多元函数微分学的

多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面定义1

设M0是空间曲线Γ上的一点，M是Γ上的另一点（见图8-16）．则当点M沿曲线Γ趋向于点M0时，割线M0M的极限位置M0T（如果存在），称为曲线Γ在点M0处的切线．过点M0且与切线垂直的平面，称为曲线Γ在点M0处的法平面．图8-16一、空间曲线的切线与法平面下面根据曲线方程不同的形式，建立空间曲线Γ的切线与法平面方程．(1)设曲线Γ的参数方程为当t=t0时，曲线Γ上的对应点为M0(x0,y0,z0)．假定x(t)，y(t)，z(t)可导，且x′(t0)，y′(t0)，z′(t0)不同时为零．给t0以增量Δt，对应地在曲线Γ上有一点M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，则割线M0M的方程为一、空间曲线的切线与法平面

上式中各分母除以Δt，得当点M沿曲线Γ趋向于点M0时，有Δt→0，对上式取极限，因为上式分母各趋向于x′(t0)，y′(t0)，z′(t0)，且不同时为零，所以割线的极限位置存在，且为一、空间曲线的切线与法平面

（8-11）这就是曲线Γ在点M0处的切线M0T的方程．切线的方向向量T可取为{x′(t0),y′(t0),z′(t0)}．容易知道，曲线Γ在点M0处的法平面的方程为x′(t0)(x－x0)+y′(t0)(y－y0)+z′(t0)(z－z0)=0．（8-12）一、空间曲线的切线与法平面

(2)设空间曲线Γ的方程以的形式给出，取x为参数，它就可以表示为参数方程的形式若φ(x),ψ(x)都在x=x0处可导，那么，根据上面的讨论可知T={1,φ′(x0),ψ′(x0)}．因此，曲线Γ在点M(x0,y0,z0)处的切线方程为一、空间曲线的切线与法平面

（8-13）曲线Γ在点M(x0,y0,z0)处的法平面方程为

（8-14）一、空间曲线的切线与法平面所以于是，由式（8-11）可得螺旋线在对应于

的点处的切线方程为即一、空间曲线的切线与法平面求螺旋线上对应于的点

处的切线与法平面方程．

解当因为【例1】一、空间曲线的切线与法平面求曲线在对应于

的点处的切线与法平面方程．

解令x=t，得曲线Γ的参数方程为当时，y=4,z=3．因为【例2】一、空间曲线的切线与法平面又由式（8-12）可得螺旋线在对应点处的法平面方程为即一、空间曲线的切线与法平面所以，由式（8-13）可得曲线Γ在对应于

的点处的切线方程为由式（8-14）可得曲线Γ在对应于

的点处的法平面方程为即2x+32y+24z－201=0．二、曲面的切平面与法线定义2

设M0为曲面∑上的一点，若在曲面∑上过点M0的任何曲线在M0处的切线均在同一个平面上，则称该平面为曲面∑在点M0处的切平面，过点M0且垂直于切平面的直线，称为曲面∑在点M0处的法线．设曲面∑的方程为F(x,y,z)=0，M0(x0,y0,z0)是∑上的一点，F′x，F′y，F′z在点M0处连续且不同时为零．则可以证明，曲面上过点M0的任何曲线的切线都在同一个平面上．二、曲面的切平面与法线在曲面∑上，通过点M0(x0,y0,z0)任意引一条曲线Γ（见图8-17）．假定曲线Γ的参数方程为

（8-15）t=t0对应于点M0(x0,y0,z0)，且φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)不全为零，则曲线Γ的切线方程为二、曲面的切平面与法线图8-17二、曲面的切平面与法线定义2

现在要证明的是，在曲面∑上通过点M0(x0,y0,z0)且在点M0(x0,y0,z0)处具有切线的任何曲线Γ，它们在点M0(x0,y0,z0)处的切线都在同一个平面上．事实上，因为曲线Γ完全在曲面∑上，所以有恒等式F［φ(t),ψ(t),ω(t)］≡0．又因为F(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处有连续的一阶偏导数，且φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)存在，所以，这恒等式左边的复合函数在t=t0时有全导数，且这全导数等于零．二、曲面的切平面与法线

既有引入向量二、曲面的切平面与法线定义2

则式（8-16）表示曲线式（8-15）在点M0(x0,y0,z0)处的切向量T={φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)}与向量n垂直．因为曲线式（8-15）是曲面∑上通过点M0(x0,y0,z0)的任意一条曲线，它们在点M0(x0,y0,z0)的切线都与同一个向量n垂直，所以，曲面∑上通过点M0(x0,y0,z0)的任何曲线Γ，它们在点M0(x0,y0,z0)处的切线都在同一个平面上．该平面就是曲面∑在点M0处的切平面，其方程为二、曲面的切平面与法线定义2

（8-17）曲面∑在点M0处的法线方程为

（8-18）若曲面方程由显函数z=f(x,y)给出，令F(x,y,z)=f(x,y)－z，于是F(x,y,z)=f(x,y)－z=0．二、曲面的切平面与法线因为F′x=f′x,F′y=f′y,F′z=－1，所以曲面∑在点M0处的切平面方程为z－z0=f′x(x0,y0)(x－x0)+f′y(x0,y0)(y－y0)．（8-19）法线方程为

（8-20）二、曲面的切平面与法线由切平面的方程（8-19）可以看到，方程的右端恰好是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，而左端是切平面上点的竖坐标的增量．因此，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的全微分，在几何上表示曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处的切平面上点的竖坐标的增量．这就是二元函数全微分的几何意义．二、曲面的切平面与法线如果用α，β，γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为其中f′x=f′x(x0,y0),f′y=f′y(x0,y0)．二、曲面的切平面与法线求圆锥面

在点(3,4,5)处的切平面与法线方程．

解设因为所以因此，由（8-19）式可得圆锥面在点(3,4,5)处的切平面方程为【例3】二、曲面的切平面与法线即3x+4y－5z=0．由式（8-20）可得圆锥面在点(3,4,5)处的法线方程为即二、曲面的切平面与法线球面x2+y2+z2=104上哪一点的切平面与平面3x+4y+z=2平行？并求此切平面方程．

解因为F(x,y,z)=x2+y2+z2－104，所以F′x=2x,F′y=2y,F′z=2z．又因为球面x2+y2+z2=104上点M0(x0,y0,z0)处的切平面平行于平面3x+4y+z=2，所以有【例4】二、曲面的切平面与法线所以有故有解得x0=3z0,y0=4z0．又点M0(x0,y0,z0)在球面x2+y2+z2=104上，所以有x20+y20+z20=104，即9z20+16z20+z20=104．二、曲面的切平面与法线解得z0=±2，于是有x0=±6,y0=±8．又因为在该球面上的点(6,8,2)及(－6,－8,－2)处的切平面都平行于平面