安徽省安庆市潜山市第二中学2023-2024学年高三第四次模拟考试数学试卷含解析

2023届广东省珠海市第二中学人教版高中数学试题必修一:模块综合检测试题（一）注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“且”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}3．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（）A． B． C．1 D．4．数列满足，且，，则（）A． B．9 C． D．75．的内角的对边分别为，若，则内角（）A． B． C． D．6．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．07．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72 B．64 C．48 D．328．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元9．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（）A． B． C． D．10．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（）A． B．4 C． D．211．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（）A．2 B．2 C．4 D．612．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________，此时a=____________.14．不等式的解集为________15．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是．16．已知函数是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则的值为___________________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计已知在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的位男性中，选出人进行问卷调查，求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.下面的临界值表供参考：（参考公式，其中）18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.（1）设直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C交于两点A．B，求AB的长；（2）设M、N是曲线C上的两点，若，求面积的最大值.19．（12分）如图在棱锥中，为矩形，面，（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；（2）当为中点时，求二面角的余弦值.20．（12分）在底面为菱形的四棱柱中，平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：.（1）求与的极坐标方程（2）若与交于点A，与交于点B，，求的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.【详解】如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形，记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件，故选:.【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.2．D【解析】

解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.3．B【解析】

首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；【详解】解：因为，所以因为所以，即，，时故选：【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.4．A【解析】

先由题意可得数列为等差数列，再根据，，可求出公差，即可求出．【详解】数列满足，则数列为等差数列，，，，，，，故选：．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5．C【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．【详解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．6．C【解析】

由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中，，为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.7．B【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。【详解】由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，所以几何体的体积为，故选B。【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。8．D【解析】

用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.9．A【解析】试题分析：设公差为或（舍），故选A.考点：等差数列及其性质.10．D【解析】

由得，又，两式相除即可解出．【详解】解：由得，又，∴，∴，或，又正项等比数列得，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．11．C【解析】

根据列方程，由此求得的值，进而求得.【详解】由于，所以，即，解得.所以所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.12．B【解析】

由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的，如图，故其表面积为，故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．3【解析】

根据题意，分析可得，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a的值，即可得答案．【详解】根据题意，正数a、b满足，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，此时.故答案为：3；.【点睛】本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.14．【解析】

通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。【详解】由得，解得，所以解集是。【点睛】本题主要考查无理不等式的解法。15．【解析】试题分析：由三角函数定义知，又由诱导公式知，所以答案应填：．考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．16．【解析】

由题意可得：，周期为，可得，可求出，最后再求的值即可.【详解】解：函数是定义在上的奇函数，.由周期为，可知，，..故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）列联表见解析，有的把握认为患心肺疾病与性别有关，理由见解析；（2）.【解析】

（1）结合题意完善列联表，计算出的观测值，对照临界值表可得出结论；（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所选的人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【详解】（1）由于在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为，所以人中患心肺疾病的人数为人，故可将列联表补充如下：患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计.故有的把握认为患心肺疾病与性别有关；（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、.从中选取三人共有以下种情形：、、、、、、、、、.其中至少有一位从事的是户外作业的有种情形，分别为：、、、、、、、、，所以所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率为.【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题，考查计算能力，属于中等题.18．（1）；（2）1.【解析】

（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2），，由（1）通过计算得到，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为，即；再将，，代入上式，得，故曲线C的极坐标方程为，显然直线l与曲线C相交的两点中，必有一个为原点O，不妨设O与A重合，即.（2）不妨设，，则面积为当，即取时，.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.19．（1）见解析；（2）【解析】

（1）要证明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需满足即可，从而得到点E为中点;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【详解】（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在点E为PC中点.法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ，由题意知PD＝CD＝1，，设，，，由，得，即存在点E为PC中点.（2）由（1）知，，，，，，设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为由的法向量为得，得，同理求得所以，故所求二面角P－AE－D的余弦值为.【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）由已知可证，即可证明结论；（2）根据已知可证平面，建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面和平面的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.【详解】方法一：（1）依题意，且∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，∴，∵且为的中点，∴，∵平面且，∴平面，以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴设平面的法向量为，则，∴，取，则.设平面的法向量为，则，∴，取，则.∴，设二面角的平面角为，则，∴二面角的正弦值为.方法二：（1）证明：连接交于点，因为四边形为平行四边形，所以为中点，又因为四边形为菱形，所以为中点，∴在中，且，∵平面，平面，∴平面（2）略，同方法一.【点睛】本题主要考查线面平行