九年级数学下册第三章圆3垂径定理教案新版北师大版

Page13垂径定理1．利用圆的轴对称性探讨垂径定理及其逆定理．2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．重点利用圆的轴对称性探讨垂径定理及其逆定理．难点垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加协助线．一、复习导入1．等腰三角形是轴对称图形吗？2．假如将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发觉什么结论？3．假如以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？二、探究新知1．垂径定理课件出示：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.(1)该图是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？(3)你能给出几何证明吗？(写出已知、求证并证明)解：(1)该图是轴对称图形，对称轴是直线CD.(2)AM＝MB，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).(3)已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M.求证：AM＝BM，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).证明：连接OA，OB，则OA＝OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA＝OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM＝BM.∴点A和点B关于直线CD对称．∵⊙O关于直线CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，eq\o(AC,\s\up8(︵))和eq\o(BC,\s\up8(︵))重合，eq\o(AD,\s\up8(︵))和eq\o(BD,\s\up8(︵))重合．∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．2．垂径定理的逆定理课件出示：如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.(1)下图是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由．(3)你能仿照垂径定理的证明过程，自行证明逆定理吗？(4)你能正确表述逆定理的内容吗？(5)“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．”假如该定理少了“不是直径”，是否也能成立？分析：条件：CD是直径；AM＝BM；结论(等量关系)：CD⊥AB；eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))；eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).归纳得到垂径定理逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．三、举例分析例1如图，一条马路的转弯处是一段圆弧(即图中eq\o(CD,\s\up8(︵))，点O是eq\o(CD,\s\up8(︵))所在圆的圆心)，其中CD＝600m，E为eq\o(CD,\s\up8(︵))上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m．求这段弯路的半径．引导学生思索如下问题：(1)如何利用所学定理添加协助线？(2)这样添加协助线的目的是什么？(3)你想利用直角三角形的什么学问来解决问题？(4)大家能合作完成求解过程吗？解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF＝(R－90)m.∵OE⊥CD，∴CF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×600＝300(m)．在Rt△OCF中，依据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2.解这个方程，得R＝545.所以，这段弯路的半径为545m.例2已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.问：(1)证明两条线段相等，最习惯用什么方法？(2)在此用三角形全等怎么证明？(3)用垂径定理怎样证明？处理方式：老师引导学生共同解决问题．四、练习巩固1．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝2，AE＝3，则△ACB的面积为()A．3B．5C．6D．82．在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC＝________°.3．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，AC＝BD.求证：OC＝OD.五、课堂小结1．易错点：(1)垂径定理中的两个条件缺一不行——直径(半径)，垂直于弦；(2)垂径定理的逆定理中“不是直径”不行或缺，否则错误．2．归纳小结：(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；(2)垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．3．方法规律：解决有关弦的问题，常常是过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连接半径等协助线，为应用垂径定理创建条件．六、课外作业1．教材第76页“随堂练习”第1、2题．2．教材第76～77页习题3.3第1～4题．垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件、结论比较多，学