【全程复习方略】2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：3.7-正弦定理和余弦定理-

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十一)正弦定理和余弦定理(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的长为()A. B. C.1 D.【解析】选A.由于B=45°,C=60°,所以A=180°-(B+C)=75°,B<C<A.故最短的边为b,由正弦定理,得,所以b=2.在△ABC中,A=,BC=3,AB=,则C=()【解题提示】把用大写字母表示的边长改为小写字母,再用正弦定理求解.【解析】选C.BC=a=3,AB=c=,由正弦定理,得sinC=又a=3,c=,所以a>c,即A>C,故C为锐角,所以C=.【误区警示】本题简洁由sinC=得sinC=,没有利用a>c推断A>C,就得出C=或.从而导致增解.3.(2021·温州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=()A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选A.由于sinC=2sinB,所以由正弦定理得c=2b,由于a2-b2=bc,所以a2=b2+b·2b=7b2,即a=b,cosA=由于0°<A<180°,所以A=30°.【加固训练】(2022·唐山模拟)若△ABC的内角A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC,则cosB=()【解析】选D.由6sinA=4sinB=3sinC,得sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4.设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由正弦定理知a∶b∶c=2∶3∶4,令a=2k,b=3k,c=4k(k>0),则cosB=4.(2021·福州模拟)已知△ABC中,sinA=817,cosB=35A.-1385或7785 B.7785 C.-7785【解析】选D.由cosB=35>0得B为锐角,所以sinB=1-cos2B=45;由sinA=817<4由cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=-13855.(2021·临沂模拟)在△ABC中,若sinB·sinC=cos2,且sin2B+sin2C=sin2A,则△ABC是A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【解题提示】把每个等式化简变形,逐一进行推断.【解析】选D.由于sinBsinC=cos2=,所以2sinBsinC=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C)=1-cosBcosC+sinBsinC,即cosBcosC+sinBsinC=1,所以cos(B-C)=1.由于B,C是△ABC的内角,所以B-C=0,即B=C,又由于sin2B+sin2C=sin2A,即b2+c2=a所以A=90°,故△ABC为等腰直角三角形.

二、填空题(每小题5分,共15分)6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=π6,c=23,则b=【解析】由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=4+12-2×2×23cosπ6答案:2【加固训练】若A=60°,a=7,b=5,则c=.【解题提示】直接用余弦定理列出关于c的方程求解.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以49=25+c2-2×5×c×cos60°,即c2-5c-24=0,解得c=8(c=-3舍去).答案:87.(2021·黄山模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=.【解析】由正弦定理,得sinAcosA=sin2B,所以sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.答案:18.已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是.【解题提示】由较大的边对的角都是锐角,依据余弦定理列不等式组求解.【解析】由于2<3,所以只需22+x2>32答案:(5,13)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022·安徽高考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值.(2)求sin(A+)的值.【解题提示】依据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答.【解析】(1)由于A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正、余弦定理得a=2b·,由于b=3,c=1,所以a2=12即a=2.(2)由余弦定理得cosA=由于0<A<π,所以sinA=故sin(A+)=sinAcos+cosAsin=10.(2021·日照模拟)在△ABC中,边a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足:bcosC=(3a-c)cosB.(1)求cosB.(2)若BC→·BA→=4,b=42,【解析】(1)在△ABC中,由于bcosC=(3a-c)cosB,由正弦定理可得sinBcosC=(3sinA-sinC)cosB,所以3sinA·cosB-sinC·cosB=sinBcosC,化为:3sinA·cosB=sinC·cosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.由于在△ABC中,sinA≠0,故cosB=13(2)由BC→·BA可得a·c·cosB=4,即ac=12.①再由余弦定理可得b2=32=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2-2ac3,即a2+c2由①②求得a=2,c=6;或者a=6,c=2.综上可得,a=2,c=6【加固训练】(2021·天津模拟)已知锐角△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,tanA=(1)求A的大小.(2)求cosB+cosC的取值范围.【解析】(1)由余弦定理知b2+c2-a2=2bccosA,所以tanA=由于A∈(0,),所以A=.(2)由于△ABC为锐角三角形且B+C=,所以<B=-C<,cosB+cosC=cosB+cos(-B)=cosB+coscosB+sinsinB=cosB+sinB=sin(B+).由于<B+<,所以<sin(B+)≤1,即cosB+cosC的取值范围是(,1].(20分钟40分)1.(5分)(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=A.10 B.9 C.8 D.5【解析】选D.由于23cos2A+cos2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos2由于△ABC为锐角三角形,所以cosA=,sinA=.由正弦定理得,sinC=,cosC=.又B=π-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理得,,解得b=5.【一题多解】本题还可如下解答选D.由于23cos2A+cos2A所以23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A由于△ABC为锐角三角形,所以cosA=,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即49=b2+36-b,5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-(舍去),故b=5.2.(5分)(2021·合肥模拟)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则()A.a,b,c成等差数列 B.a,b,c成等比数列C.a,c,b成等差数列 D.a,c,b成等比数列【解析】选B.由cos2B+cosB+cos(A-C)=1变形得:cosB+cos(A-C)=1-cos2B,由于cosB=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C),cos2B=1-2sin2B,所以上式化简得:cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,所以2sinAsinC=2sin2B,即sinAsinC=sin2B,由正弦定理得:ac=b2,则a,b,c成等比数列.故选B.3.(5分)(2021·泉州模拟)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=23,A=π3,则此三角形周长的最大值为【解析】由于a2=b2+c2-2bccosA,所以b2+c2-bc=12,(b+c)2=12+3bc≤12+3b+c即(b+c)2≤48,b+c≤43,故a+b+c≤23+43=63,当且仅当b=c=23时,“=”成立.答案:634.(12分)(力气挑战题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b·cosA=c·cosA+a·cosC.(1)求角A的大小.(2)若a=7,b+c=4,求bc的值.【解析】(1)由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径),则已知等式可化为2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,又sinB≠0,所以cosA=12,A=60°(2)(b+c)2=16,即b2+c2+2bc=16(*),又由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,可得b2+c2-bc=7,代入(*)式得bc=3.【方法技巧】推断三角形的外形的思路与依据(1)思路:必需从争辩三角形的边与边的关系,或角的关系入手,充分利用正弦定理与余弦定理进行转化,即化边为角或化角为边,使边角统一.(2)推断依据:①等腰三角形:a=b或A=B.②直角三角形:b2+c2=a2或A=90°.③钝角三角形:a2>b2+c2,A>90°.④锐角三角形:若a为最大边,且满足a2<b2+c2或A为最大角,且A<90°.5.(13分)(2022·湖南高考)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=(1)求sin∠CED的值.(2)求BE的长.【解题提示】利用正余弦定理和三角变换公式求解.【解析】设∠CED=α,(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC,于是由题设知,7=CD2+1