第07讲-直线的方程(一)：直线方程的几种形式(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版)

第07讲直线的方程（一）：直线方程的几种形式【人教A版2019】·模块一直线的点斜式、斜截式方程·模块二直线的两点式、截距式方程·模块三直线的一般式方程·模块四方向向量与直线的参数方程·模块五课后作业模块一模块一直线的点斜式、斜截式方程1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：

设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.

(2)点斜式方程的使用方法：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：

设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：

已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.【考点1直线的点斜式方程及辨析】【例1.1】（2023春·安徽池州·高二联考阶段练习）过点(−3,5)且倾斜角为150°的直线l的方程为（A．y=−3x+2 C．y=3x+8 【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）方程y=kx−2表示（

A．通过点2,0的所有直线 B．通过点2,0且不垂直于y轴的所有直线C．通过点2,0且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点2,0且除去x轴的所有直线【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）如下图，直线l的方程是（

）A．3x−y−3=0C．3x−3y−1=0 D．【变式1.2】（2023春·河南商丘·高二校考阶段练习）直线l1：3x−y+1=0，直线l2过点1,0，且它的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线lA．y=6x+1 B．y=6x−1 C．y=34【考点2直线的斜截式方程及辨析】【例2.1】（2022秋·重庆南岸·高二校考期中）经过点A2,3，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（A．y=x+1 B．y=x−1 C．y=−x−1【例2.2】（2023·高二课时练习）下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（

）A．x＝3 B．y＝－5C．2y＝x D．x＝4y－1【变式2.1】（2023秋·高二课时练习）倾斜角为30°，且过点(−2,0)的直线斜截式方程为．【变式2.2】（2022秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）过点P3,4且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是模块二模块二直线的两点式、截距式方程1．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程叫作直线l的两点式方程.

(2)两点式方程的使用方法：

①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当时，直线方程为(或).

③当时，直线方程为(或).2．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.

(2)直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.

②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.【考点1直线的两点式方程及辨析】【例1.1】（2023秋·高二课时练习）直线l过点A(−1,1),B(2,4)，则直线l的方程为（

）A．y=x−2 B．y=−x−2 C．y=−x+2 D．y=x+2【例1.2】（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）过点A(−2,2)和点B(4,−1)的直线在y上的截距为（

）A．1 B．2 C．−1 D．−2【变式1.1】（2022秋·高二校考课时练习）已知△ABC的三个顶点分别为A1,1,B3,1,C4,5，M为ABA．2x+y−3=0 B．2x−y+3=0C．2x+y+3=0 D．2x−y−3=0【变式1.2】（2022·全国·高二专题练习）已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【考点2直线的截距式方程及辨析】【例2.1】（2022·高二课时练习）在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（）A．x−3+yC．x−3−y【例2.2】（2023秋·高二课时练习）过点(3,−4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

）A．y=−x−1 B．y=43x C．【变式2.1】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线l过A−2,1，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（

A．x+2y=0或x−yC．x−y−1=0或x+y【变式2.2】（2022·全国·高三专题练习）过点P1，4在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线有（

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条模块三模块三直线的一般式方程1．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.

对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.

当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.

(2)一般式方程的使用方法：

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.2．辨析直线方程的五种形式方程形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率；②已知

一点斜截式y=kx+b不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距；②已知斜率两点式不能表示与x轴、

y轴垂直的直线①已知两个定点；②已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式Ax+By+C=0

(A,B不全为0)表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程【考点1直线的一般式方程及辨析】【例1.1】（2023秋·高二课时练习）经过点(0,−1)，且倾斜角为60°的直线的一般式方程为（

）A．3x−y−1=0 B．3x−y+1=0 C．x−3【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，直线x−2y+3=0经过（

）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限C．一、三、四象限 D．二、三、四象限【变式1.1】（2023·高二课时练习）若直线(a−1)x−y−a=0不通过第二象限，则实数a的取值范围是（

）A．[1,+∞) B．(1,+∞) C．(−∞,0)∪[1,+∞) D．(0,1)【变式1.2】（2023秋·四川成都·高二统考期末）已知直线l:Ax+By+C=0（A，B不同时为0），则下列说法中错误的是（

）A．当B=0时，直线l总与x轴相交B．当C=0时，直线l经过坐标原点OC．当A=C=0时，直线l是x轴所在直线D．当AB≠0时，直线l不可能与两坐标轴同时相交【考点2直线一般式方程与其他形式之间的互化】【例2.1】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）过点(1,−1)且斜率为12的直线lA．3x+2y−7=0 B．2x+y−4=0C．x−2y−3=0 D．x−2y+3=0【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）过点4,0和0,−3的直线方程为（

）A．3x−4y−1=0 B．xC．x4−y【变式2.1】（2023秋·河南商丘·高二校联考期末）直线m:3x−3y+1=0与直线n:x=0的夹角为（A．120∘ B．60∘ C．45∘【变式2.2】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l过点(2,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为（

）A．x+2y−10=0 B．x+2y+10=0C．2x−y=0或x+2y−4=0 D．2x−y=0或x模块四模块四方向向量与直线的参数方程1．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.【考点1求直线的方向向量】【例1.1】（2023秋·河北唐山·高二统考期末）直线2x+3y−3=0的一个方向向量是（

）A．2,−3 B．2,3 C．3,−2 D．3,2【例1.2】（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）直线2mx+my−3=0的一个方向向量是（

）A．1,2 B．2,−1 C．2,1 D．1,−2【变式1.1】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过A0,2，B1,0两点的直线的一个方向向量为1,k，那么k=（A．−2 B．−1 C．−12【变式1.2】（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知直线l过点−3,4且方向向量为1,−2，则l在x轴上的截距为（

）A．−1 B．1 C．−5 D．5【考点2根据直线的方向向量求直线方程】【例2.1】（2023·上海·高二专题练习）经过点1,1，且方向向量为1,2的直线方程是（

）A．2x−y−1=0 B．2x+y−3=0C．x−2y+1=0 D．x+2y−3=0【例2.2】（2022秋·广东广州·高二校考期末）与向量a=1,27平行，且经过点A．y=27x−C．y=72x−18【变式2.1】（2022秋·高二校考课时练习）已知直线l经过点−1,4，且它的一个方向向量为n=−2,4，则（A．直线l的点斜式方程为y−4=−B．直线l的斜截式方程为x=−C．直线l的截距式方程为x+D．直线l的一般式方程为x+2y−7=0【变式2.2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）已知直线l：2m+1x+m+1y+m=0经过定点P，直线l′经过点P，且l′的方向向量aA．2x−3y+5=0 B．2x−3y−5=0C．3x−2y+5=0 D．3x−2y−5=0模块五模块五课后作业1．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二校考期末）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大B．过点P(x0C．经过两个不同的点P1x1,D．经过点1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=02．（2022秋·新疆喀什·高二校考期末）直线l的倾斜角是60∘，在y轴上的截距是-2，则直线l的方程是（

A．y=3x−2 C．y=33x−23．（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点A3,−5，B−5,5的直线在y轴上的截距为（A．−54 B．54 C．−4．（2023秋·辽宁沈阳·高二校考期末）过点A1,2在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

A．y=2x B．x+y−3=0C．x=y或x+y−3=0 D．y=2x或x+y−3=05．（2023·上海·高二专题练习）如果AB>0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不经过第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四6．（2022秋·河南濮阳·高二校考阶段练习）直线l1:y=ax+b与直线l2A． B．C． D．7．（2023春·山东青岛·高二校考开学考试）已知直线l:x+y−4=0.则下列结论正确的是（

）A．点2,−2在直线l上 B．直线l在y轴上的截距为−4C．直线l的倾斜角为3π4 D．直线l的一个方向向量为8．（2023秋·广东广州·高一校考期中）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9．（2022秋·四川泸州·高二统考期末）直线l经过点A1,2，在x轴上的截距的取值范围是−3,3，则其斜率的取值范围是（

A．−1,12 C．−∞,−1∪10．（2023秋·高二课时练习）直线l:ax+y+1=0与连接A(2,3),B(−3,2)的线段相交，则a的取值范围是（

）A．[−1,2] B．[2,+∞)∪(−∞,−1) C．11．（2023·江苏·高二假期作业）把直线l的一般式方程x−2y+6=0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.12．（2022秋·甘肃白银·高二校考期中）根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式.(1)斜率是−12，且经过点(2)在x轴和y轴上的截距分别是32和−3(3)经过点2,−3，且一个方向向量为a=13．（2022秋·广西