2022年中考数学二次函数解析汇编

22022年中考数学二次函数解析汇编

1.(2022广西北海)二次函数y=V—4x+5的顶点坐标为：〔)

A.(—2,—1)B.(2,1)C.[2,-1)D.[-2,1)

b4ac—I，'

【解析】二次函数的顶点坐标公式为〔——,--------)，分别把a,b,c的值代入即可。【答案】B

2a4a

【点评】此题考查的是二次函数顶点公式，做题时要灵活把握，求纵坐标时，也可以把横坐标的值代入到

函数中，求y值即可，属于简单题型。

2.(2022山东滨州，)抛物线y=-3必-x+4与坐标轴的交点个数是〔)

A.3B.2C.1D.0

【解析】抛物线解析式-3V—x+4,令x=0,解得：y=4,.•.抛物线与y轴的交点为10,4),令y=0,得

到—3%2一%+4=0,即3f+了—4=0,分解因式得：(3%+4)(%-1)=0,解得：,x2=1,

4

.•.抛物线与x轴的交点分别为(——,0),(1,0),综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3.【答案】选A

3

【点评】此题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数.此题也可用一元二次

方程根的判别式判定与X轴的交点个数，与y轴的交点就是抛物线中C的取值.

3.(2022四川巴中)对于二次函数y=2(x+l)(x-3)以下说法正确的选项是()

A.图象开口向下B.当x>l时,y随x的增大而减小

C.x<l时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=-1

【解析】y=2(x+l)(x-3)可化为y=(x—1尸-8,此抛物线开口向上,可排除A,对称轴是直线x=l可排除D,

根据图象对称轴右侧局部，y随x的增大而减小，即x<l时,应选C.【答案】C

【点评】此题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质.

4.(2022湖南衡阳)如图为二次函数丫=a/+6*+©(aWO)的图象，那么以下说法：()

①a>0②2a+b=0③a+b+c>0④当-l<x<3时，y>0,其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

解析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=l时的函数值判断a+b+c>0,然后根据对称轴推出

2a+b与0的关系，根据图象判断-l<x<3时，y的符号.答案：解：①图象开口向下，能得到a<0；

②对称轴在y轴右侧，x=―匕3=1,那么有--L=1,即2a+b=0；③当x=l时，y>0,那么a+b+c>0；

22a

④由图可知，当-l<x<3时，y>0.应选C.

点评：此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次

函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

5.(2022呼和浩特)：从“两点关于y轴对称，且点〃在双曲线y=」-上，点”在直线了门上3上，设点〃

2%

的坐标为(a,6),那么二次函数度-abx+(a+b)x

99

A.有最大值，最大值为—-6.有最大值，最大值为一

22

99

C.有最小值，最小值为一〃有最小值，最小值为

22

【解析】〃(a"),那么M-a,6),在双曲线上，在直线上，.•.左-a+3,即a+斤3；

2

1199

/,y=-abr+(a+b)x=--x2+3x=~—(x-3)2+—,...有最大值，最大值为,【答案】8

【点评】此题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得和a+6的值。

此题解题时没有必要解出a、6的值，而是利用整体代入法求解。

6.(2022陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线y=/-X-6向上(下)或向左(右)平移了，〃个单位，

使平移后的抛物线恰好经过原点，那么帆|的最小值为UA.1B.2C.3D.6

【解析】因为是左或右平移，所以由y=/-x-6=(x-3)(x+2)求出抛物线与x轴有两个交点分别

(3,0),(-2,0),将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小.【答案】B

【点评】此题考查了抛物线的图像性质，关注它和x轴交点坐标是解决问题的关键.难度稍大.

7.(2022四川泸州)抛物线y=(x-2-+3的顶点坐标是〔)

A.[2,3)B.(-2,3)C.[2,3)D.(-2,-3)

解析：求抛物线的顶点坐标可以运用顶点坐标公式，也可以运用配方法.由抛物线y=(x-2)2+3的顶点

坐标为[2,3).应选C.

点评：此题考查了二次函数图象顶点坐标，由配方法得到的顶点坐标中，横坐标符号容易被弄错，需要注

产.

8.(2022黔东南州，)抛物线>=/-4%+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标

为])A、[4,一1)B、[0,-3)C、(-2,-3)D、(一2,-1)

解析：y=x2-4x+3=(x-2)2-l,所以顶点坐标为[2,T),右平移2个单位长度后所得新的抛物线

的顶点坐标为[4,-1).答案：A点评：此题考查了抛物线的平移，难度较小.

9.(2022河南)在平面直角坐标系中，将抛物线>=必—4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，

得到的抛物线解析式为〔)

A.y=(x+2)2+2B.y=(x-2)2-2C.y^(x-2)2+2D.y=(x+一2解析：根据点的坐标

是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减应选B.点评：根据平移概念，图形平移变换,

图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即[0,-4)-->(2,-2).

10.(2022山东日照)二次函数尸ax?历户cQNO)的图象如下列图，给出以下结论：

①b2-4ac〉0；②2a+b〈0；③4a—2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3.其中正确的选项是0X\\

A.①②B.②③C.③④D.①④/Ji'

解析：由图可知，对称轴为x=l,图象与x轴有两个交点(-1,0)和〔3,0〕，

故b2~4ac>Q；a-b+c=0,2a+b=0,所以b=-2a,c=-3a,所以a'bc=：2：3.解答：选D.

点评：此题主要考查二次函数尸al历户c(aM)的图象与x轴的交点坐标、对称轴等，解题的关键是运用

数形结合思想，充分利用图象进行分析，排除错误答案.

11.(2022贵州黔西南)如图4,抛物线y=1/+bx—2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(—1,

0),点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是().

25242325

A.-B.TTC.-0-~77

40414041

【解析】解把A(—1,0)代入yji+bx_2,求得b=—|.所以,y与一x—2^(x—今一V所以抛物

线顶点D(|,-y).又求得C(0,-2).要x轴上的动点M(m,0)使MC+MD最小，作C点关于x轴的对称

24

点C«0,2),连接C/D与X轴的交点即为M点.利用相似三角形的知识求得OMqf；或先求直线C'D的解

2424

析式，再求这条直线与抛物线的交点坐标为(元，0).所以，【答案】B.

【点评】此题考查二次函数的图象与性质，一般在图形中解决“折线段最小值”的问题，要利用轴对称把

“折线段”化为"直线段”进行计算.

12.(2022甘肃兰州)二次函数y=ax、bx+c(aWO)的图象所示，假设|ax"+bx+c|=k(kWO)有两个

不相等的实数根，那么k的取值范围是〔)A.k<-3B.k>-3C.k<3D.

k>3

解析：根据题意得：产|a/+bx+cj的图象如右图:

所以假设lax'+bx+ckk〔kWO)有两个不相等的实数根，那么k>3,答案：D

点评：此题考查了二次函数的图象，先根据题意画出y=|ax?+bx+c|的图象，

即可得出|ax?+bx+c[=k[kWO)有两个不相等的实数根时，k的取值范围.

解决此题的关键是根据题意画出y=|ax?+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围.

13.(2022江苏南京)以下函数：①y=x?;②y=③y=(x-l)?+2.其中，图像通过

平移可以得到函数y=-X2+2X-3的图像有.

解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到.答案：②.

点评：二次项的系数a决定二次函数的形状、开口大小等，所有a相等的二次函数

都可以由y=ax?经过平移得到.

14.(2022甘肃兰州)二次函数y=a(x+l)2—优。/0)有最小值1,那么a、b的大小关系为〔)

A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定

解析：二次函数y=a(x+l)2-仇awO)有最小值，那么a>0;又因为此函数均有最小值是1,所以

-b=l,b=T,因此a〉b,应选A.点评：此题考查的是二次函数的最值。根据函数有最小值判断出a的符号，

进而可得出结论。求二次函数的最大〔小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，

第三种是公式法.

15.(2022甘肃兰州)抛物线y=[x+2)乙3可以由抛物线y=x?平移得到，那么以下平移过程中正确的选项

是()

A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D,先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

解析：抛物线y=x?向左平移2个单位可得到抛物线y=[x+2):抛物线y=(x+2)2,再向下平移3个单位

即可得到抛物线丫=(x+2)2-3.故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位.应选B.

点评：此题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.难度

较小。

16.(2022甘肃兰州)抛物线y=-2(+1的对称轴是1)

A.直线xB.直线x=C.y轴D.直线x=2

22

解析：抛物线丫=-2六+1就是抛物线的顶点式方程，可直接得到对称轴为x=0,即y轴。答案：C

点评：此题主要考查二次函数的性质的知识点，将解析式化为顶点式y=a[x-h)2+k,顶点坐标是[h,k),

对称轴是*=1也可以用公式法解答.

17.(2022河北省)如图6,抛物线乃=a(x+2)2—3与%—3)2+1交于点A[1,3),过点A作x

轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C,那么以下结论：①无论x取何值，%总是正数；②a=l；③当

x=0时，％-出=4;④2AB=3AC其中正确的选项是〔)

A.①②B.②③C.③④D.①④

=—(x-3)2+1a=—>0

【解析】-2中，2,而图象又在x轴的上方，所以结论①正确；将A[1,3)代入

229

%=a(x+2)2—3,可得“3,所以结论②不正确；当x=0时，”"6,所以结论③错误；把

y=3,分别代入两个表达式中，分别求出AB、AC的长度比较它们的数量关系，可知④是对的。【答案】D

【点评】此题考查的知识点比较多，计算量比较大，但是如用排除法，就简单一点了。在教学中，多渗透

一题多解。此题难度较大。

18.(2022江苏苏州)点A(xi,1)、B(x2,y?)在二次函数y=(x-1)?+i的图象上，假设xi>xz>l,那

么yiy?〔填“>"、或

分析：先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的减

性，进而可得出结论.

解答：解：由二次函数y=(x-1)可，其对称轴为x=l,：xi>x2>l,.•.两点均在对称

轴的右侧，•••此函数图象开口向上，...在对称轴的右侧y随x的增大而增大，

VXI>X2>L/.yi>y2.故答案为：〉

点评：此题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解

答此题的关键.

19.(2022四川广安)如图7,把抛物线y=Lx?平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点0〔0,

2

0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=Lx?交于点Q,那么图中阴影局部的面积为.

2

思路导引：注意平移的性质的运用，观察得出的图象构造的图形，可以发现以点AQ0P为顶点的四边形是

菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，结合轴对称的性质进行分析解答，解析：平移后的抛物线

191c9

的解析式是y=-x(x+6),所以顶点坐标是(—3,——〕，x=-3时，y=—%2=—,所以点Q坐标是〔一3,

2222

991

—0A=6,PQ=2X-=9,所以四边形APOQ面积是一X6X9=27,图中阴影局部的面积是四边形APOQ面积

222

127

的一，所以面积是——点评：在图形面积计算问题中，巧妙运用轴对称性质解答问题，注意割补法灵活运

22

用.另外一般图形向特殊图形的转化也十分关键.

20.(2022湖北孝感)二次函数尸ax?+6x+c(a,b,c是常数，a#0)图象的对称轴是直线尸1,其图像的

一局部如下列图，对于以下说法：

①a6c〈0；②a~4c<0；③3a+c<0；④当-1〈矛〈3时，y>0.其中正确的选项是(把正确说法的序

号都填上）.

【解析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛

物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

:抛物线的开口向下，；.a<0,：与y轴的交点为在y轴的正半轴上，

A

•・•对称轴为产-二二1,得2年一6,・・・/6异号，即6>0,又・・・。>0,・••瑟cVO,故①正确；

2a

:抛物线与X轴的交点可以看出，

当A=-1时，y<0,.,.a—>c<0,故②正确；当户一1时，y<0,而此时a—价c=3a+c,即3a+c〈0；故

③正确；观察图形，显然④不正确.【答案】①②③

【点评】考查二次函数尸a/+6x+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线

与x轴交点的个数确定.

21.（2022广东深圳）二次函数y=N—2x+6的最小值是。

h-b2

【解析】：考查二次函数的根本性质，会用顶点坐标公式（--,-------）求顶点。根据a的值确定抛物线

2a4a

的开口方向，从而确定函数的最大或最小值。或将一般式化为顶点式求解。【解答工由可知二次

函数y最小值=‘a""=4义1*6—（-2）一=5或者由？=/一2*+6=（x-+5知二次函数的最小值

4a4x1

是5【点评】：一是公式记忆要准确，二是系数不能代错。化成顶点式时配方不能出错。

9

22.（2022广西玉林）二次函数y=-[x-2）的图象与x轴围成的封闭区域内〔包括边界），横、纵坐

4

标都是整数的点有个.（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）.

9

分析：根据二次函数的解析式可知函数的开口方向向上，顶点坐标为[2,一）,当y=0时，可解出与x轴

4

9

的交点横坐标.解：..•二次项系数为T,；.函数图象开口向下，顶点坐标为（2,-）,当y=0时，-（x-2）

4

917

2+-=0,解得XF—，得X2=—.可画出草图为：图象与X轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐

422

标都是整数的点有7个，为（2,0）,[2,1）,[2,2）,11,0）,11,1）,[3,0）,〔3,1）.点评：此题

考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的性质、画出函数草图是解题的关键.

23.（2022湖北咸宁）对于二次函数y=x2-2%x-3,有以下说法：

①它的图象与尤轴有两个公共点；②如果当xWl时y随元的增大而减小，那么"?=1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，那么加=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的

函数值相等，那么当x=2012时的函数值为-3.

其中正确的说法是.〔把你认为正确说法的序号都填上）

【解析】①根据函数与方程的关系解答；••,△=4m2—4X[一3）=41配+12>0,.•.它的图象与x轴有两

个公共点，故本选项正确；②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；：当xWl时y随x的增大而

—2m—2m

减小，，函数的对称轴X=―.....在直线x=l的左侧（包括与直线x=l重合），那么一-----《1,即m

22

W1,故本选项错误；③将m=—1代入解析式，求出和x轴的交点坐标；将m=—1代入解析式，得丫=

x2+2x—3,当y=0时，得x?+2x—3=0,即[x—1）[x+3）=0,解得，xi=l,X2=-3,将图象向左

平移3个单位后不过原点，故本选项错误；④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m

=2022代入解析式;④・・・当x=4时的函数值与x=2022时的函数值相等，.,•对称轴为x=史"曳=1006,

2

—2m

那么一方一=1006,即m=1006,原函数可化为y=x2—2022x—3,当x=2022时，y=2022—2022X2022

—3=-3,故本选项正确.【答案】①④（多填、少填或错填均不给分）

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线平移、与x轴的交点，综合性较强.

24.（2022年广西玉林）二次函数y=ax2+bx+c[aWO）的图象如下列图，其对称轴为x=l,有如下结论：

2

①c<l；②2a+b=0；③b,<4ac；④假设方程ax+bx+c=0的两根为Xi,x2,那么XI+X2=2,那么正确的结论

是1）

A.①②B.①③C.②④D.③④

分析：由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1,应选项①错误；由抛物线的对称轴为x=l,利

用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0,选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得

到根的判别式大于0,整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0,得到关于x的一元二次方程，

利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2,选项④正确，

即可得到正确的选项.解：由抛物线与y轴的交点位置得到：OL选项①错误；

b

•・•抛物线的对称轴为x=-——=1,.-.2a+b=0,选项②正确；由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac>0,

2a

b

BPb2>4ac,选项③错误；令抛物线解析式中y=0,得到a/+bx+c=O,二•方程的两根为x>x,且--=1,

22a

bb

及--=2,；.xi+x2=--=2,选项④正确，综上，正确的结论有②④.应选C

aa

点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax?+bx+c〔aWO）,a的符号由开口方向决定，

c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置确定，抛物线与x轴交点的个数

决定根的判别式的符号.

25.12022黑龙江哈尔滨）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的

边与这条边上的高之和为40cm,这个三角形的面积S（单位：cm?）随x（单位：cm）的变化而变化.

⑴请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大最大面积是多少

解析：此题考查确定函数解析式，二次函数最值.三角形的边X和高的和是40,可表示该边上的高位40-X,

据三角形面积公式是底乘高除2可写出S=LXx(40-x),这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大值.

2

11b4ac—b2

【答案】解：(1)S=—Xx(40-x)=---X2+20X；(2)x=-----=20,S=--------=200,

222。4a

所以当x=20cm时，这个三角形的面积最大，最大面积是200cm②.

【点评】二次函数是中考考查的必考内容之一，此题是综合考查二次函数的最值问题，需要考生熟悉二次

函数的相关根本概念和配方法即可解题.要注意解题过程的完整性.

26.(2022黑龙江哈尔滨)将抛物线y=3x?向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为().

(A)y=3(x+2)2-1(B)y=3(x-2)2+l(C)y=3(x-2)2-1(D)y=3(x+2)2+l

【解析】此题考查了函数图象的平移规律.抛物线的平移规律是：左右平移自变量左加右减，上下平移常

数上加下减来进行.对于题目当中这种简单形式，可以直接套公式即可.【答案】A【点评】11)受点的平

移规律影响，误认为左右平移时自变量“左减右加〃而误选B；［2)将3/误认为是自变量，得出错误答案：

y=3x2+2-l=3x2+l.

27.(2022黑龙江哈尔滨)李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外

三边总长应恰好为24米.要围成的菜园是如下列图的矩形ABCD.设BC边的长为x米，AB边的长为y米，

那么y与x之间的函数关系式是().

(A)y=­2x+24(0<x<12)(B)y=--x+12(0<x<24)

2

(c)y=2x一24(0〈x412)(D)y=-x—12(0<x<24)

2

【解析】此题考查函数解析式的表示方法及自变量取值范围.AB+CD+BC=24,即2AB+x=24,2y+x=24,所以

y=12--x.因为菜园一边的墙足够长，所以自变量x(BC)只要小于24即可，又边长大于零，所以x取值范

2

围0<x<24,应选B.【答案】B【点评】根据矩形的周长公式此题易得解，但要注意矩形的第四边的特殊

要求。

28.(2022河北)某工厂生产一种合金薄板〔其厚度忽略不计)这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：

cm)在5~50之间，每张薄板的本钱价(单位：元)与它的面积〔单位：cm2)成正比例，每张薄板的出厂

价〔单位：元)由根底价和浮动价两局部组成，其中根底价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与

薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，

薄板的边长［cm)2030

出厂价1元/张)5070

11）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式;

12）出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-本钱价）。

①求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式。

②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大最大利润是多少

（2\

参考公式：抛物线丁=。必+6x+c（awo）的顶点坐标是—_L,%二L。

、2a4a7

【解析】11）根据每张薄板的出厂价〔单位：元）由根底价和浮动价两局部组成，设出出厂价的表达式（为

一次函数）再根据表格中的数据，求出解析式。（2）根据利润=出厂价-本钱价，列出利润的关系式，为二

次函数，再利用顶点坐标，求出当边长为多少时，博班利润最大最大利润是多少但是需要验证顶点的横坐

标在不在x的取值范围内。

【答案】解：门）设一张薄板的边长为xcm,它的出厂价为y元，根底价为n元，浮动价为kx元，

那么y=kx+n........................2分

由表格中数据得150=20,k+n解得1k=2；.y=2x+10

70=30k+n[n=10

〔2）①设一张薄板的利润为P元，它的本钱价为mx”元，由题意得P=y—mx2=2x+l（Hnx2

将x=40,P=26代入P=2x+10-mx2中，＜26=2x40+10-mx402m=—：.P=—--x2+2x+10

2525

=25（在5~50之间）时,

即出厂一张边长为25cm的薄板，所获得的利润最大，最大利润为35元

【注：边长的取值范围不作为扣分点】

【点评】此题是一次函数、二次函数的用，①求表达式，②求极值。一次函数求极值是根据y随x的增大

而增大还是缩小；二次函数的极值分为两局部：顶点极值和非顶点极值。是每次中考都要考查的重点内容。

教学时要多加注意。难度中等。

29.（2022黑龙江绥化）如图，二次函数〉=。必一4%+。的图像经过坐标原点，与矛轴交与点A（-4,0）.

11）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P,满足SA°P=8,请直接写出点P的坐标.

【解析】解：［1）把点A（-4,0）及原点［0,0）代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答;

c=O［a--\

\9解得《

Lax（-4）2-4x（-4）+c=0Ic=0

所以，此二次函数的解析式为y=-x2-4x；

〔2）根据三角形的面积公式求出点P到A0的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可.由

条件得⑵:点A的坐标为［-4,0）,；.A0=4,

设点P到x轴的距离为h,那么SAAOP=—X4h=4,解得h=4,

2

①当点P在x轴上方时，-x?-4x=4,解得x=-2,所以，点P的坐标为1-2,4）；

2

②当点P在x轴下方时，-X-4X=-4,解得XI=-2+2J5,xz=-2-2^2

所以，点P的坐标为（-2+20,-4）或（-2-2V2,-4）,

综上所述，点P的坐标是：F2,4）、（-2+20,-4k（-2-2V2,-4）.

【答案】⑴》=—/―4x；⑵点P的坐标是：一2,4）、［-2+2技-4）、（-2-20,-4）.

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，［2）要注意分点P

在x轴的上方与下方两种情况讨论求解.难度中等.

30.（2022四川宜宾）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的

对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线。有以下命题：

①直线y=0是抛物线y=—/的切线；②直线x=-2与抛物线y=—/相切于点〔一2,1）；

44

1,1,

③直线y=x+b与抛物线y=—/相切，那么相切于点（2,1）；④直线y=kx-2与抛物线y=—/相切，那么

44

实数k二四；其中正确命题的是〔）

A.①②④B.①③C.②③D.①③④

【解析】根据二次函数的性质与根的判别式对各小题进行逐一分析即可.

解：①•••直线y=0是x轴，抛物线丫二工（的顶点在x轴上，直线y=0是抛物线y=2x2的切

44

线，故本小题正确；②：抛物线的顶点在x轴上，开口向上，直线x=2与y轴平行，，直线*=

4

-2与抛物线y=lx2相交，故本小题错误；

4

③：直线y=4x+b与抛物线y=2x?相切，...▲x2-4x-b=0,.♦.△=16+4b=0,解得b=-4,把b=-4代入

44

工x2-4x-b=0得x=2,把x=2代入抛物线解析式可知y=l,.•.直线丫=*+1）与抛物线y=L?相切，那么

44

相切于点[2,1）,故本小题正确；

④：直线y=kx-2与抛物线yJx?相切，x2=kx-2,即-kx+2=0,A=k2-2=0,解得k=±J],

444

故本小题错误.应选B.【点评】此题考查的是二次函数的性质及根的判别式，熟知二次函数的性质是

解答此题的关键

31.（2022甘肃兰州）假设X1、xz是关于x一元二次方程ax，bx+c=0的两个根，那么方程的两个

根XI、X2和系数a、b、c有如下关系：为+%=-上h,%・々=c—.把它们称为一元二次方程根与系数关系定

aa

理。如果设二次函数y=ax°+bx+c〔aWO）的图象与x轴的两个交点为A（xi,0）,B（x2,0].利用根与系

数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：

参考以上定理和结论，解答以下问题：

设二次函数y=ax?+bx+c[a>0）的图象与x轴的两个交点A（xi,0）,B（x2,0）,抛物线的顶点为C,显

然4ABC为等腰三角形.

⑴当AABC为等腰直角三角形时，求〃—4ac的值；（2）当AABC为等边三角形时，求4ac的值.

解析：（1）当AABC为直角三角形时，由于AC=BC,所以aABC为等腰直角三角形，过C作CDLAB于D,

J7—4-cic

那么AB=2CD.根据此题定理和结论，得到=^一,根据顶点坐标公式，得到

/I

CD==-——,列出方程，解方程即可求出〃—4〃c的值；

4a4a

[2）当aABC为等边三角形时，解直角^ACD,得CD=6AD=BAB,据此列出方程，解方程即可求

2

~Z?2—4-cic(Z72—4QC)22,2

yjb1—4ac=--------,b2-4ac=-----------*/b2—4ac>0,b2—4ac=4；

24

[2）如图，当AABC为等边三角形时，由m可知CE=JAB,

2

.b2-4ac_班yjb2-4ac

4a2a

：/_4ac>0,；.b2-4«c=12.

点评：此题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与

及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等.

32.（2022山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax、bx+c经过A（-2,-4）,0（0,0）,B

（2,0）三点.（1）求抛物线y=ax'+bx+c的解析式；（2）假设点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+0M

的最小值.

【解析】11）将A、0、B三点代入此抛物线求出抛物线的解析式即可。（2）求出此抛物线的对称轴以及对

称轴的垂直平分线的方程，画出它们，由几何关系可求得AM+0M的最小值.

解：（1）把A（-2,-4）,0〔0,0〕，B（2,0）三点的坐标代入y=ax?+bx+c中，得

f4a-2b+c=-4

(4a+2b+c=0解这个方程组，得a=-1,b=l,c=0所以解析式为y=-LAX.

-22

⑵由y=-lx2+x=-1（x-1）2+1,可得抛物线的对称轴为x=l,并且对称轴垂直平分线段0B

222

OM=BMOM+AM=BM+AM连接AB交直线x=l于M点，那么此时OM+AM最小

过点A作AN，x轴于点N,在Rt^ABN中，AB=«石菽=妤手=4&,

因此OM+AM最小值为5日.【点评】此题考查二次函数的性质：二次函数的求法、二次函数对称轴的求法、

二次函数对称轴的求法以及对称的性质.待定系数法求二次函数的解析式是二次函数常考查的问题，二次

函数性质的综合应用在中考中常作为压轴题考查.

33（2022甘肃兰州）如图，RtZkABO的两直角边0A、0B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，0为坐标

原点A、B两点的坐标分别为（-3,0）、［0,4）,抛物线y=—必+法+。经过点B且顶点在直线x=一上.

-32

11）求抛物线对应的函数关系式；

12）假设把AABO沿x轴向右平移得到ADCE,点A、B、。的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱

形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

〔3）在［2）的条件下，连结BD,在对称轴上存在一点P是的4PBD的周长最小，求出P点的坐标；

［4）在〔2）、（3）条件下，假设点M是线段0B上的一个动点（点M与点0、B不重合），过点M作MN〃BD

交x轴与点N,连结PM、PN,设0M的长为t,Z\PMN的面积为S,求S与t的函数关系式，并写出自变量

t的取值范围。S是否存在最大值假设存在，求出最大值和此时M点的坐标；假设不存在，说明理由。

2,5

解析：（1）根据抛物线、=经过点B［0,4）,以及顶点在直线x=5上，得出b,c即可；

〔2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是［5,4）、（2,0）,利用图象上点的性质得出x=5或2

时，y的值即可.

13）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式，当％时，求出y即可；

2

14）利用MN〃BD,得出△0MNS/\0BD,进而得出"_=空，得到ON=』r,进而表示出△PMN的面积，

OBOD2

利用二次函数最值求出即可.

2o

解：[1)•抛物线y=—%2+6%+C经过B[0,4),c=4

3

•.•顶点在直线x=3上，，一幺=*,b=-—

22a23

210

.•.所求的函数关系式为：y=-x2-—x+4

-33

〔2)在RtZXABO中，0A=3,0B=4,/.AB=VOA2+(9B2=5

•/四边形ABCD是菱形，BC=CD=DA=AB=5,

；.C、D两点的坐标分别是［5,4）、［2,0）,

?10210

当x=5时，y=-x52一一x5+4=4当x=2时，y=-x22——x2+4=0.•.点C和点D都在所求抛

3333

物线上;

［3）设CD与对称轴交于点P,那么P为所求的点,

5k+b=4b=X

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,那么《c,,八，解得:

2k+b=03

.V14%8当尤54458_2

・・y—