向量内积与向量组的正交化

向量内积与向量组的正交化向量内积与向量组的正交化定义3-15对Rn中的两个向量α=a1,a2,…,anT和β=b1,b2,…,bnT，称实数a1b1+a2b2+…+anbn为向量α和β的内积，记为α·β或α,β.即α·β=a1b1+a2b2+…+anbn利用矩阵的运算，向量的内积也可表示成α·β=αT·β=βT·α.容易验证，内积具有如下性质：（1）α,β=β,α.（2）kα,β=kα,β.（3）α+β,γ=α,γ+β,γ.（4）α,α≥0，且α,α=0的充要条件是α=0.其中α，β，γ是Rn中的任意向量，k为任意实数.已知α1=1,2,－1T,α2=0,－2,－1T,求:（1）α1,α2.（2）3α1+2α2,α1－α2.解（1）α1,α2=1×0+2×－2+－1×－1=－3（2）3α1+2α2,α1－α2=3α1,α1－α2+2α2,α1－α2=3α1,α1－3α1,α2+2α2,α1－2α2,α2=18+9－6－10=11有了内积的概念就可以定义向量长度的概念了.【例3-21】定义3-16对Rn中的向量α=a1,a2,…,anT，称实数α,α为向量α的长度或模，记作‖α‖.即

‖α‖=α,α=a21+a22+…+a2n长度为1的向量称为单位向量.由向量长度的定义，可证得以下性质：（1）‖α‖≥0，且‖α‖=0的充要条件是α=0.（2）对任意实数k，有‖kα‖=k‖α‖.（3）‖α,β‖≤‖α‖·‖β‖.（4）‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖.定义3-17

对Rn中的任意两个向量α和β，若α,β=0，则称向量α和β正交.显然，零向量与任何向量正交.自然基e1,e2,…,en两两正交.定义3-18设α1,α2,…,αs是一组非零的n维向量，若它们两两正交，则称之为正交向量组；若αii=1,2,…,s还是单位向量，则称α1,α2,…,αs为标准正交向量组.定理3-10若n维向量组α1,α2,…,αs是一组正交向量组，则α1,α2,…,αs线性无关.证明

设存在一组数k1,k2,…,ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0用αii=1,2,…,s与上式两边做内积，得k1α1+k2α2+…+ksαs,αi=0,αi即k1α1,αi+…+kiαi,αi+…+ksαs,αi=0由于αi与α1,…，αi－1,αi+1,…,αs均正交，即αi,αj=0,

j=1,…i－1,i+1,…s.所以有kiαi,αi=0，再由αi≠0，得ki=0,

i=1,2,…,s.所以，α1,α2,…,αs线性无关.上述定理的逆命题不成立.即线性无关的向量组不一定是正交向量组.但可以通过线性组合的方式将一个线性无关的向量组改造成一个与之等价的正交向量组.将一个线性无关的向量组正交化的方法很多，此处不加证明地给出一种方法：施密特(Schmidt)正交化法.具体操作步骤如下：设向量组α1,α2,…,αs线性无关.取

β1=α1已知向量组α1=1,1,1,1T,α2=3,3,－1,－1T,α3=－2,0,6,8T线性无关，试将其正交化.解令β1=α1【例3-22】则β1,β2,β3两两正交.与正交向量组密切相关的是正交矩阵，下面介绍有关的知识.定义3-19如果n阶方阵Q满足QTQ=QQT=E

那么称Q为正交矩阵.正交矩阵具有下列性质：定理3-11若Q是正交矩阵，则（1）Q=±1.（2）Q－1=QT也是正交矩阵.证明

（1）因QTQ=E=1，所以Q2=1，故Q=±1.（2）因(Q－1)

T=(QT)T=Q=(Q－1)

－1，所以Q－1也