2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）第十一章 反比例函数（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第十一章反比例函数（知识归纳+题型突破）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数解析式。能画出反比例函数图像，理解图像的性质和坐标特征，解决k值相关面积问题能用反比例解决实际应用问题【知识点1、反比例函数的概念】一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的等价形式：eq\o\ac(○,1)（）②()③xy=k()【知识点2、反比例函数的图象和性质】1、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2、反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置，一、三象限，二、四象限，一、三象限

，二、四象限增减性，随的增大而增大

，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而减小

，在每个象限，随的增大而增大【知识点3、反比例函数y＝中的意义】①过双曲线(≠0)上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.②过双曲线(≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=题型一反比例函数的定义【例1】下列各式中，是的反比例函数的是（

）A． B． C． D．【例2】下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A． B． C． D．【例3】．下列函数不是反比例函数的是（）A． B． C． D．巩固训练1．下列函数中，是的反比例函数的是（

）A． B． C． D．2．下列各项中，是的反比例函数的是（

）A． B． C． D．3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）A． B． C． D．题型二判断反比例函数关系【例4】下列两个变量成反比例函数关系的是（

）A．圆的面积S与它的半径r之间的关系 B．电压一定时，电流I与电阻R之间的关系C．速度一定时，路程S与时间t之间的关系 D．在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系巩固训练4．下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有（）①当路程一定时，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系；②当商品的进价一定时，利润k与售价a之间的函数关系；③当矩形的面积一定时，矩形的长a与宽b之间的函数关系；④当电压一定时，电路中通过的电流强度I与电阻R之间的函数关系．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型三根据反比例性质求参数【例5】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（

）A． B． C． D．【例6】若在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，数m的取值范围是（

）A． B． C． D．巩固训练5．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知反比例函数，当时，随增大而增大，则a的值可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型四判断反比例函数图像【例7】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象大致可以是（）A．

B．

C．

D．

【例8】反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．巩固训练7．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（）A．B．C． D．9．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（

）A． B．C． D．题型五反比例函数的坐标特征【例9】已知反比例函数的图象经过点，则的值为．【例10】已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是．【例11】在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为．巩固训练10．如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．

11．已知反比例函数的图象经过点，试判断点，是否在此函数的图象上．12．下列四个点，在反比例函数的图象上的是（

）A． B． C． D．13．如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．14．如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（）

A． B． C． D．题型六反比例函数中k值的几何意义【例12】如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则的值为（

）A．6 B． C． D．【例13】平行四边形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，与轴相交于点，且为的中点，若平行四边形的面积为8，则的值为（

）A． B．2 C． D．4【例14】如图，为反比例函数图象上一点，垂直轴于点，若，则的值为（

）

A．8 B．4 C．2 D．不能确定巩固训练15．如图，是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（

）A．9 B．12 C．18 D．2016．如图，点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为5，则k的值为．17．如图，点在反比例函数第一象限内的图像上，点在轴的正半轴上，，的面积为3，则的值为．18．如图，点、均在反比例函数（，）的图像上，连接、，过点作轴于点，交于点，已知点为的中点，且的面积为4，若点的横坐标为6，则点的纵坐标为．题型七待定系数法求反比例解析式【例15】已知反比例函数的解析式，并且当时，．(1)求反比例函数的解析式；(2)当时，求y的值．巩固训练19．已知关于x的反比例函数的图象经过点．(1)求m的值；(2)判断该反比例函数图象经过的象限；(3)当时，函数值y随x的增大怎样变化？题型八反比例函数性质的综合判断【例16】如图，反比例函数的图象经过，则以下说法不正确的是（

）A．若图中矩形的面积为2，则 B．，y随x的增大而减小C．图象也经过点 D．当时，【例17】已知点，在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．巩固训练20．已知点，都在双曲线上，且，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．21．若点，，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或题型九反比例函数的实际应用【例18】如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（単位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻的变化范围为．【例19】验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了度．【例20】数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，．(1)求密度关于体积V的函数解析式；(2)当时，求V的值．巩固训练22．如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度的图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过，则该汽车通过这段公路最少需要（

）A．40分钟 B．45分钟 C．55分钟 D．60分钟23．某校对数室采用药薰法进行灭蚊，根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，与成反比例，已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为分钟．24．某校组织活动，一小组需在室外搭建临时木屋，板对地面的压强p（）是木板面积S（）的反比例函数，其图象如图所示，当木板的压强为500时，求木板的面积．25．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压(千帕)是气球的体积(立方米)的反比例函数，其图像如图所示．(千帕是一种压强单位)

(1)求这个函数的解析式；(2)当气球的体积为立方米时，气球内的气压是多少千帕?(3)当气球内的气压大于千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积应控制的范围．26．装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间与装载速度x之间的函数关系如图：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果以的速度装货，需要多长时间才能装完货物？题型十反比例函数与一次函数的结合【例21】已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点．(1)求这两个函数的表达式；(2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围．【例22】已知反比例（为常数，）的图象经过点(1)求的