【八年级下册数学北师大版】第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组（9类题型突破）

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组（9类题型突破）题型一不等式的定义【例题】1．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5巩固训练：2．如图所示，表示三人体重，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．3．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（）A．每100克内含钙150毫克B．每100克内含钙不低于150毫克C．每100克内含钙高于150毫克D．每100克内含钙不超过150毫克题型二不等式的基本性质【例题】4．由m＞n，可得（

）A．mc2＞nc2 B．m2＞n2C． D．m－2021＜n－2021巩固训练：5．下列说法正确的是（

）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a（m－n）＞b（m－n）C．若，则a＞b D．若a＞0，b＞0，且，则a＞b6．如果，那么下列结论一定正确的是（

）．A． B． C． D．7．已知x＞y，xy＜0，a为任意有理数，下列式子一定正确的是（

）A．－x＞－y B．a2x＞a2yC．－x＋a＜－y＋a D．x＞－y题型三不等式的解集【例题】8．下列解集中，包括2的是（

）A． B． C． D．巩固训练：9．如果关于的不等式的解集为，则的值是（

）A． B． C． D．10．下列说法错误的是（

）A．不等式的解是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集11．下列说法中，正确的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个题型四一元一次不等式（组）的解法【例题】．12．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个巩固训练：13．已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝_____．14．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（

）①；②；③；④；⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个15．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型五一元一次不等式（组）的解法【例题】．不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：(1)的与5的和大于6；(2)的3倍与2的差不小于4．巩固训练：17．解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)；(2)．18．解不等式组下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：解：解不等式①，得

第1步合并同类项，得

第2步两边都除以，得

第3步任务一：该同学的解答过程中第____步出现了错误，这一步的依据是______，不等式①的正确解是_______．任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．19．解下列一元一次不等式（组）：(1) (2)．20．解下列不等式组：(1) (2)题型六一元一次不等式（组）的应用（整数解、求参数等）【例题】．21．已知关于x的不等式x＞的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为________．巩固训练：22．若关于x的不等式仅有的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是______．23．不等式的正整数解是_______．24．已知不等式组的解集中共有3个整数，则的取值范围是：__________．25．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且为负整数，则点的坐标为________．26．已知关于x、y的方程组的解满足，求m的取值范围．27．一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为____________．题型七一元一次不等式与一次函数【例题】．28．若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为____．巩固训练：29．如图，直线：与直线：交于点，则不等式的解集为________．30．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（）A．方程的解是B．不等式和不等式的解集相同C．不等式组的解集是D．方程组的解是题型八一元一次不等式（组）的实际应用【例题】．31．2022年某地区空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果2023年（365天）这样的比值要超过，那么2023年空气质量良好的天数比去年至少要增加的天数是（

）A．34 B．35 C．36 D．37巩固训练：32．小明要从甲地到乙地，两地相距．已知他步行的平均速度为，跑步的平均速度为．若他要在不超过的时间内从甲地到达乙地，则至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步，则列出的不等式为（

）A． B．C． D．33．疫情期间，有一批患者要入住邵阳市中心医院的某栋大楼，若每间住4人，则有38人无法入住；若每间住5人，则最后一间没住满．若设房间数为x间，则可列不等式组为：__________．34．小明沿着某公园的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示，当小明跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“＝”或“”）；如果小明跑到时恰好回到起点，那么此时小明总共跑的圈数为______．

题型九一元一次不等式（组）解答题综合题【例题】35．根据下列数量关系列出不等式：(1)x的6倍减去2是负数．(2)的与的和不大于0．(3)正数与2的和的算术平方根大于等于1．巩固训练：36．解下列不等式（组）：(1)； (2)；(3)．37．已知关于x的不等式组的解集为，求的值．38．近年来国家教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，蓝山县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个某种篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．(1)篮球、足球的单价各是多少元；(2)根据学校的实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，则该校最多可以购买多少个篮球？39．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．(1)求点A的坐标；(2)若点C在第二象限，的面积是5；①求点C的坐标；②直接写出不等式组的解集；③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围．

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组（9类题型突破）答案全解全析题型一不等式的定义【例题】1．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】略巩固训练：2．如图所示，表示三人体重，，的大小关系正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的传递性：，，可推得，可得答案．【解析】A、由图示，得，故错误；B、由图示，得，故错误；C、由图示，得，，由不等式的传递性，得，故错误；D、由图示，得，，由不等式的传递性，得，故正确；故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质，利用了不等式的传递性：，，可推得．3．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（）A．每100克内含钙150毫克B．每100克内含钙不低于150毫克C．每100克内含钙高于150毫克D．每100克内含钙不超过150毫克【答案】B【分析】根据不等号的含义，进行判断即可．【解析】解：根据的含义，“每100克内含钙150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”，故选：B．【点睛】本题考查不等号的意义，熟练掌握不等号的意义，是解题的关键．题型二不等式的基本性质【例题】4．由m＞n，可得（

）A．mc2＞nc2 B．m2＞n2C． D．m－2021＜n－2021【答案】C【解析】略巩固训练：5．下列说法正确的是（

）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a（m－n）＞b（m－n）C．若，则a＞b D．若a＞0，b＞0，且，则a＞b【答案】C【解析】略6．如果，那么下列结论一定正确的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的定义，解题的关键是掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据绝对值的定义进行分类讨论即可．【解析】解：A、当时，，但，故A不正确，不符合题意；B、当时，，但，故B不正确，不符合题意；C、当时，，但，故C不正确，不符合题意；D、∵，∴，∴，故D正确，符合题意；故选：D．7．已知x＞y，xy＜0，a为任意有理数，下列式子一定正确的是（

）A．－x＞－y B．a2x＞a2yC．－x＋a＜－y＋a D．x＞－y【答案】C【解析】略题型三不等式的解集【例题】8．下列解集中，包括2的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式表示的解集范围进行判断即可．【解析】解：A．表示比2小的数，不包含2，故A不符合题意；B．表示比3大或与3相等的数，不包含2，故B不符合题意；C．表示比3小或与3相等的数，包含2，故C符合题意；D．表示比2大的数，不包含2，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了不等式的解集，解题的关键是熟练掌握不等式解集的定义．巩固训练：9．如果关于的不等式的解集为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的解集为，可得方程，再解方程即可．【解析】解：关于的不等式的解集为，，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，解一元一次方程，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．10．下列说法错误的是（

）A．不等式的解是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集【答案】A【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可．【解析】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本选项错误，符合题意；B、3是不等式的解，说法正确，故本选项不符合题意；C、不等式的解集是，说法正确，故本选项不符合题意；D、是不等式的解集，说法正确，故本选项不符合题意．故选∶A．【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键．11．下列说法中，正确的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．【解析】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；B、∵，故错误，不符合题意；C、正确，符合题意；D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．题型四一元一次不等式（组）的解法【例题】．12．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，其中只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的不等式叫做一元一次不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：．【解析】解：①未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意；②含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；③是一元一次不等式，符合题意；④不是不等式，不符合题意；⑤是一元一次不等式，符合题意；∴一元一次不等式一共有2个，故选：A．巩固训练：13．已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝_____．【答案】-3【解析】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式,∴k-3≠0且|k|-2=1,解得k=-3.14．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（

）①；②；③；④；⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可．【解析】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，答案：B．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.15．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．【解析】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．题型五一元一次不等式（组）的解法【例题】．16．用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：(1)的与5的和大于6；(2)的3倍与2的差不小于4．【答案】(1)(2)【解析】略巩固训练：17．解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)；(2)．【答案】(1)，数轴表示见解析(2)，数轴表示见解析【解析】（1）去括号，得，移项，得．合并同类项，得系数化为1，得．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．（2）去分母，得．去括号，得．移项，得．合并同类项，得系数化为1，得这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．18．解不等式组下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：解：解不等式①，得

第1步合并同类项，得

第2步两边都除以，得

第3步任务一：该同学的解答过程中第_步出现了错误，这一步的依据是_，不等式①的正确解是_．任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．【答案】任务一：3，不等式的基本性质3，；任务二：【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．任务一：根据不等式的解法逐步分析即可；任务二：根据不等式的解法求出不等式②的解集，然后求出解集即可．【解析】解：（1）该同学的解答过程中第3步出现了错误，这一步的依据是不等式的基本性质3，不等式①的正确解是故答案为：3，不等式的基本性质3，（2）解不等式②，得，∴不等式组的解为．19．解下列一元一次不等式（组）：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解不等式，解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．(1)按照解不等式的基本步骤解答即可．(2)先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集．【解析】（1），去分母，得，去括号，得移项，得合并同类项，得，系数化为1，得．（2）∵,∴∴解不等式①，得，解不等式,②，得，∴不等式组的解集为．20．解下列不等式组：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）解不等式①，得．解不等式②，得．所以原不等式组的解集是．（2）解不等式①，得．解不等式②，得．所以原不等式组的解集为．题型六一元一次不等式（组）的应用（整数解、求参数等）【例题】．21．已知关于x的不等式x＞的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为________．【答案】1【解析】略巩固训练：22．若关于x的不等式仅有的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是______．【答案】【解析】略23．不等式的正整数解是_______．【答案】1，2【分析】根据不等式的基本性质及解不等式的步骤求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可．【解析】解：，，，，，又∵不等式的解为正整数，∴不等式的正整数解为：1，2故答案为：1，2【点睛】本题考查解一元一次不等式及不等式的特殊解，能正确求出不等式的解集是解决本题的关键．24．已知不等式组的解集中共有3个整数，则的取值范围是：__________．【答案】/【分析】本题主要考查了不等式组中未知字母的取值，解不等式并确定其整数解是解题关键．根据题意先解出不等式组的解，然后确定的取值范围，根据整数解的个数即可求出的取值范围．【解析】解：解不等式组，可得，根据题意，该不等式组的解集中共有3个整数，∴可知可取3，4，5，∴．故答案为：．25．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且为负整数，则点的坐标为________．【答案】【解析】略26．已知关于x、y的方程组的解满足，求m的取值范围．【答案】【分析】方程组两方程根据得出，代入已知不等式计算即可求出的范围．【解析】解：，：，，，解得：．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，即解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．27．一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为____________．【答案】【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．根据运算流程结合需要经过2次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解析】解：第一次运算结果为，第二次运算结果为，因为经过2次运算才能输出结果，所以，解得．故答案为：．题型七一元一次不等式与一次函数【例题】．28．若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为____．【答案】【分析】本题考查了一次函数与图象和解一元一次不等式，利用待定系数法求得，再代入解一元一次不等式即可．【解析】解：∵一次函数的图象过点，∴，∴，∵，∴，由图像可知，则．故答案为：．巩固训练：29．如图，直线：与直线：交于点，则不等式的解集为________．【答案】【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，解题关键是通过函数图像判断两条函数的大小关系．根据函数图像，要使，则表示在上方的部分，读图可得答案．【解析】解：∵∴在函数图像上反映为在上方的部分∴故答案为：30．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（）A．方程的解是B．不等式和不等式的解集相同C．不等式组的解集是D．方程组的解是【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键．【解析】解：A．根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，原结论正确，不符合题意；B．根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原结论正确，不符合题意；C．把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，原结论正确，不符合题意；D．根据方程组的解才是，原结论错误，符合题意．故选；D．题型八一元一次不等式（组）的实际应用【例题】．31．2022年某地区空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果2023年（365天）这样的比值要超过，那么2023年空气质量良好的天数比去年至少要增加的天数是（

）A．34 B．35 C．36 D．37【答案】D【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意确定题中的等量关系是列出一元一次不等式的关键．设2023年空气质量良好的天数比去年要增加的天数为x天，由题中等量关系可得关于x的一元一次不等式，求解取合适的值即可．【解析】解：设2023年空气质量良好的天数比去年要增加的天数为x天，根据题意得解得，∵x要取整数，所以2023年空气质量良好的天数比去年至少要增加的天数为37天．故选：D．巩固训练：32．小明要从甲地到乙地，两地相距．已知他步行的平均速度为，跑步的平均速度为．若他要在不超过的时间内从甲地到达乙地，则至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步，则列出的不等式为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】略33．疫情期间，有一批患者要入住邵阳市中心医院的某栋大楼，若每间住4人，则有38人无法入住；若每间住5人，则最后一间没住满．若设房间数为x间，则可列不等式组为：__________．【答案】或或【分析】本题主要考查了列不等式组，审清题意、找到不等关系是解题的关键．根据不等关系“每间住4人，则有38人无法入住”和“若每间住5人，则最后一间没住满”据此列不等式组即可．【解析】解：若设房间数为x间，由题意可得：或或．故答案为：或或（任意一个即可）．34．小明沿着某公园的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示，当小明跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“＝”或“”）；如果小明跑到时恰好回到起点，那么此时小明总共跑的圈数为______．

【答案】7【分析】由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可．【解析】解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，由题意得：，解得：，∴，∴又∵，∴，∴，∵x是正整数，∴，即此时小明总共跑的圈数为7，故答案为：，7．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意，得出不等式是解题的关键．题型九一元一次不等式（组）解答题综合题【例题】．35．根据下列数量关系列出不等式：(1)x的6倍减去2是负数．(2)的与的和不大于0．(3)正数与2的和的算术平方根大于等于1．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了列不等式，算术平方根．理解题意，根据题意正确的列不等式是解题的关键．（1）x的6倍减去2是负数，即；（2）的与的和不大于0，即；（3）正数与2的和的算术平方根大于等于1，即．【解析】（1）解：由题意得，；（2）解：由题意得，；（3）解：由题意得，．巩固训练：36．解下列不等式（组）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)x≤－21(2)x＜7(3)－1≤x＜2【解析】（1）去分母，得30－2（2－3x）≤5（1＋x），去括号，得30－4＋6x≤5＋5x，移项，得6x－5x≤5＋4－30，合并同类项，得x≤－21．（2）去分母，得4（x＋2）＞7（x－1）－6，去括号，得4x＋8＞7x－7－6，移项，得4x－7x＞－7－6－8，合并同类项，得－3x＞－21，两边都除以－3，得x＜7．（3）解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥－1，∴原不等式组的解集为－1≤x＜2．37．已知关于x的不等式组的解集为，求的值．【答案】【解析】解：解不等式，得，解不等式，得．∵该不等式组的解集为，解得38．近年来国家教育部要求学校积极开展素质教育，