，当QUOTE时，求此时QUOTE的度数；(3)在（2）的前提下，三角板QUOTE𝐷𝐸𝐹DEF绕QUOTE𝐹F点按逆时针方向以每秒QUOTE3掳3掳的速度旋转，设旋转的时间为QUOTE𝑡t秒，当QUOTE0<𝑡<650<t<65时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板QUOTE𝐷𝐸𝐹DEF的某一条边与QUOTE𝐴𝐵AB平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的QUOTE𝑡t值；若不存在，请说明理由．题型09直尺与三角板拼接模型综合类型一直尺与30°角的三角板拼接图示解题方法利用三线八角求解结论∠1+∠2=90°∠1=∠2∠1+∠2=90°类型二直尺与45°角的三角板拼接图示解题方法遇拐点作平行线三线八角+三角板特殊角求解三角板特殊角求解结论∠1+∠2=90°∠1=∠2=75°∠1=105°【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算.33．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：QUOTE𝑀𝑁鈭𝐵MN鈭B，QUOTE鈭燘𝐴𝐶=60掳鈭燘AC=60掳，QUOTE鈭燙=90掳鈭燙=90掳，QUOTE𝑀𝑁MN分别交QUOTE𝐴𝐶AC、QUOTE𝐵𝐶BC于点E、F、QUOTE鈭燘𝐴𝐶鈭燘AC的角平分线QUOTE𝐴𝐷AD交QUOTE𝑀𝑁MN于点D，H为线段QUOTE𝐴𝐵AB上一动点（不与A、B重合），连接QUOTE𝐹𝐻FH交QUOTE𝐴𝐷AD于点QUOTE𝐾K．(1)当QUOTE时，求QUOTE鈭燗𝐾𝐹鈭燗KF．(2)QUOTE𝐻H在线段QUOTE𝐴𝐵AB上任意移动时，求QUOTE鈭燗𝐾𝐹鈭燗KF，QUOTE鈭燞𝐴𝐾鈭燞AK，QUOTE鈭燚𝐹𝐻鈭燚FH之间的关系．(3)在（1）的条件下，将QUOTE鈻矰𝐾𝐹鈻矰KF绕着点QUOTE𝐹F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为QUOTE，则在旋转过程中，当QUOTE鈻矰𝐾𝐹鈻矰KF的其中一边与QUOTE鈻矯𝐸𝐹鈻矯EF的某一边平行时，直接写出此时QUOTE𝑡t的值．34．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图1，把一块含QUOTE的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．(1)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转QUOTE𝑛掳n掳，当QUOTE0<𝑛<900<n<90，且点QUOTE𝐶C恰好落在QUOTE𝐷𝐺DG边上时，请直接写出QUOTE鈭?=鈭?=________°，QUOTE鈭?=鈭?=________°（结果用含QUOTE𝑛n的代数式表示）；(2)在（1）的条件下，若QUOTE恰好是QUOTE的QUOTE5454倍，求QUOTE𝑛n的值．35．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线QUOTE𝐺𝐻鈭𝑁GH鈭N．

(1)如图2，现将三角板QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC绕点QUOTE𝐴A以每秒QUOTE2掳2掳的速度顺时针旋转，三角板QUOTE𝐷𝐸𝐹DEF不动，设旋转时间为QUOTE𝑡t秒，当第一次旋转到QUOTE𝐵𝐶鈭𝐹BC鈭F时，QUOTE𝑡t的值是多少？(2)若三角板QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC不动，而三角板QUOTE𝐷𝐸𝐹DEF绕点QUOTE𝐷D以每秒QUOTE1.5掳1.5掳的速度顺时针旋转，设旋转时间为QUOTE𝑡t秒，求当第一次旋转到QUOTE𝐷𝐸鈭𝐶DE鈭C时，QUOTE𝑡t的值是多少？(3)若三角板QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC绕点QUOTE𝐴A以每秒QUOTE3掳3掳的速度顺时针旋转，同时三角板QUOTE𝐷𝐸𝐹DEF绕点QUOTE𝐷D以每秒QUOTE5掳5掳的速度顺时针旋转，设时间为QUOTE𝑡t秒QUOTE(0<𝑡<70)(0<t<70)，若边QUOTE𝐵𝐶BC与三角板QUOTE𝐷𝐸𝐹DEF的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的QUOTE𝑡t的值．36．（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点A是QUOTE𝐵𝐶BC外一点，连接QUOTE．求QUOTE鈭燘𝐴𝐶+鈭燘+鈭燙鈭燘AC+鈭燘+鈭燙的度数．解：过点A作QUOTE𝐷𝐸鈭𝐶DE鈭C，∵QUOTE𝐷𝐸鈭𝐶DE鈭C，∴QUOTE又∵QUOTE，∴QUOTE．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能．方法运用：如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含QUOTE角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含QUOTE角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求QUOTE的度数．37．（23-24七年级下·湖北鄂州·期末）如图1，把一块含QUOTE的直角三角板QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC的QUOTE𝐵𝐶BC边放置于长方形直尺QUOTE𝐷𝐸𝐹𝐺DEFG的QUOTE𝐸𝐹EF边上．(1)【特例初探】如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转QUOTE𝑛掳n掳，当QUOTE0<𝑛<900<n<90，且点C恰好落在QUOTE𝐷𝐺DG边上时，请求QUOTE的度数．(2)【技能提升】在（1）的条件下，若QUOTE比QUOTE的一半多QUOTE，求n的值．(3)【综合运用】如图2，现将射线QUOTE𝐵𝐶BC绕点B以每秒QUOTE5掳5掳的转速逆时针旋转得到射线QUOTE𝐵𝐶'BC'，同时射线QUOTE𝑄𝐴QA绕点Q以每秒QUOTE4掳4掳的转速顺时针旋转得到射线QUOTE𝑄𝐴'QA'，当射线QUOTE𝑄𝐴QA旋转至与QUOTE𝑄𝐵QB重合时，则射线QUOTE均停止转动，设旋转时间为QUOTE𝑡sts．在旋转过程中，是否存在QUOTE？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．38．（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图，直线QUOTE𝑃𝑄鈭𝑁PQ鈭N，一副教学三角板中QUOTE鈭燗𝐵𝐶=鈭燙𝐷𝐸=90掳鈭燗BC=鈭燙DE=90掳，QUOTE鈭燗𝐶𝐵=30掳鈭燗CB=30掳，QUOTE鈭燘𝐴𝐶=60掳鈭燘AC=60掳，QUOTE鈭燚𝐶𝐸=鈭燚𝐸𝐶=45掳鈭燚CE=鈭燚EC=45掳，现按如图1放置，其中点E在直线QUOTE𝑃𝑄PQ上，点B，C均在直线QUOTE𝑀𝑁MN上．(1)如图1，当QUOTE𝐶𝐸CE平分QUOTE鈭燗𝐶𝑀鈭燗CM时，求QUOTE鈭?𝑎𝑎𝐶𝐸𝑄鈭燩𝐸𝐷鈭?aaCEQ鈭燩ED的值；(2)若将三角板QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（QUOTE𝐴A，QUOTE𝐶C的对应点分别为QUOTE𝐹F，QUOTE𝐺G），设旋转时间为t秒．①在旋转过程中，如图2所示，当边QUOTE𝐵𝐺鈭𝐸BG鈭E，求QUOTE的值．②若三角板QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC绕点B旋转的同时，三角板QUOTE𝐶𝐷𝐸CDE绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（QUOTE𝐶C，QUOTE𝐷D的对应点为QUOTE𝐻H，QUOTE𝐾K），请直接写出当边QUOTE𝐵𝐺鈭𝐾BG鈭K时QUOTE的值．题型10等积模型条件：AB∥CD图形：结论：1)2)39．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线QUOTE，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．(1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有QUOTE________与QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的面积相等．理由是____________________；(2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________．QUOTE鈻砅𝐵𝑂40．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD中，QUOTE𝐴𝐷鈭𝐶AD鈭C，对角线QUOTE𝐴𝐶AC，QUOTE𝐵𝐷BD交于点O，若QUOTE鈻矨𝑂𝐵鈻矨OB的面积为8，求QUOTE鈻矯𝑂𝐷鈻矯OD的面积．

41．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，P是长方形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD外一点，QUOTE鈻矨𝐵𝑃鈻矨BP的面积为a．若QUOTE鈻矪𝑃𝐷鈻矪PD的面积为b，则QUOTE鈻矪𝑃𝐶鈻矪PC的面积为．（用含a、b的代数式表示）

42．（23-24七年级上·福建福州·开学考试）如图，正方形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD和正方形QUOTE𝐸𝐶𝐺𝐹ECGF并排放置，QUOTE𝐵𝐹BF和QUOTE𝐸𝐶EC相交于点QUOTE𝐻H，已知QUOTE𝐴𝐵=6AB=6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

重难点01相交线与平行线热考模型（10种模型汇总+专题训练+10种模型解析）【题型汇总】题型01三线八角的识别已知图示结论（性质）直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8；3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5；4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.1．（2024七年级上·全国·专题练习）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．【答案】图1中同位角有：QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE；内错角有：QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE；同旁内角有：QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE；图2中同位角有：QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE；同旁内角有：QUOTE与QUOTE．【分析】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角．【详解】解：如图1，同位角有：QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE；内错角有：QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE；同旁内角有：QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE．如图2，同位角有：QUOTE与QUOTE，QUOTE与QUOTE；同旁内角有：QUOTE与QUOTE．2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？【答案】同位角：QUOTE和QUOTE和QUOTE；内错角：QUOTE和QUOTE和QUOTE；同旁内角：QUOTE和QUOTE和QUOTE和QUOTE和QUOTE．【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．依此即可得出答案．【详解】解：同位角：QUOTE和QUOTE，QUOTE和QUOTE；内错角：QUOTE和QUOTE，QUOTE和QUOTE；同旁内角：QUOTE和QUOTE，QUOTE和QUOTE，QUOTE和QUOTE，QUOTE和QUOTE．题型02猪蹄模型猪蹄模型猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型）条件AB∥DEa∥b图示结论∠B+∠E=∠BCE∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE左拐角之和=右拐角之和辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线.【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程.3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，QUOTE，试问QUOTE与QUOTE的关系是什么？并说明理由；（2）如图②，QUOTE，试问QUOTE与QUOTE的关系是什么？请直接写出结论；（3）如图③，QUOTE，试问QUOTE与QUOTE的关系是什么？请直接写出结论．【答案】（1）QUOTE，见解析；（2）QUOTE；（3）QUOTE【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．（1）过点QUOTEEE作QUOTEEF鈭BEF鈭B，从而推出QUOTE，根据两直线平行，内错角相等，可知QUOTE，QUOTE，从而推出QUOTE与QUOTE的关系；（2）分别过点QUOTEEE，QUOTEGG，QUOTEMM，作QUOTEEF鈭BEF鈭B，QUOTEGH鈭BGH鈭B，QUOTEMN鈭BMN鈭B，从而推出QUOTE，根据两直线平行，内错角相等，可推出QUOTE与QUOTE的关系；（3）分别过点QUOTEEE，QUOTEGG，QUOTEMM，QUOTEKK，QUOTEPP，作QUOTEEF鈭BEF鈭B，QUOTEGH鈭BGH鈭B，QUOTEMN鈭BMN鈭B，QUOTEKL鈭BKL鈭B，QUOTEPQ鈭BPQ鈭B，从而知道QUOTE，根据两直线平行，内错角相等，可推出QUOTE与QUOTE的关系．【详解】解：（1）QUOTE，理由如下：如图，过点QUOTEEE作QUOTEEF鈭BEF鈭B，QUOTE，QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE；（2）同理（1）得：QUOTE，理由如下：分别过点QUOTEEE，QUOTEGG，QUOTEMM，作QUOTEEF鈭BEF鈭B，QUOTEGH鈭BGH鈭B，QUOTEMN鈭BMN鈭B，QUOTEQUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE（3）同理（1）得：QUOTE．理由如下：分别过点QUOTEEE，QUOTEGG，QUOTEMM，QUOTEKK，QUOTEPP，作QUOTEEF鈭BEF鈭B，QUOTEGH鈭BGH鈭B，QUOTEMN鈭BMN鈭B，QUOTEKL鈭BKL鈭B，QUOTEPQ鈭BPQ鈭B，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线QUOTE，直线QUOTEl3l3和直线QUOTEl1l1、QUOTEl2l2分别交于点QUOTECC和点QUOTEDD，QUOTEPP为直线QUOTEl3l3上一点，QUOTEAA、QUOTEBB分别是直线QUOTEl1l1、QUOTEl2l2上的定点．设QUOTE，QUOTE，QUOTE．(1)若QUOTEPP点在线段QUOTECDCD（QUOTECC、QUOTEDD两点除外）上）运动时，问QUOTE、QUOTE、QUOTE之间的关系是什么？说明理由．(2)在QUOTE的前提下，若QUOTEPP点在线段QUOTECDCD之外时，QUOTE、QUOTE、QUOTE之间的关系又怎样？【答案】(1)QUOTE，理由见解析(2)QUOTE或QUOTE【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．（1）过点P作QUOTE，根据QUOTE可知QUOTE，故可得出QUOTE，QUOTE，再由QUOTE即可得出结论；（2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段QUOTEDCDC的延长线上与点P在线段QUOTECDCD的延长线上两种情况进行讨论．【详解】（1）解：QUOTE．理由如下：如图，过点QUOTEPP作QUOTE，因为QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE，QUOTE．又因为QUOTE，所以QUOTE；（2）解：①当点QUOTEPP在线段QUOTEDCDC的延长线上时，QUOTE．理由如下：如图所示，当点QUOTEPP在线段QUOTEDCDC的延长线上时，过点QUOTEPP作QUOTE，所以QUOTE．因为QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE；②当点QUOTEPP在线段QUOTECDCD的延长线上时，QUOTE．理由如下：如图所示，当点QUOTEPP在线段QUOTECDCD的延长线上时，过点QUOTEPP作QUOTE，所以QUOTE．因为QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE．5．（2024七年级上·全国·专题练习）综合与探究：已知QUOTE，QUOTEEE，QUOTEFF分别是QUOTEABAB，QUOTECDCD上的点，点QUOTEPP在QUOTEABAB，QUOTECDCD之间，连接QUOTEPEPE，QUOTEPFPF．(1)如图1，若QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度数．(2)如图2，QUOTE与QUOTE的平分线交于点QUOTEQQ，猜想QUOTE与QUOTE之间有何数量关系？并说明理由．(3)如图3，QUOTE与QUOTE的平分线交于点QUOTEQQ，猜想QUOTE与QUOTE之间有何数量关系？并说明理由．【答案】(1)QUOTE(2)QUOTE，见解析(3)QUOTE，见解析【分析】本题考查平行线的性质和角的和差运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．（1）过点QUOTEPP作QUOTEPM鈭BPM鈭B，根据平行公理的推论、平行线的性质可得QUOTE，QUOTE，从而得到QUOTE，代入数据计算即可；（2）由（1）中的结论得QUOTE，QUOTE，根据角平分线的定义得QUOTE，QUOTE，可得结论；（3）由（1）中的结论和邻补角的定义得QUOTE鈭燛PF鈭燛PF与QUOTE鈭燛QF鈭燛QF的数量关系．【详解】（1）解：如图，过点QUOTEPP作QUOTEPM鈭BPM鈭B，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE的度数为QUOTE；（2）解：QUOTE，理由：由（1）可知：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭礒Q鈭礒Q，QUOTEFQFQ分别平分QUOTE鈭燗EP鈭燗EP，QUOTE鈭燙FP鈭燙FP，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE；（3）解：QUOTE，理由：由（1）可知：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭礒Q鈭礒Q，QUOTEFQFQ分别平分QUOTE鈭燗EP鈭燗EP，QUOTE鈭燙FP鈭燙FP，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．6．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．(1)如图1，QUOTE，QUOTEMM是QUOTEABAB、QUOTECDCD之间的一点，连接QUOTEBMBM，QUOTEDMDM，则有QUOTE．请你证明这个结论．(2)【运用】如图2，QUOTE，QUOTEMM、QUOTENN是QUOTEABAB、QUOTECDCD之间的两点，且QUOTE，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出QUOTE、QUOTE、QUOTE三者之间的数量关系，并说明理由．(3)【延伸】如图3，QUOTE，点QUOTEEE、QUOTEFF分别在QUOTEABAB、QUOTECDCD上，QUOTEENEN、QUOTEFGFG分别平分QUOTE和QUOTE，且QUOTE．如果QUOTE，那么QUOTE等于多少？（用含QUOTE伪伪的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）【答案】(1)见解析(2)QUOTE，理由见解析(3)QUOTE鈭燤GF鈭燤GF等于QUOTE【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键．（1）如图，过QUOTEMM作QUOTEMN鈭BMN鈭B．得QUOTE，故QUOTE，QUOTE，因此QUOTE．（2）过QUOTENN作QUOTENE鈭BNE鈭B．由（1）QUOTE①．再得出QUOTE②，由①QUOTE++②得QUOTE，即QUOTE，再求解即可．（3）由角平分线得QUOTE，QUOTE，由“猪蹄模型”得QUOTE，再利用平行线和三角形内角和计算即可．【详解】（1）证明：如图，过QUOTEMM作QUOTEMN鈭BMN鈭B．QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．（2）解：QUOTE、QUOTE、QUOTE三者之间的数量关系：QUOTE．理由如下：如图：过QUOTENN作QUOTENE鈭BNE鈭B．由（1）QUOTE①．QUOTE，QUOTE，QUOTE②，①QUOTE++②得QUOTE，即QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭粹垹MNC=23鈭燘MN鈭粹垹MNC=2QUOTEQUOTE．答：QUOTE、QUOTE、QUOTE三者之间的数量关系：QUOTE．（3）证明：QUOTE鈭礒N鈭礒N、QUOTEFGFG分别平分QUOTE鈭燘EM鈭燘EM和QUOTE鈭燙FM鈭燙FM，QUOTE，QUOTE，由（1）结论得：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭磝−y=90掳−12伪鈭磝−y=90掳−1QUOTE，QUOTE，QUOTE，由三角形内角和得：QUOTE．答：QUOTE鈭燤GF鈭燤GF等于QUOTE．题型03铅笔头模型铅笔头模型铅笔头模型-进阶条件AB∥DEAB∥DEa∥b图示结论∠B+∠BCE+∠E=360°∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540°[类推]7．（20-21七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1）QUOTE，猜想QUOTE与QUOTE的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知QUOTE，猜想图中的QUOTE与QUOTE的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知QUOTE，猜想图中的QUOTE与QUOTE的关系，不需要说明理由．

【答案】（1）QUOTE，理由见解析；（2）QUOTE，理由见解析；（3）图（3）QUOTE，图（4）QUOTE【分析】（1）过点P作QUOTEEF鈭BEF鈭B，得到QUOTE，由QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTEEF鈭BEF鈭B，得到QUOTEEF鈭DEF鈭D，得到QUOTE，由此得到QUOTE；（2）过点P作QUOTEPE鈭BPE鈭B，由QUOTE，得到QUOTE，从而得到结论QUOTE；（3）由QUOTEAB鈭DAB鈭D，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得QUOTE鈭燘PD鈭燘PD与QUOTE的关系．【详解】（1）解：猜想QUOTE．理由：过点P作QUOTEEF鈭BEF鈭B，∴QUOTE，∵QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTEEF鈭BEF鈭B，∴QUOTEEF鈭DEF鈭D，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE；（2）QUOTE．理由：如图，过点P作QUOTEPE鈭BPE鈭B，

∵QUOTEAB鈭DAB鈭D，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE；（3）如图（3）：QUOTE．理由：∵QUOTEAB鈭DAB鈭D，

∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE；如图（4）：QUOTE．理由：∵QUOTEAB鈭DAB鈭D，

∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．8．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，QUOTE，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若QUOTE，QUOTE，则QUOTE_______；(2)如图2，试说明，QUOTE；(3)如图3，若QUOTE的平分线与QUOTE的平分线相交于点F，判断QUOTE与QUOTE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)QUOTE；(2)见解析；(3)QUOTE，理由见解析．【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系．（1）过点E作直线QUOTEMN鈭BMN鈭B，利用平行线的性质证明QUOTE，QUOTE，即可得到QUOTE；（2）过点E作QUOTEEG鈭BEG鈭B，利用平行线的性质证明QUOTE，QUOTE，即可证明QUOTE，即QUOTE；（3）由（1）可得QUOTE，再证明QUOTE，由（2）可知，QUOTE，即可证明QUOTE．【详解】（1）解：过点E作直线QUOTEMN鈭BMN鈭B，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE．（2）解：如图所示，过点E作QUOTEEG鈭BEG鈭B，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，即QUOTE．（3）解：①QUOTE，理由如下：由（1）可得QUOTE，QUOTE鈭礎F鈭礎F平分QUOTE鈭燘AE鈭燘AE，QUOTECFCF平分QUOTE鈭燚CE鈭燚CE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，由（2）可知，QUOTE，QUOTE．9．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，QUOTE，则QUOTE________；如图②，QUOTE，则QUOTE________，请你说明理由；（2）如图③，QUOTE，则QUOTE________；（3）利用上述结论解决问题：如图④，QUOTE，QUOTE和QUOTE的平分线相交于点F，QUOTE，求QUOTE的度数．【答案】（1）QUOTE180掳180掳，QUOTE360掳360掳，见解析；（2）QUOTE540掳540掳；（3）QUOTE115掳115掳【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义；（1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点QUOTEA2A2作QUOTEPA2鈭A1PA2鈭A1，证明QUOTE（2）如图，过点QUOTEA2A2作QUOTEPA2鈭A1PA2鈭A1，证明QUOTE（3）过QUOTEFF作QUOTE．证明QUOTE，可得QUOTE．求解QUOTE，再结合角平分线的定义可得答案．【详解】解：（1）QUOTE180掳180掳

QUOTE360掳360掳，理由如下：理由：∵QUOTEMA1鈭A2∴QUOTE．如图，过点QUOTEA2A2作QUOTEPA2鈭A1PQUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．（2）如图，过点QUOTEA2A2作QUOTEPA2鈭A1PQUOTE，QUOTE，∴QUOTE，结合（1）的结论可得：QUOTE，∴QUOTE；（3）如图，过QUOTEFF作QUOTE．QUOTE，QUOTE，QUOTE．QUOTE，QUOTE．QUOTE鈭礏F鈭礏F平分QUOTE鈭燗BE鈭燗BE，QUOTEDFDF平分QUOTE，QUOTE，10．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若QUOTE，如图①“QUOTEMM”型和如图②铅笔型．试猜想QUOTE，QUOTE，QUOTE之间的数量关系．【独立思考】（1）如图①QUOTE，QUOTE，QUOTE之间的数量关系是________．（2）如图②QUOTE，QUOTE，QUOTE之间的数量关系是________．【问题迁移】（3）如图③，QUOTE，QUOTEANAN，QUOTECNCN分别是QUOTE，QUOTE的角平分线，探索QUOTE，QUOTE之间的数量关系是________．（4）如图④，QUOTE，QUOTEAPAP、QUOTECPCP分别是QUOTE、QUOTE的角平分线，探索QUOTE、QUOTE之间的数量关系是________．【联想拓展】如图⑤，已知直线QUOTEABAB，将一个含QUOTE的直角三角板QUOTEQCPQCP，使顶点QUOTEPP落在直线QUOTEABAB上，过点QUOTEQQ作直线QUOTEMNMN，且满足QUOTE．（5）请你探索直线QUOTEMNMN与QUOTEABAB具有怎样的位置关系，并说明理由．【答案】（1）QUOTE；（2）QUOTE；（3）QUOTE；（4）QUOTE；（5）QUOTE，理由见解析【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键．（1）过E作QUOTE，则QUOTE，根据平行线的性质证明QUOTE，QUOTE即可作出判断；（2）过E作QUOTE，则QUOTE，根据平行线的性质证明QUOTE，QUOTE，进而可作出结论；（3）先根据角平分线定义得到QUOTE，QUOTE，再根据（1）和（2）中结论可作出判断；（4）根据角平分线的定义得到QUOTE，QUOTE，再根据（1）中结论可作出判断；（5）过C作QUOTE，根据平行线的性质和等角的余角相等得到QUOTE，则有QUOTE，进而可得结论．【详解】解：（1）如图①，过E作QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，故答案为：QUOTE；（2）如图2，过E作QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，故答案为：QUOTE；（3）如图③，∵QUOTEANAN，QUOTECNCN分别是QUOTE鈭燘AM鈭燘AM，QUOTE鈭燚CM鈭燚CM的角平分线，∴QUOTE，QUOTE，由（1）得QUOTE，由（2）得QUOTE，∴QUOTE，则QUOTE，故答案为：QUOTE；（4）如图④，∵QUOTEAPAP、QUOTECPCP分别是QUOTE鈭燘AQ鈭燘AQ、QUOTE鈭燚CQ鈭燚CQ的角平分线，∴QUOTE