【全程复习方略】2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第四章-第三节平面向量的数量积

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十七)一、选择题1.有下列四个命题:①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥b,则a·b=|a|·|b|.其中真命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)42.(2022·辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是()(A)a∥b(B)a⊥b(C)|a|=|b|(D)a+b=a-b3.在平面直角坐标系xOy中作矩形OABC,已知|OA|=4,|AB|=3,则QUOTE·QUOTE的值为()(A)0(B)7(C)25(D)-74.(2021·湛江模拟)已知a,b均为单位向量,它们的夹角为QUOTE,那么|a+3b|等于()(A)(B)(C)(D)45.在△ABC中,QUOTE=1,QUOTE=2,则AB边的长度为()(A)1(B)3(C)5(D)96.已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a·b=0,若向量c与a-b共线,则|a+c|的最小值为()(A)1(B)QUOTE(C)QUOTE(D)27.设a,b是不共线的两个向量,其夹角是θ,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,则()(A)|a|<|b|,且θ是钝角(B)|a|<|b|,且θ是锐角(C)|a|>|b|,且θ是钝角(D)|a|>|b|,且θ是锐角8.(2021·江门模拟)若向量a,b满足|a|=|b|=1,且(a+b)·b=QUOTE,则向量a与b的夹角为()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°9.(2021·清远模拟)设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有()(A)a⊥b(B)a∥b(C)|a|=|b|(D)|a|≠|b|10.(力气挑战题)如图,已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B.且QUOTE⊥QUOTE,则向量QUOTE的坐标为()(A)(-QUOTE,QUOTE)(B)(-QUOTE,QUOTE)(C)(-QUOTE,QUOTE)(D)(-QUOTE,QUOTE)二、填空题11.已知平面对量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则QUOTE=.12.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(QUOTE+QUOTE)·QUOTE的最小值是.13.(2021·潮州模拟)以下命题:①若|a·b|=|a|·|b|,则a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影为QUOTE;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,则QUOTE·QUOTE=20;④若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则|2b|>|a+2b|.其中全部真命题的序号是.14.(力气挑战题)给定两个长度为1的平面对量QUOTE和QUOTE,它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧QUOTE上运动,若QUOTE=xQUOTE+yQUOTE,其中x,y∈R,则xy的范围是.三、解答题15.在平面直角坐标系中,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤QUOTE).(1)若QUOTE⊥a,且|QUOTE|=QUOTE|QUOTE|(O为坐标原点),求向量QUOTE.(2)若向量QUOTE与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时,求QUOTE·QUOTE.答案解析1.【解析】选A.①(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2<a,b>≤|a|2·|b|2=a2·b2;②|a+b|与|a-b|大小不确定;③正确;④a∥b,当a,b同向时有a·b=|a|·|b|;当a,b反向时有a·b=-|a|·|b|.故不正确.2.【思路点拨】将所给等式两边平方,找到两个向量的关系.【解析】选B.|a+b|=|a-b|⇒|a+b|2=|a-b|2⇒a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2⇒a·b=0⇒a⊥b.【变式备选】已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为QUOTE,那么下列结论中确定成立的是()(A)a=b (B)|a|=|b|(C)a⊥b (D)a∥b【解析】选B.由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.3.【解析】选D.QUOTE·QUOTE=(QUOTE-QUOTE)·(QUOTE+QUOTE)=|QUOTE|2-|QUOTE|2=32-42=-7.4.【解析】选C.由于|a+3b|2=|a|2+|3b|2+2a·3b,所以|a+3b|2=1+9+2×3cosQUOTE=13,所以|a+3b|=QUOTE.5.【思路点拨】依据数量积的定义计算,并结合解三角形的学问得到结果.【解析】选B.过点C作AB的垂线,垂足为D.由条件得QUOTE=QUOTE=|QUOTE|cosA=AD=1,同理BD=2.故AB=AD+DB=3.6.【解析】选B.由于c与a-b共线,且a-b≠0,所以设c=λ(a-b)(λ∈R),于是a+c=a+λ(a-b)=(λ+1)a-λb,所以|a+c|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因此当λ=-QUOTE时,|a+c|取最小值QUOTE.7.【解析】选D.f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b,若函数f(x)在(0,+∞)上有最大值,则可知函数为二次函数,且图象的开口向下,且对称轴在y轴右侧,即QUOTE所以a,b的夹角为锐角,且|a|>|b|.【误区警示】解答本题时简洁因看不懂题意,不能将函数问题转化为向量问题而导致错解或无法解题.8.【解析】选C.由|a|=|b|=1,(a+b)·b=|a|·|b|cos<a,b>+|b|2=cos<a,b>+1=QUOTE,可得cos<a,b>=QUOTE.又由0°≤<a,b>≤180°,可得向量a与b的夹角为60°.9.【解析】选A.f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,即f(x)的表达式是关于x的一次函数.而(xa+b)·(a-xb)=x|a|2-x2a·b+a·b-x|b|2故a·b=0,又∵a,b为非零向量,∴a⊥b,故应选A.10.【解析】选B.依题意设B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π.则QUOTE=(1,1),QUOTE=(cosθ,sinθ).由于QUOTE⊥QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=0,即cosθ+sinθ=0,解得θ=QUOTE,所以QUOTE=(-QUOTE,QUOTE).【方法技巧】解题时引入恰当的参数θ是解题的关键,进而可利用三角函数的定义求得点B的坐标,可将问题转化为向量的坐标运算问题来解决.11.【思路点拨】依据条件求出向量的夹角,进而寻求向量坐标间的关系,化简求值即可.【解析】设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=-6,∴cosθ=-1,∴θ=180°.即a,b共线且反向.又∵|a|=2,|b|=3,∴a=-QUOTEb,x1=-QUOTEx2,y1=-QUOTEy2,∴QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE12.【思路点拨】设PO=x(0≤x≤3),运用向量的数量积转化为函数学问求解.【解析】设PO=x,则PC=3-x(0≤x≤3),则(QUOTE+QUOTE)·QUOTE=2QUOTE·QUOTE=2·x·(3-x)·cosπ=2x(x-3)=2(x-QUOTE)2-QUOTE.∵0≤x≤3,∴当x=QUOTE时,(QUOTE+QUOTE)·QUOTE有最小值-QUOTE.答案:-QUOTE13.【解析】①中,由|a·b|=|a||b||cos<a,b>|=|a||b|,知cos<a,b>=±1,故<a,b>=0或<a,b>=π,所以a∥b,故正确;②中a在b方向上的投影为|a|·cos<a,b>=|a|·故正确;③中,由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE,故QUOTE·QUOTE=-QUOTE·QUOTE=-5×8×QUOTE=-20,故错误.④中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故错误.答案:①②14.【解析】由QUOTE=xQUOTE+yQUOTE,得QUOTE+2xyQUOTE·QUOTE.又|QUOTE|=|QUOTE|=|QUOTE|=1,QUOTE·QUOTE=0,∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤QUOTE,而点C在以O为圆心的圆弧QUOTE上运动,得x,y∈[0,1],于是0≤xy≤QUOTE.答案:[0,QUOTE]15.【解析】(1)可得QUOTE=(n-8,t),∵QUOTE⊥a,∴QUOTE·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,得n=2t+8,则QUOTE=(2t,t).又|QUOTE|=QUOTE|QUOTE|,|QUOTE|=8.∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.∴QUOTE=(24,8)或QUOTE=(-8,-8).(2)∵向量QUOTE与向量a共