【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第13章-选修4-1-第2节-直线与圆

第十三章选修4－1其次节一、选择题1．自圆O外一点P引圆的切线，切点为A，M为PA的中点，过M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，则∠MPB的大小为()A．10° B．20°C．30° D．40°[答案]B[解析]由于PA与圆相切于点A，所以AM2＝MB·MC．而M为PA的中点，所以PM＝MA，则PM2＝MB·MC，∴eq\f(PM,MC)＝eq\f(MB,PM).又∠BMP＝∠PMC，所以ΔBMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，在△PMC中，由∠CMP＋∠MPC＋∠MCP＝180°，即∠CMP＋∠BPC＋2∠MPB＝180°，所以100°＋40°＋2∠MPB＝180°，从而∠MPB＝20°.2．(2022·天津高考)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则全部正确结论的序号是()A．①② B．③④C．①②③ D．①②④[答案]D[解析]由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠CAD＝∠CBD．∴∠FBD＝∠CBD，即BD平分∠CBF，∴①正确；由切割线定理知，②正确；由相交弦定理知，AE·ED＝BF·EC，∴③不正确；∵△ABF∽△BDF，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(AF,BF).∴AF·BD＝AB·BF，∴④正确．故选D．二、填空题3．如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PDDB＝916，则PD＝________，AB＝________.[答案]eq\f(9,5)，4[解析]由于PDDB＝916，设PD＝9a，则DB＝16a，依据切割线定理有PA2＝PD·PB有a＝eq\f(1,5)，所以PD＝eq\f(9,5)，在直角△PBA中，AB2＝PB2－AP2＝16，所以AB＝4.4．如图，在半径为eq\r(7)的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．[答案]eq\f(\r(3),2)[解析]由相交弦定理知，PA·PB＝PD·PC，又PA＝PB＝2，PD＝1，得PC＝4，故CD＝5，∴d＝eq\r(\r(7)2－\f(5,2)2)＝eq\f(\r(3),2).5．(2022·湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C、D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.[答案]4[解析]由切线长定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.6．如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E，若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．[答案]eq\f(15,2)[解析]由于在圆的内接梯形ABCD中，AB∥DC，所以AD＝BC，∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABE＝∠BCD，所以∠BAD＋∠ABE＝180°，又由于AE为圆的切线，所以AE2＝BE·EC＝4×9＝36，AE＝6.在△ABE中，由余弦定理得cos∠ABE＝eq\f(AB2＋BE2－AE2,2AB·BE)＝eq\f(52＋42－62,2×5×4)＝eq\f(1,8)，cos∠BAD＝cos(180°－∠ABE)＝－cos∠ABE＝－eq\f(1,8)，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝eq\f(225,4)，所以BD＝eq\f(15,2).7.如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.[答案]2eq\r(3)[解析]∵AB为⊙O的直径，C在⊙O上，∴AC⊥BD，又∵BC＝CD，∴AD＝AB＝6，又DE＝2，∴AE＝4，连OC，∵CE为⊙O的切线，∴CE⊥OC，又OC为△ABD的中位线，∴OC∥AD．∴CE⊥AD，∴CD2＝DE·DA＝12，∴CD＝2eq\r(3)，∴BC＝CD＝2eq\r(3).8．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.[答案]5[解析]本题考查了相交弦定理三角形相像等学问．由已知AE·EB＝CE·DE＝DE2，∴DE2＝5×1＝5，因△DFE∽△DEB，所以eq\f(DF,DE)＝eq\f(DE,DB)，∴DE2＝DF·DB＝5.平面几何在选修题中每年必考，难度不大，属保分题型．三、解答题9．(2022·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，CD是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB＝∠D．[解析]证明：OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，又∵∠B＝∠D，∴∠OCB＝∠D．10．如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝eq\r(3)，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[解析](1)连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又∵DB⊥BE，∴DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC．(2)由(Ⅰ)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝eq\f(\r(3),2).设DE中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°.∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆半径等于eq\f(\r(3),2).一、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点．AD和过C点的切线相互垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO＝________.[答案]40°[解析]∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OC∥AD．由此得，∠ACO＝∠CAD，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB．∴∠CAO＝40°，∴∠ACO＝40°.2．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f(3,2)，则线段CD的长为________．[答案]eq\f(4,3)[解析]由于AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以eq\f(3,4)＝eq\f(2,BD)，即BD＝eq\f(8,3).设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝eq\f(64,9)，所以x＝eq\f(4,3).3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝eq\r(5)－1，则AC＝________.[答案]2[解析]由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，所以BCAC＝CDCB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.4．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．[答案]eq\f(8,3)[解析]如图所示：∵AE为圆的切线，∴AE2＝BE·ED，设BE＝x，∴36＝x(5＋x)，x2＋5x－36＝0，∴x＝4.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，又∠EAB＝∠ACB，∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，又EB∥AC，∴四边形BCAE为平行四边形，∴BC＝AE＝6，AC＝BE＝4，∵△DFB∽△AFC，∴eq\f(BD,AC)＝eq\f(BF,FC)，∴eq\f(5,4)＝eq\f(6－FC,FC)，∴FC＝eq\f(8,3).5．(2022·重庆高考)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C，若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.[答案]4[解析]本题主要考查切割线定理与三角形的相像，设AB＝x，PB＝y，由切割线定理可知，PA2＝36＝x(x＋9)(1)由三角形PAB与三角形PCB相像可得eq\f(AB,CA)＝eq\f(PB,PA)，即eq\f(y,8)＝eq\f(6,9＋x)(2)由(1)，(2)可得3y2＋36y－4×48＝0，y＝4(y＝－48舍去)．二、解答题6．(2022·新课标Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．[解析](1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD．所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．7．(2022·辽宁高考)如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED．[解析](1)∵PD＝PG，∴∠PDG＝∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又∠PGD＝∠EGA，∴∠DBA＝∠EGA．∴∠DB