【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第9章-第2节-简单几何体的表面积和体积

第九章其次节一、选择题1．(2022·广东汕头金山中学摸底)如图是一正方体被过棱的中点M，N，顶点A及过N，顶点D，C1的两个截面截去两角后所得的几何体，该几何体的正视图是()[答案]B[解析]在原正方体中，此几何体的顶点A、B、B1、M、N在正视图中的投影依次为D、C、C1、Q、D1(其中Q为C1D1的中点)，能观看的轮廓线用实线，看不见的轮廓线为虚线．故选B.2.纸制的正方体的六个面依据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南 B．北C．西 D．下[答案]A[解析]将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为上，最右面为东，则前面为△，可知“△”的实际方位为南．3．(文)(2021·惠安中学高考适应性训练)一个四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是腰长为1的等腰直角三角形，侧(左)视图是直角三角形，其中一条直角边长为2，则这个几何体的体积是()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2[答案]A[解析]由三视图知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，梯形两底边长分别为1和2，高为eq\r(2)，面积S＝eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\r(2)＝eq\f(3\r(2),2)，锥体高eq\f(\r(2),2)，∴体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)，故选A.(理)(2022·重庆理)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．54 B．60C．66 D．72[答案]B[解析]如图所示该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，直三棱柱底面是直角三角形，两直角边长为3和4，柱高为5，∵EF∥AC，AC⊥平面ABDF，∴EF⊥平面ABDF，∴EF⊥DF，在直角梯形ABDF中，易得DF＝5，故其表面积为S＝SRt△ABC＋S矩形ACEF＋S梯形ABDF＋S梯形BCED＋SRt△DEF＝eq\f(3×4,2)＋3×5＋eq\f(5＋2×4,2)＋eq\f(2＋5×5,2)＋eq\f(3×5,2)＝60.4．(文)(2021·贵州六校联盟)某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线相互垂直，则该几何体的体积是()A.eq\f(20,3) B．eq\f(16,3)C．8－eq\f(π,6) D．8－eq\f(π,3)[答案]A[解析]由三视图知，该几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方体的上底面，高为1.∴几何体的体积为V＝23－eq\f(1,3)×2×2×1＝8－eq\f(4,3)＝eq\f(20,3).(理)(2021·安徽六校教研会联考)四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面截得的线段长为2eq\r(2)，则该球的表面积为()A．9π B．3πC．2eq\r(2)π D．12π[答案]D[解析]该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得的，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为2eq\r(2)，可知正方形ABCD的对角线AC的长为2eq\r(2)，可得a＝2，在△PAC中，PC＝eq\r(22＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，∴球的半径R＝eq\r(3)，∴S表＝4πR2＝4π×(eq\r(3))2＝12π.5．(文)(2022·河北名校名师俱乐部模拟)一个球的球心到过球面上A、B、C三点的平面的距离等于球半径的一半，若AB＝BC＝CA＝3，则球的体积为()A．8π B．eq\f(43π,4)C．12π D．eq\f(32π,3)[答案]D[解析]设球心为O，过O作OM⊥平面ABC，垂足是M,∵△ABC是边长为3的正三角形，∴AM＝eq\r(3)，可得球半径是2，体积是eq\f(32,3)π.(理)如图，已知在多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两相互垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为()A．2 B．4C．6 D．8[答案]B[解析]补成长方体ABMC－DEFN并连接CF，易知三棱锥F－BCM与三棱锥C－FGN的体积相等，故几何体体积等于长方体的体积4.故选B.[点评]1.也可以用平面BCE将此几何体分割为两部分，设平面BCE与DG的交点为H，则ABC－DEH为一个直三棱柱，由条件易证EH綊FG綊BC，平面BEF∥平面CHG，且△BEF△CHG，∴几何体BEF－CHG是一个斜三棱柱，这两个三棱柱的底面都是直角边长为2和1的直角三角形，高都是2，∴体积为4.2．如图(2)，几何体ABC－DEFG也可看作棱长为2的正方体中，取棱AN、EK的中点C、F，作平面BCGF将正方体切割成两部分，易证这两部格外形相同，体积相等，∴VABC－DEFG＝eq\f(1,2)×23＝4.6．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()[答案]B[解析]球与正三棱锥底面的切点为底面正三角形的中心，故在截面图中，此切点将截面三角形的这一条边(底面正三角形的高)分为12两部分，截面过三棱锥的高和一条侧棱，故截面图中球大圆与侧棱外离且圆心在三角形的高(即棱锥的高)上，这条高应是顶点与底面中心的连线段，故选B.二、填空题7．圆台的上、下底半径分别为2和4，母线长为4，则截得此圆台的圆锥侧面开放图的中心角为________．[答案]π[解析]如图，设PD＝x，则eq\f(2,4)＝eq\f(x,x＋4)，∴x＝4，∴θ＝eq\f(4,8)×2π＝π.8．一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图(1)所示，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．[答案]eq\f(3π,2)[解析]依据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱，这个圆柱的高是3，体积是所求几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是eq\f(1,2)×π×12×3＝eq\f(3π,2).故填eq\f(3π,2).9．(文)(2022·天津理)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.[答案]eq\f(20π,3)[解析]由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，且底面圆半径为2，高为2；下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积V＝eq\f(1,3)·π·22·2＋π·12·4＝eq\f(8π,3)＋4π＝eq\f(20π,3).(理)(2021·山东泰安市期末)已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，依据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．[答案]eq\f(5,3)πcm3[解析]由图可知，该几何体是一个组合体，上部为半径为1的半球，下部为圆柱，圆柱的底半径为1、高为1，∴体积V＝eq\f(4π,3)×eq\f(1,2)＋π×(eq\f(2,2))2×1＝eq\f(5π,3)(cm3)．三、解答题10．(文)(2021·江西赣州博雅文化学校月考)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2eq\r(3)，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝eq\f(π,3).(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．[解析](1)∵BC＝CD＝2，∴△BCD为等腰三角形，∵∠ACB＝∠ACD＝eq\f(π,3)，∴BD⊥AC.再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD.而PA∩AC＝A，故BD⊥平面PAC.(2)∵侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，∴三棱锥F－BCD的高是三棱锥P－BCD的高的eq\f(1,8).△BCD的面积S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CD·sin∠BCD＝eq\f(1,2)×2×2×sineq\f(2π,3)＝eq\r(3).∴三棱锥P－BDF的体积V＝VP－BCD－VF－BCD＝eq\f(1,3)·S△BCD·PA－eq\f(1,3)·S△BCD·(eq\f(1,8)PA)＝eq\f(7,8)×eq\f(1,3)·S△BCD·PA＝eq\f(7,24)×eq\r(3)×2eq\r(3)＝eq\f(7,4).(理)(2021·济南外国语学校质检)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝eq\r(2)，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．[解析](1)证明：由于PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE，在平面ABCD内，由于AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD，(2)由(1)可知CE⊥AD，在直角三角形ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又由于AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形，所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD＝AB·AE＋eq\f(1,2)CE·DE＝1×2＋eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(5,2)，又PA⊥平面ABCD，PA＝1，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)S四边形ABCD·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(5,2)×1＝eq\f(5,6).一、选择题11．(文)(2022·湖北荆州质量检查)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(2π,3) B．πC.eq\f(4π,3) D．2π[答案]A[解析]由三视图可知，该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为2，则圆柱的体积V柱＝π×12×2＝2π，挖去的两个半球的半径均为1，因此挖去部分的体积为V球＝2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π.故所求几何体的体积为V＝V柱－V球＝2π－eq\f(4π,3)＝eq\f(2π,3).(理)(2022·河南郑州质检)如图所示，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为()A．15＋3eq\r(3) B．9eq\r(3)C．30＋6eq\r(3) D．18eq\r(3)[答案]C[解析]由三视图知几何体是一个斜四棱柱，底面是边长为3的正方形，棱柱高为eq\r(3)，侧棱长为2，故S＝3×3×2＋3×2×2＋3×eq\r(3)×2＝30＋6eq\r(3).12．(文)(2022·东北三校一联)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A.eq\f(2π,3) B．eq\f(π,3)C.eq\f(2π,9) D．eq\f(16π,9)[答案]D[解析]该几何体是底面为扇形的一个锥体，由主视图可知AD＝1，而AO＝2，∴∠AOD＝eq\f(π,6)，∴底面扇形的圆心角α＝eq\f(2,3)π，∴eq\f(S扇形AOB,S⊙O)＝eq\f(1,3)，V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,3)·π×22)×4＝eq\f(16,9)π.(理)(2022·江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是()A.eq\f(20,3)π B．6πC.eq\f(10,3)π D．eq\f(16,3)π[答案]C[解析]由三视图可知，该几何体上半部分是底面半径和高都为2的半圆锥，下半部分为底面半径为2，高为1的半圆柱组成的组合体，因此它的体积为V＝eq\f(1,2)(π×22×1)＋(eq\f(1,3)π×22×2)×eq\f(1,2)＝eq\f(10,3)π.13．(2022·山东青岛二模)已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝eq\r(5)，AC＝eq\r(2)，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.eq\r(6)π B．6πC．5π D．8π[答案]B[解析]∵由勾股定理易知DA⊥AB，AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB.∴CD＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(6).∴AC2＋AD2＝CD2，∴DA⊥AC.取CD的中点O，由直角三角形的性质知O到点A，B，C，D的距离均为eq\f(\r(6),2)，其即为三棱锥的外接球球心．故三棱锥的外接球的表面积为4π(eq\f(\r(6),2))2＝6π.二、填空题14．(2022·陕西宝鸡质检)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆直径为2，则该几何体的体积为________．[答案]24－eq\f(3π,2)[解析]由三视图可知，该几何体是长方体里面挖了一个半圆柱体，可知，长方体的长为4，宽为3，高为2，圆柱体的高为3，底面的半径为1，则可知该几何体的体积为4×2×3－eq\f(1,2)×π×12×3＝24－eq\f(3,2)π.15．(文)已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，则球O的表面积等于________．[答案]4π[解析]可以将其补全为一个长方体，则长、宽、高分别为eq\r(2)、1、1，所以，长方体体对角线长为eq\r(2＋1＋1)＝2，故R＝1，因此球的表面积为4πR2＝4π.(理)圆锥的高为4，侧面积为15π，其内切球的表面积为________．[答案]9π[解析]设圆锥底面半径为r(r>0)，则母线长l＝eq\r(16＋r2)，由πrl＝15π得r·eq\r(16＋r2)＝15，解之得r＝3，∴l＝5.设内切球半径为R，作出圆锥的轴截面如图，则BD＝BO1＝3，PD＝5－3＝2，PO＝4－R，∵OD⊥PB，∴R2＋4＝(4－R)2，∴R＝eq\f(3,2)，∴球的表面积S＝4πR2＝9π.三、解答题16．(文)(2022·南开区质检)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1(1)求证：平面A1B1B⊥平面ABC；(2)求多面体DBC－A1B1C1的体积[解析]∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又CD⊥DA1，∴CD⊥面AA1B1B，又由于CD⊂平面ABC，故平面A1B1B⊥平面ABC.(2)V多面体DBC－A1B1C1＝V棱柱ABC－A1B1C1－V棱锥A1－ADC＝S△ABC·|AA1|－eq\f(1,3)S△ADC·|AA1|＝S△ABC·|AA1|－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S△ABC·|AA1|＝eq\f(5,6)S△ABC·|AA1|＝eq\f(10,3).(理)(2021·焦作市期中)如图，四边形BCDE为矩形，平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，AC＝CD＝eq\f(1,2)BC＝2，点F是线段AD的中点．(1)求证：AB∥平面CEF；(2)求几何体ABCDE被平面CEF分成的上下两部分的体积之比．[解析](1)连接BD交CE于点O，连接FO.∵四边形BCDE为矩形，∴O为BD的中点，又F是线段AD的中点，∴FO∥AB，∵FO⊂平面CEF，AB⊄平面CEF.∴AB∥平面CEF.(2)∵平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，平面ABC∩平面BCDE＝BC，∴AC⊥平面BCDE.∴VA－BCDE＝eq\f(1,3)·S矩形BCDE·AC＝eq\f(1,3)×BC×CD×AC＝eq\f(1,3)×4×2×2＝eq\f(16,3).矩形BCDE中，BC⊥CD，又AC⊥BC且AC∩CD＝C，∴BC⊥平面ACD，又矩形BCDE中，ED∥BC，∴ED⊥平面ACD.Rt△ACD中，F是线段AD的中点，∴S△CDF＝eq\f(1,2)S△ACD＝eq\f(1,2)·eq\f(1,2)·AC·CD＝1，∴VE－CDF＝eq\f(1,3)·S△CDF·ED＝eq\f(1,3)×1×4＝eq\f(4,3)，∴平面CEF将几何体ABCDE分成的上下两部分的体积之比为eq\f(VE－CDF,VA－BCDE－VE－CDF)＝eq\f(\f(4,3),\f(16,3)－\f(4,3))＝eq\f(1,3).17．(文)已知P在矩形ABCD的边DC上，AB＝2，BC＝1，F在AB上且DF⊥AP，垂足为E，将△ADP沿AP折起，使点D位于D′位置，连接D′B、D′C得四棱锥D′－ABCP.(1)求证：D′F⊥AP；(2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱锥D′－ABCP的体积．[解析](1)∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E，∴AP⊥平面D