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文档简介

4高中学业水平考试《数学》模拟试卷(四)一、选择题(本大题共25小题,第1~15题每小题2分,第16~25题每小题3分,共60分.每小题中只有一个选项是符合题意的,不选、多选、错选均不得分)1.已知集合A=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0,1,3)),B=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1,2)),则A∪B等于()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0,2,3))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0,1,2,3))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1,2,3))2.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|eq\f(1,x)<0},则A∩B等于()A.-1B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(-1))C.(-∞,0)D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(-1,0))3.等差数列{an}中,a7+a9=16,则a8=()A.4B.6C.8D.104.“sinA=eq\f(1,2)”是“∠A=30°”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个相交平面的位置关系是()A.异面B.相交C.平行D.平行或相交6.函数f(x)=2x2+1()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数7.过点A(0,1)且与直线y=2x-5平行的直线的方程是()A.2x-y+1=0B.2x-y-1=0C.x+2y-1=0D.x+2y+1=08.在空间中,下列命题正确的是()A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同始终线的两个平面平行C.垂直于同始终线的两条直线平行D.垂直于同一平面的两条直线平行9.已知a,b∈R+,且ab=1,则a+b的最小值是()A.1B.2C.3D.4(第10题)10.如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列推断错误的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))C.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))))=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BE,\s\up6(→))))D.eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(FC,\s\up6(→))11.已知向量a=(3,-1),b=(-1,2),则2a-bA.(7,0)B.(5,0)C.(5,-4)D.(7,-4)12.“x=0”是“xy=0A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件13.焦点为(1,0)的抛物线的标准方程是()A.y2=2xB.x2=2yC.y2=4xD.x2=4y14.不等式(x+1)(x+2)<0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))-2<x<-1))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x<-2或x>-1))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1<x<2))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x<1或x>2))15.下列函数中,在(-∞,0)上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=eq\f(1,x)C.y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)D.y=1-x216.数列{an}满足a1=1,an+1=eq\f(1,2)an,则a4=()A.eq\f(3,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,16)17.双曲线eq\f(x2,4)-eq\f(y2,9)=1的离心率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(9,4)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(13),2)18.若α∈(0,eq\f(π,2)),且sinα=eq\f(4,5),则cos2α等于()A.eq\f(7,25)B.-eq\f(7,25)C.1D.eq\f(\r(7),5)19.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2eq\r(,2),则实数a的值为()A.-1或eq\r(3)B.1或3C.-2或6D.0或420.已知直线l:ax+by=1,点P(a,b)在圆C:x2+y2=1外,则直线l与圆C的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定21.函数y=2sin(eq\f(π,3)-x),x∈[eq\f(π,6),eq\f(2π,3)]的最小值和最大值分别是()A.-eq\r(3)和1B.-1和2C.1和3D.1和222.若k<2且k≠0,则椭圆eq\f(x2,3)+eq\f(y2,2)=1与eq\f(x2,2-k)+eq\f(y2,3-k)=1有()A.相等的长轴B.相等的短轴C.相同的焦点D.相等的焦距23.“a2+b2>0”是“ab≠0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件24.若a,b为非零实数,则以下不等式中恒成立的个数是()①eq\f(a2+b2,2)≥ab;②eq\f((a+b)2,4)≤eq\f(a2+b2,2);③eq\f(a+b,2)≥eq\f(ab,a+b);④eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2.A.4个B.3个C.2个D.1个25.在60°的二面角α-l-β,面α上一点到β的距离是2cm,A.eq\f(4\r(,3),3)cmB.2eq\r(,3)cmC.4eq\r(,3)cmD.eq\f(2\r(,3),3)cm二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)26.已知a=(2,5),b=(λ,-3),且a⊥b,则λ=________.27.不等式eq\f(x+1,x-2)>0的解集________.28.函数y=2sinx·cosx-1,x∈R的值域是________.29.已知椭圆eq\f(x2,k+8)+eq\f(y2,9)=1的离心率为eq\f(1,2),则k的值为________.30.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论:①集合A=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(-4,-2,0,2,4))为闭集合;②集合A=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(n|n=3k,k∈Z))为闭集合;③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.其中正确结论的序号是________.三、解答题(本大题共4小题,第31,32题每题7分,第33,34题每题8分,共30分)31.(本题7分)△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=2(1)求eq\f(b,a);(2)若c=eq\r(3)a,求∠C.32.(本题7分,有A、B两题,任选其中一题完成,两题都做,以A题计分)[第32题(A)](A)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E,F分别是PC,AB的中点,平面PAD⊥底面ABCD.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:AB⊥平面PAD.(B)如图,四边形DCBE为直角梯形,∠DCB=90°,DE∥CB,DE=1,BC=2,CD=AC=1,∠ACB=120°,CD⊥AB,直线AE与直线CD所成角的大小为60°.[第32题(B)](1)求证:平面ACD⊥平面ABC;(2)求BE与平面ACE所成角的正弦值.42022高中学业水平考试《数学》模拟试卷(四)1.C2.B3.C4.B5.C6.B7.A8.D9.B10.D11.D12.B13.C14.A15.D16.C17.D18.B19.D20.A21.A22.D23.B24.C[提示:①明显成立,②a2+b2≥2ab⇒2(a2+b2)≥(a+b)2⇒eq\f((a+b)2,4)≤eq\f(a2+b2,2),③④由于a,b正负未确定不能得出.]25.A[提示:构造直角三角形,得到棱的距离等于eq\f(2,sin60°)=eq\f(4\r(,3),3).]26.eq\f(15,2)27.(-∞,-1)∪(2,+∞)28.[-2,0]29.4或-eq\f(5,4)[提示:当0<k+8<9时,eq\f(c2,a2)=eq\f(9-(k+8),9)=eq\f(1,4),解得k=-eq\f(5,4);当k+8>9时,eq\f(c2,a2)=eq\f((k+8)-9,k+8)=eq\f(1,4),解得k=4.]30.②[提示:①2+4=6∉A,所以A不是闭集合;②中A是闭集合,证明:设a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z,则a+b=3(k1+k2)∈A,a-b=3(k1-k2)∈A,所以A是闭集合;③中A不是闭集合.]31.解:(1)asinAsinB+bcos2A=2a⇒sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA⇒sinB=2sinA⇒eq\f(b,a)=2.(2)cosC=eq\f(a2+4a2-3a2,2·a·2a)=eq\f(1,2),∴∠C=eq\f(π,3).32.(A)证明:(1)取PD的中点G,连接EG,AG,则EG綊AF,∴四边形AFEG为平行四边形,∴EF∥AG,所以EF∥平面PAD.(2)∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD.(第32题)(B)证明:(1)∵CD⊥AB,CD⊥CB,∴CD⊥平面ABC,∴平面ACD⊥平面ABC.(2)在平面ACB内,过C作CF⊥CB,以C为原点,以CF,CB,CD所在射线为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系.∴eq\o(CE,\s\up6(→))=(0,1,1),eq\o(CA,\s\up6(→))=(eq\f(\r(3),2),-eq\f(1,2),0),eq\o(BE,\s\up6(→))=(0,-1,1),设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(CA,\s\up6(→))=0,,n·\o(CE,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x-\f(1,2)y=0,,y+z=0,))取x=eq\r(3),得n=(eq\r(3),3,-3),设BE与平面ACE所成角为θ,则sinθ=eq\f(\o(BE,\s\up6(→))·n,|\o(BE,\s\up6(→))|·|n|)=eq\f(\r(42),7),∴BE与平面ACE所成角的正弦值为eq\f(\r(42),7).33.解:(1)a1a4=13,a2+a3=14⇒a1=1,a4=13⇒d=4⇒an=4n(2)Sn=eq\f(n(1+4n-3),2)=2n2-n⇒bn=eq\f(2n2-n,n-\f(1,2))=2n,∴f(n)=eq\f(2n,(n+36)·2(n+1))=eq\f(n,n2+37n+36)=eq\f(1,n+\f(36,n)+37)≤eq\f(1,49),当且仅当n=6时取到最大值.(第34题)34.解:(1)由题意,可设拋物线C的标准方程为y2=2px.由于点A(2,2)在拋物线C上,所以p=1.因此,拋物线C的标准方程为y2=2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是(eq\f(

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