常数级数的概念和性质

常数级数的概念和性质一、常数项级数的概念

人们认识事物在数量上的特性，往往有一个由近似到精确的过程．在这种认识过程中，会遇到由有限项相加到无穷项的问题一、常数项级数的概念例如，计算半径为R的圆面积A，具体做法如下：作圆的内接正六边形，算出这个六边形的面积a1，它是圆面积A的一个粗糙的近似值．为了比较准确地计算出A的值，我们在这个六边形的每个边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形（见图9-1），算出这六个等腰三角形的面积之和a2．那么a1+a2（即内接正十二边形的面积）就是A的一个较好的近似值．同样的，在这个正十二边形的每个边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二等腰三角形的面积之和a3．那么a1+a2+a3（即内接正二十四边形的面积）是A的一个更好的近似值．如此继续下去，内接正3×2n边形的面积就逐步逼近圆的面积：一、常数项级数的概念图9-1一、常数项级数的概念

如果内接正多边形的边数无限增多，则n无限增大，a1+a2+a3+…+an的极限就是所求的圆面积A．这时和式中的项数无限增多，于是出现了无穷多个数量依次相加的数学式子．一般的，设有一个数列则由这些数列构成的和式

（11-10）一、常数项级数的概念称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为

，即其中第n项un称为级数的一般项或通项.上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？相加后和为多少呢？为了回答这个问题，可以通过考察有限项和的变化趋势来理解无穷多项和的含义.一、常数项级数的概念令得到一个数列

，称sn为级数(11-1)的部分和.级数是否有和，关键看当n→∞时

是否有极限，为此给出下列定义.一、常数项级数的概念定义若级数

的部分和数列

存在极限s，即则称无穷级数

收敛，极限称为级数的和，并写成若

没有极限，则称无穷级数

发散.当级数收敛时，级数和s与部分和

之差一、常数项级数的概念称为级数的余项.由上述定义可知,级数

与数列

同时收敛或同时发散，且在收敛时，有一、常数项级数的概念讨论级数的收敛性.

解由于于是【例1】一、常数项级数的概念所以即级数收敛，其和为一、常数项级数的概念讨论等比级数(又称几何级数)

（11-2）的收敛性.

解当若q<1,有

则【例2】一、常数项级数的概念若q>1,有,则若q=1,有,则若q=－1,有显然sn随着n为奇数或偶数而等于a或等于零,从而

不存在.综上所述,当q<1时，等比级数(11-2)收敛,且和为一、常数项级数的概念证明调和级数

（11-3）是发散的.【例3】一、常数项级数的概念证明级数(11-3)的通项un可以用下列积分表示因为从而于是一、常数项级数的概念因此当n→∞时,ln(n+1)→∞,所以调和级数(11-3)发散.二、收敛级数的基本性质

根据级数收敛性的定义，可得收敛级数的几个性质.二、收敛级数的基本性质性质1设k为非零常数，若级数

收敛于和s，则级数

也收敛，且其和为ks.证明设级数

，

的部分和分别为sn，τn，则二、收敛级数的基本性质于是因此，级数

也收敛，且其和为ks.二、收敛级数的基本性质性质2若级数

与

分别收敛于s与τ，则级数

也收敛，其和为s±τ.二、收敛级数的基本性质证明设级数

的部分和分别为sn，τn，则于是因此，级数

收敛，其和为s±τ.二、收敛级数的基本性质性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.证明证明“改变级数的前面有限项不会改变级数的收敛性”，其他两种情况容易由此结果推出.设有级数

（11-4）二、收敛级数的基本性质若改变它的前面有限项，则得一个新的级数

（11-5）设级数（11-4）、级数（11-5）的前n项和分别为sn，τn.又设

，则于是，{τn}

与{sn}具有相同的收敛性，即级数(11-4)与级数(11-5)具有相同的收敛性.二、收敛级数的基本性质性质4在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数仍收敛，且其和不变.证明设级数

，其部分和为sn.将这个级数任意添加括号所得到的新级数为二、收敛级数的基本性质设它的前k项和为τk，则于是所以添加括号所得的新级数收敛，且其和不变.二、收敛级数的基本性质若添加括号所得到的级数收敛，则不能断定去括弧后原来的级数也收敛.例如，级数1－1+1－1+…是发散的，而级数(1－1)+(1－1)+…却是收敛的.注意二、收敛级数的基本性质若级数的一般项趋近于零，则不能断定级数收敛.例如，调和级数的一般

，但调和级数

是发散的.注意二、收敛级数的基本性质推论若加括号后所成的级数发散，则去括后级数也发散.二、收敛级数的基本性质性质5（级数收敛的必要条件）若级数

收敛，则证明设级数

的部分和为sn，且

则二、收敛级数的基本性质推论若级数

的一般项不趋近于零，即

，则级数

发散.二、收敛级数的基本性质判别级数

的敛散性.

解因为所以级数

发散.【例4】三、柯西收敛准则

判别一个级数的收敛性可用下列柯西收敛准则.三、柯西收敛准则

（柯西收敛准则）级数

收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，对于任意的自然数p，恒有定理三、柯西收敛准则证明设级数

的部分和为sn,因为所以由数列的柯西极限存在准则,即