安徽省高三文科数学试卷

安徽省高三文科数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象与x轴有两个不同的交点，且这两个交点在y轴的同侧，则下列判断正确的是（）

A.$a>0$，$b^2-4ac>0$

B.$a>0$，$b^2-4ac<0$

C.$a<0$，$b^2-4ac>0$

D.$a<0$，$b^2-4ac<0$

2.已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，若$f(x)=k$的解集为$\{x|x\in[0,2\pi]\}$，则实数$k$的取值范围是（）

A.$[0,1]$

B.$[1,\sqrt{2}]$

C.$[1,2]$

D.$[0,2\sqrt{2}]$

3.在等差数列$\{a_n\}$中，若$S_3=12$，$S_6=48$，则$S_9$的值为（）

A.36

B.48

C.54

D.60

4.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$（$x\neq0$），若$\lim_{x\rightarrow0}f(x)=A$，则$A$的值为（）

A.0

B.$\infty$

C.$-\infty$

D.不存在

5.设向量$\mathbf{a}=(1,2)$，$\mathbf{b}=(2,3)$，则$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$的值为（）

A.7

B.5

C.3

D.1

6.若平面$\alpha$与平面$\beta$的法向量分别为$\mathbf{n}_1=(1,2,3)$，$\mathbf{n}_2=(2,3,4)$，则下列判断正确的是（）

A.平面$\alpha$与平面$\beta$垂直

B.平面$\alpha$与平面$\beta$平行

C.平面$\alpha$与平面$\beta$相交

D.无法确定

7.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{n}{n+1}$，则数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$的值为（）

A.$\frac{n(n+1)}{n+2}$

B.$\frac{n(n+1)}{2(n+2)}$

C.$\frac{n(n+1)}{2}$

D.$\frac{n(n+1)}{n+2}-1$

8.设函数$f(x)=\lnx$，若$f'(x)=k$，则$k$的值为（）

A.$\frac{1}{x}$

B.$\frac{1}{x^2}$

C.$\frac{1}{\lnx}$

D.$x$

9.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，若$f(x)=y$的解集为$\{x|x\in[0,2\pi]\}$，则实数$y$的取值范围是（）

A.$[1,\sqrt{2}]$

B.$[1,2]$

C.$[0,2\sqrt{2}]$

D.$[1,2\sqrt{2}]$

10.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，公差$d=2$，则$a_{10}$的值为（）

A.19

B.21

C.23

D.25

二、判断题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象与x轴只有一个交点，则$b^2-4ac=0$。（）

2.已知函数$f(x)=\sinx$，若$\lim_{x\rightarrow\pi}f(x)=0$，则$\pi$是函数$f(x)$的零点。（）

3.在等差数列$\{a_n\}$中，若$S_3=12$，$S_6=48$，则公差$d=4$。（）

4.向量$\mathbf{a}=(1,2)$与向量$\mathbf{b}=(2,3)$垂直，则$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$。（）

5.已知函数$f(x)=\lnx$在$(0,+\infty)$上单调递增，则其反函数$f^{-1}(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象的对称轴为直线$x=\frac{b}{2a}$，则$b^2-4ac$的值为______。

2.函数$f(x)=\sinx+\cosx$在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值为______。

3.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，公差$d=2$，则$a_{10}$的值为______。

4.向量$\mathbf{a}=(1,2)$与向量$\mathbf{b}=(2,3)$的数量积为______。

5.已知函数$f(x)=\lnx$，若$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A$，则$A$的值为______。

四、简答题

1.简述函数$f(x)=\frac{1}{x}$在定义域内各区间上的单调性，并说明理由。

2.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n-1$，求证：数列$\{a_n\}$是等差数列，并求其公差。

3.给定向量$\mathbf{a}=(3,4)$和$\mathbf{b}=(2,5)$，求向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角。

4.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象与x轴有两个交点，求证：若这两个交点的横坐标分别为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。

5.解下列不等式组：$\begin{cases}x^2-4x+3>0\\x-2<0\end{cases}$，并写出解集。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在区间$[-1,3]$上的最大值和最小值。

2.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=3n^2+2n$，求$a_1$和公差$d$。

3.已知向量$\mathbf{a}=(2,-3)$和$\mathbf{b}=(4,6)$，求向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的长度。

4.解方程组$\begin{cases}2x+y=5\\x-3y=-4\end{cases}$，并写出解的坐标。

5.计算定积分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x-1)dx$的值。

六、案例分析题

1.案例背景：某市为提高市民健康水平，决定在全市范围内推广一项健身活动。根据调查，健身活动参与人数与市民对健身活动的兴趣程度呈正相关。现随机抽取100位市民进行问卷调查，得到以下数据：

|市民对健身活动的兴趣程度|参与健身活动的人数|

|--------------------------|---------------------|

|很感兴趣|30|

|感兴趣|50|

|一般|15|

|不感兴趣|5|

|很不感兴趣|0|

请分析上述数据，并回答以下问题：

（1）根据数据，判断市民对健身活动的兴趣程度与参与健身活动的人数之间的关系。

（2）结合实际情况，提出建议，以提高市民对健身活动的参与度。

2.案例背景：某学校为了提高学生的数学成绩，实施了一项教学创新项目。项目实施前后，随机抽取了100名学生进行测试，以下为测试成绩数据：

|项目实施前|项目实施后|

|------------|------------|

|成绩低于60分|15|

|成绩60-70分|30|

|成绩70-80分|40|

|成绩80-90分|10|

|成绩90-100分|5|

|成绩低于60分|5|

|成绩60-70分|20|

|成绩70-80分|50|

|成绩80-90分|20|

|成绩90-100分|5|

请分析上述数据，并回答以下问题：

（1）根据数据，分析项目实施前后学生的成绩分布情况。

（2）结合数据分析，评估该项目对提高学生数学成绩的效果。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，每天生产的产品数量是前一天的1.2倍。如果工厂计划在10天内完成生产任务，且最后一天生产的产品数量是1000件，求工厂每天平均每天生产的产品数量。

2.应用题：某商店出售一批商品，定价为每件200元。为了促销，商店决定对商品进行打折销售，打八折后，每件商品的利润是原定价的40%。求商店打折后的售价。

3.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为x、y、z（x、y、z均为正数），体积V=xyz。如果长方体的表面积S=2(xy+yz+xz)是定值，求当V最大时，x、y、z的取值。

4.应用题：某市计划从A地到B地修建一条高速公路，两地相距100公里。为了评估高速公路的经济效益，需要对这条高速公路的设计方案进行优化。已知高速公路的修建成本与道路的长度成正比，每公里成本为500万元。同时，高速公路的运营成本包括维护费用和通行费用，维护费用每年为道路长度的2%，通行费用与车辆通行量成正比，每辆车每次通行费用为10元。假设高速公路的设计寿命为20年，预测未来20年内每年车辆通行量将增长5%。求设计这条高速公路的最小成本。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.C

2.B

3.D

4.A

5.A

6.A

7.C

8.A

9.D

10.B

二、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.$0$

2.$\sqrt{2}$

3.21

4.14

5.$\infty$

四、简答题

1.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在定义域内各区间上的单调性如下：

-当$x>0$时，函数$f(x)$单调递减；

-当$x<0$时，函数$f(x)$单调递增；

-当$x=0$时，函数$f(x)$无定义。

理由：对于任意$x_1,x_2\in\text{定义域}$，且$x_1<x_2$，有$f(x_1)=\frac{1}{x_1}$，$f(x_2)=\frac{1}{x_2}$。若$x_1>0$，则$x_1<x_2$，则$f(x_1)>f(x_2)$；若$x_1<0$，则$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$。因此，函数$f(x)$在定义域内各区间上具有单调性。

2.数列$\{a_n\}$是等差数列，公差$d=2$，因为$a_n=a_1+(n-1)d$。根据等差数列的求和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_1=3$，$d=2$，得$S_n=\frac{n(3+a_n)}{2}$。由$S_3=12$，得$3a_1+3d=12$，解得$a_1=3$。所以$a_{10}=a_1+9d=3+9\times2=21$。

3.向量$\mathbf{a}=(2,-3)$与$\mathbf{b}=(4,6)$的夹角$\theta$满足$\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$。计算得$\cos\theta=\frac{2\times4+(-3)\times6}{\sqrt{2^2+(-3)^2}\sqrt{4^2+6^2}}=\frac{-6}{\sqrt{13}\sqrt{52}}=-\frac{3}{\sqrt{13}\times2\sqrt{13}}=-\frac{3}{26}$。因此，$\theta=\cos^{-1}\left(-\frac{3}{26}\right)$。

4.解方程组$\begin{cases}2x+y=5\\x-3y=-4\end{cases}$，将第一个方程乘以3得$6x+3y=15$，与第二个方程相加得$7x=11$，解得$x=\frac{11}{7}$。将$x$的值代入第一个方程得$2\left(\frac{11}{7}\right)+y=5$，解得$y=\frac{17}{7}$。所以解的坐标为$\left(\frac{11}{7},\frac{17}{7}\right)$。

5.计算定积分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x-1)dx$，首先对被积函数进行积分，得$\left[\frac{2}{4}x^4-\frac{3}{3}x^3+2x^2-x\right]_0^1=\left[\frac{1}{2}x^4-x^3+2x^2-x\right]_0^1=\frac{1}{2}-1+2-1=0.5$。

六、案例分析题

1.（1）根据数据，市民对健身活动的兴趣程度与参与健身活动的人数呈正相关，即