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相交弦定理证明相交弦定理是任何两个相交的弦乘积相等的定理。证明如下：假设在圆O内有两条相交弦AB和CD，它们交于点E。连接OA，OB，OC和OD。通过延长弦AB和CD，可以形成四个三角形：∆OAE，∆OBE，∆OCE和∆ODE。首先考虑∆OAE和∆OCE。由于这两个三角形都有同一基线OE，所以可对它们应用相似三角形的对应角相等的性质，得到∠OAE=∠OCE。因为它们都在圆O上，所以它们的对边AE和CE也相等。因此，根据正弦定理，有：sin∠OAE/sin∠OCE=AE/CE同理，考虑∆OBE和∆ODE，由于这两个三角形都有同一基线OE，所以可对它们应用相似三角形的对应角相等的性质，得到∠OBE=∠ODE，因为它们都在圆O上，所以它们的对边BE和DE也相等。因此，根据正弦定理，有：sin∠OBE/sin∠ODE=BE/DE将这两个式子相乘，并应用正弦乘积公式，有：sin∠OAE/sin∠OCE×sin∠OBE/sin∠ODE=(AE/CE)×(BE/DE)注意到∠OAE+∠OBE和∠OCE+∠ODE都为180度（因为它们都是反向弧所对应的角），所以可以使用余弦定理，将上式整理为：（AE×BE）/(CE×DE)=cos∠OAE×cos∠OBE因为点A，B，C和D都在圆O的周长上，所以AE，BE，CE和DE都是圆O的半径r。另外，∠OAE和∠OBE的余弦可以使用细思恒性cos(∠OAE-∠OBE)=cos(∠OAE)cos(∠OBE)+sin(∠OAE)sin(∠OBE)来求解。因为三角恒等式，所以它们的差为：cos(∠OAE-∠OBE)=cos∠OAE×cos∠OBE+sin∠OAE×sin∠OBE将这些结果代入式子中，有：(r×r)/(r×r)=cos(∠OAE-∠OBE)因此，有：cos(∠OAE-∠OBE)=1这意味着∠OAE-∠OBE=0度，也就是说∠OAE=∠OBE。因此，可以将余弦定理中的cos∠OAE和cos∠OBE替换为cos∠O.因此，最终的

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