中考数学压轴大题之经典模型培优案11

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题21函数与直角三角形的存在性问题

解题策略

以线段18为边的直角三角形构造方法如右图所示：，

经典模型培优案

直角三角形的另一个顶点在以月在以4?为直径的圆上，或过46且与."垂直的直线

上（J,6两点除外）.一

解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨

论.通常这类问题的解题策略有："

（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算.•

如图，若NACB=90°.过点48作经过点C的直线的垂线，垂足分别为£、F.则4

4区s△江B.从而得到线段间的关系式解决问题."

（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程

并检验.~

经典例题

【例1】（2022春•绿园区期末）如图，在RtzMBC中，NAC8=90°,AC=BC=6,动点。从点A出发,

沿AC以

每秒2个单位长度的速度向终点。运动，过点P作尸Q_LAB于点Q,将线段PQ绕点P逆时针旋转90°

得到线段PR,连结QR.设四边形APRQ与RtA/WC的重叠部分的面积为5,点P的运动时间为/（/>0）

秒.

（1）线段AP的长为21（用含/的代数式表示）.

（2）当点R恰好落在线段3c上时，求，的值.

（3）求S与/之间的函数关系式.

（4）当△CPR为直角三角形时，直接写出/的值.

【分析】（1）由题意可得出答案；

（2）由旋转的性质及等腰直隹一角形的性质可得出26/=6/万-血/,则可求出答案；

（3）分两种情况：①当点”在ZXAC力内或NC边上时，。＜住2,②当2〈自3时，由平行四边形的面积

公式及三角形面积可得出答案；

（4）可分两种情况：①当NPCR=90°时，由（2）可知，7=2,②当NCRP=90°,由题意得出入P=

PC,则可求出，的值.

【解答】解：（1）由题意可知，AP=2t,

故答案为：2/：

（2）如图，

•・•将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR,

：・PQ=PR,ZQPR=90°,

-：AP=2t,

：.AQ=PQ=42t,

•**QR=42•匹=2f,

\'AC=BC=6,ZC=90°,

:.AB=6®

•・•当点R恰好落在线段AC上时，NRCP=90",

：.4CPR=/CRP=4PRQ=45°,

：・/QRB=90",

：・2。=啦低，

/•/=2；

（3）分两种情况：①当点R在△AC3内或4c边上时，0VK2,

YAP=QR,AQ=PR,

・•・四边形APRQ为平行四边形，

：.S=AQ・PQ=^t*V2t=2r；

②当2VfW3时，由题意知，和为等腰直角三角形，

・•・CP=CE=6-2t,

:.PE=6版■2心，

：.ER=42t-（6V2-2V2t）=3心・6注,

（3

：•SXt-672）2=3（t-2）2，

AEFR4乙4乙^2乙

•,*5=5四边形APRQ-S@FR=2t2于（t-2）2=-yt2+18t-18»

乙乙

2t2（t<2）

-ytz+18t-18（2<t<3）

乙

（4）当△€¥>??为直角三角形时，可分两种情况：

①当NPCR=9（）°时，由（2）可知，/=2,

②当NCRP=90°,由题意可知AQ=PQ=PR=CR,

:.AP=PC,

A2r=6-2r,

・，一3

2

综上所述，当7=2或3时，△CPR为直角三角形.

2

【例2】（2022春•成华区校级期中）如图，在平面直角坐标系内，点。为坐标原点，经过A（-2,6）的

直线交x轴正半轴于点4,交了轴于点C,OB=OC,直线交x轴负半轴于点D,若△/WO的面积为

27.

（1）求直线AB的表达式和点D的坐标；

（2）横坐标为〃?的点P在线段A6上（不与点A、4重合），过点。作x轴的平行线交于点E,设

PE的长为），（yWO）,求），与所之间的函数关系式并直接写出相应的机取值范围；

（3）在（2）的条件下，在％轴上是否存在点片使△PEf'为等腰直角三角形？若存在求出点尸的坐标：

若不存在，请说明理由.

备用图1备用图2

【分析】（I）根据直线48交/轴正半轴于点8,交），轴于点C,OB=OC,设出解析式为），=-/〃，把

A的坐标代入求得〃的值，从而求得8的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出8。的，直，求出0。

的值，从而求出。点的坐标，直接根据待定系数法求出的解析式；

（2）先根据3、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的纵

坐标，将，点的纵坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出

结论；

（3）要使△PE〃为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、尸为直角顶点，根据等腰直角三角形

的性质求出（2）中〃】的值，就可以求出尸点的坐标.

【解答】解：⑴'：OB=OC,

・•・设直线AB的解析式为>'=-x+,n

•・•直线43经过A（-2,6）,

••2+〃=6,

〃=4,

・•・直线AB的解析式为y=-x+4,

：,B（4,0）,

；・OB=4,

♦•♦△48D的面积为27,>4（-2,6）,

**•S^ABD=—■XBDX6=27»

2

1・BD=9,

:.OD=5,

r.D（-5,0）,

设更线AD的解析式为

.f-2a+b=6

…-5a+b=0'

解得卜;2.

(b=10

・•・直线AD的解析式为y=2叶：0；

(2)•・•点尸在A8上，且横坐标为加，

:.P(，〃,-〃?+4),

,?PE〃x轴，

・・・E的纵坐标为-〃?+4,

代入y=2x+10得，-6+4=2x+10，

解得

2

.•.E(工-〃?+4),

2

，PE的长y=m-工^~=昆〃?+3；

22

即y=—m+3>(-2<m<4)；

2

(3)在x轴上存在点片使APE/为等腰直角三角形,

①当NFPE=90°时，如图①，

有PF=PE,PF=-m+4,PE=—/n+3,

Q

-〃?+4=a〃?+3,

2

解得加=2,此时广(2,o)；

②当NPEF=90°时，如图②，有EP=EF,石/的长等于点E的纵坐标,

y,

4

/户。x

图②

:・EF=-〃?+4,

-〃?+4=*/〃+3,

2

解得：加=之，

5

・••点E的横坐标为x=二工§_=-JA.

25

:・F(,0)；

5

③当/FFE=9U。时，如图③，有FP=FE,

・•・ZFPE=/FEP.

•:NFPE+/EFP+/FEP=T80：

；・/FPE=NFEP=45°.

图③

••・N/YW=18(r-ZFPE-ZP/?F=45°,

:・/PFR=/RPF,

:・FR=PR.

同理FR=ER,

:・FR=占E.

2

•・•点R与点E的纵坐标相同，

:・FR=-m+4,

:.-m+^=—(碧〃+3),

22

解得：加苦

APR=FR=-〃?+4=-—+4=—,

77

・•・点F的横坐标为当-¥=-§,

777

:・F（,0）.

7

综上，在x轴上存在点尸使△广£「为等腰直角三角形，点少的坐标为（2,0）或（-凶，0）或（一旦，

557

0）.

【例3】如图，在平面直角坐标系中，C（8,0）、B（0,6）是矩形A8OC的两个顶点，点。是线段48上

的一个动点（不与A、8重合），双曲线）=区（2>0）经过点。，与矩形A8OC的边AC相交于点E.

x

（1）如图①，当点。为43中点时，A的值为24,点£的坐标为（8,3）.

（2）如图②，当点。在线段A3」二的任意位置时（不与A、B重合），连接3。、OE求证：BC//DE.

（3）是否存在反比例函数上不同于点。的一点尸，满足：AODF为直角三角形,NODF=90：且⑶i

ND（）F=±,若存在，请直接写出满足以上条件时点。的横坐标，若不存在，请说明理由.

3

【分析1（1）根据矩形的性质得点4的坐标，再利用中点坐标公式得点。的坐标，从而得出k的值，再

将y=6代入即可；

（2）根据点。、£的坐标，可得出A。、AE的长度，根据即坦即可证出8C〃QE；

ABAC

（3）根据题意可知，需要分两种情况：①当点尸在直线A4上方时，过点。作QG_Lx轴于点G,过点

"作QW_LQG于点M,②当点尸在直线A8下方时，如图，过点。作QG_Lx轴于点G,过点尸作FALL

A8于点N,分别设出点。的横坐标，表达点厂的坐标，进而得出方程，求解即可.

【解答】（1）解：・・・C（8,0）、B（0,6）是矩形ABOC的两个顶点，

・・・A8=OC=8,AC=(M=6,

AA(8,6),

•.•点。是AB的中点,

AD(4,6),

・M=8X3=24,

当x=8H寸，y=3,

：，E(8,3),

故答案为:24,(8,3)；

(2)证明：设点。的横坐标为〃?,

・••点。的坐标为(m,6),

••k—6m9

・•・反比例函数的解析式为：

X

・••点E的坐标为(8,创)，

4

，AQ=8-/n,AE=AC-CE=6-至=」(8F)

44

..AB=_8=_4AD^(8-m)

,AC6"1'AE3(8-m)可

4

.AB_ADpi।AD_AE

e，ACAE'、AB=AC'

：.BC//DEx

(3)解：根据题意可知，需要分两种情况：

①当点尸在直线4B上方时，如图，过点。作。GLx•轴于点G,过点尸作五M_LQG于点M,

:・NOGD=NDMF=90",

VZODF=90°,

Z.ZODG+ZDOG=ZODG^ZFDM=90°,

：,/DOG=/FDM,

:.△ODGs^DFM,

：.OD：DF=OG：DM=DG：FM,

VtanZDOF=—,

3

：,DFt0/)=1：3,

AOD：DF=0G：DM=DG：FM=3,

YDG=0B=6,

：,FM=2,

设点。的横坐标为z,

则0G=i,

工，

3

：.D(t,6),F(r-2,6+工),

3

A6z=(r-2)(6+工)，

3

解得尸1+技（负值舍去）.

即此时点。的横坐标为：1+J防.

②当点尸在直线A8下方时，如图，过点。作。G_Lx轴于点G,过点尸作FNLAB于点N,

：,/OBD=/DNF=90°,

VZODF=90°,

ZODB+ZDOI3=ZODB+ZFDN=9Q°,

・•・/D（）B=NFDN,

，丛ODBS/\DFN,

：.0D：DF=OB：DN=DB：FN,

VtanZDOF=-l,

3

：.DF：OD=\：3,

：・OD：DF=OB：DN=DB：FN=3,

•：OB=6,

:・FN=2,

设点D的横坐标为n,

则BD=n,

:,FN=d

3

AD（n,6）,F（〃+2,6-—：,

3

；.6〃=（77+2）（6--）,

3

解得〃=-1+V37（负值舍去）.

即此时点。的横坐标为：

综上，满足题意的点。的横坐标为：i+技或

【例4】（2022•巴南区自主招生）已知在平面直角坐标系中，二次函数尸尹侬+C与x轴交于小B两点

（点A在点8左侧），与），轴交于点C,A（-4,0）,B（12,0）,C（0,-6）.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）如图I,点产为直线下方抛物线上的一个动点，过点尸作/D〃了轴交直线于点。，过点?

作PE〃BC交x轴于点E,求PD^3E的最大值及此时点P的坐标：

2

（3）如图2,将抛物线沿射线C8方向平移3遥个单位，得到新抛物线八点尸为V的对称轴上任意一

点，若以点8、C、尸为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出符合条件的点尸的坐标.

【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)设尸"—r-r-6),贝U。(/,—z-6),则以)=-2尸+台.，求出直线尸E的解析式为y=2x+」

828228

r+^-t-6,则E(-2»-3/+12,0),可求BE=--r-3r,所以PD+^-BE=-(/-6)2+

24428

9(1W2)即可求当/=6时，亚PE有最大值里士!返)，此时尸(6,-至)；

4242

(3)求出平移后的抛物线解析式为尸卷(X-IU)2-3,设〃(10,〃)，8(12,U),C(U,-0),则

B产=4+后,BC2=IS(),FC2=1(X)+(/?+6)2,分三种情况讨论当4b为斜边时，F(10,-26)；当BC

为斜边时，尸(10,-3+&5)或(1(),-3-V29)：当CF为斜边时，100+(〃+6尸(10,4).

【解答】解：(1)将A(-4,0),C(0,-6)代入)，=▲/+&+0，

8

(2)设BC的直线解析式为)，=h+4

，

•.•412k+b=09

c=-6

[b=1

解得，2,

c=-6

•**v=-6,

2

设尸(，，—r-/-6),则。(/,—/-6),

82

APD=-—r+—/,

82

设直线PE的解析式为y=-lx+/n,

将点。代入，可得用-6,

：.y=—x+—r+—t-6,

282

：.E(-A/2-3/+I2,0),

4

:.BE=--z2-3/,

4

亚/法=--M+旦+返(一口_3/)=-1十我(/-6)2+9(1+旄),

2822484

・••当/=6时，PD+返PE有最大值且止返)，

24

此时尸(6,-—)；

2

(3)设抛物线沿x轴正方向平移2〃?个单位，则沿y轴正方向平移〃，个单位，

解得用=3,

・•・平移后的抛物线解析式为y=[(170)2-5,

o

・•・抛物线的对称轴为直线工=㈤，

设尸(10,〃)，B(12,0),C(0,-6),

・・-8卢=4+〃2,8c2=180,3=100+(n+6)2,

当8户为斜边时，100+(n+6)2+180=4+〃2,

解得n=-26,

AF(10,-26)；

当4c为斜边时，180=100+(n+6)2+4+n2,

解得〃=-3+J药或〃=-3-^29»

：,F(10,-3+V^)或(10，-3-V29)；

当C”为斜边时，100+(〃+6)2=180+4+/，，

解得〃=4,

:.F(10,4)；

综上所述：尸点坐标为(10,-26)或(10,-3+幅)或(10,・3・物)或(10,4〕.

、

培优训练

一.解答题

1.（2022秋•南关区校级月考）在RtAABC中，ZACB=90a,NA=30°,BC=2,动点小从点A出发沿

折线AC-CB向终点B运动，在AC上的速度为每秒立个单位长度，在8C上的速度为每秒1个单位长

度.当点产不与点C重合时，以。尸为边在点C的右上方作等边△C/Q,设点尸的运动时间为1（秒）,

点尸到A8的距离为人.

（1）AC=」«_：

（2）求人与/的函数关系式，并写出，的取值范围；

（3）当点尸在AC边上运动，且点Q到4B的距离为2力时，求/的值；

2

（4）取A8边的中点。，连结P。、CD,当△FCQ是直角三角形时，直接写出/的值.

【分析】（1）根据含30°的直角三角形和勾股定理可得4。的长；

（2）分两种情况：尸在AC上和上，根据含30°角的直角三角形和勾股定理可得〃与，的函数关系

式；

（3）分两种情况：设直线CQ与43交于点P,①如图3,点夕在CQ上，②如图4,点。在CQ的延长

线上，根据等边三角形的边长2近-«/列等式，解出可得答案：

（4）分三种情况：当尸在AC上时，①如图5,ZCFD=90a,②如图6,ZCDF=90°,当产在8C

上时，③如图7,/OFC=90°,根据含30°角的直角三角形的性质可得答案.

【解答】解：（1）VZACB=90°,NA=30°,BC=2,

；・AB=2BC=4,

二.八C=^42-22=V16-4=2V3，

故答案为：273：

（2）分两种情况:

过点F作FHLAB于H,

①当0W/V2时，点尸在边AC上，如图1,

B

图1

由题意得：AF=4St,

RtaAF“中，NA=30°,

：.FH=h=^-AF=^-tx

22

如图2,

图2

由题意得：CF=i-2,

:.BF=BC-CF=2-（1-2）=4-/,

RtZ\3P'H中，N8PH=30°,

22

:・FH=h=y[^BH=r（4-t）=-返厂2V3;

22

g"t（0<t<2）

综上，〃与f的函数关系式为:h=

-t-2^3（2<t<4）

乙

（3）分两种情况:

设直线CQ与A8交于点P,

①如图3,点。在C。上,

B

图3

「△C/Q是等边三角形，

AZFCQ=ZQ=ZCFQ=60°,

VZACB=90°，

：,ZBCQ=30°,

VZB=60°,

/.ZCPE=30°+60°=90°,

：.ZPEQ=30°,

•・•当点尸在AC边上运动，且点。到/W的距离为得。时，即。。=斗,

乙乙

・•・QE=2PQ=h,

VZCFC=60°,ZA=30°,

.•・NA=NA£^=3()0,

:.EF=AF=«i,

•：CF=FQ=243-43t,

2V3-^J_3t=y/3t+/i=y[3t+^-t,

2

由①知：ZBPC=90°,N8CP=30°,

・•・CP=gBP=g,

*：CP=CQ+PQ,

・..后2好仔率,

综上，/的值是匹或'；

53

（4）分三种情况：

图5

丁。是4B的中点，NAC8=90°,

：.CD=AD=2,

：.CF=AF=^3,

:1；

图6

VZDCF=30°,

.DF=2V3rCF=2DF=^^-,

33

AAF=2V3-

33

此时f=2

3

③如图7,ZDFC=90°,

B

D

图7

VZCDF=30°,

：,CF=—CD=\,

2

此时f=2+l=3；

综上，/的值是1或2或3.

3

2.（2021•罗湖区校级模拟）如图I,已知抛物线y=』+公+，经过原点。，它的对称轴是直线工=2,动点尸

从抛物线的顶点4出发，在对称轴上以每秒I个单位的速度向上运动，设动点尸运动的时间为1秒，连

接。尸并延长交抛物线于点8,连接04,AB.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当AAOB为直角三角形时，求/的值；

（3）如图2,为AAOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请弥探究：在1

W/W5时，求点历经过的路径长度.

【分析】（1）由抛物线产/+加+c,经过原点。且对称轴是直线尸2,知c=0,--1=2,求得人的值即

可得出答案；

（2）设点B（小a2-4a）,由-4x=（x-2）2-4知A（2,-4）,据此得出（?A2=22+42=20.

OI32=a2+（a24a）2.AB2=（a2）2+（a24a+4）2,再分NOA4=90°、NAO〃=90°和

90°三种情况，根据勾股定理列出关于〃的方程，解之求得〃的值，继而求出直线08解析式，求出x

=2时)，的值，从而求得,的值；

(3)由OM为△AO3的外接圆知点M在线段04的中垂线上，从而得出1W/W5时，点M的运动路径

是在线段0A中垂线上的一条线段，再结合(2)中的情况求出点M的位置，根据两点间的距离公式求

解可得.

【解答】解：(1)•・•抛物线,、，=/+公+c经过原点且对称轴是直线x=2,

.・.c=0,■上=2,

2

则〃=-4、(?=(),

・••抛物线解析式为)=7-4%；

(2)设点、B(小a2-4a),

-4x=(x-2)2-4,

・••点4(2,-4),

则0屋=22+42=20、OB1=a1^(J-4〃)2>AB2=(d-2)2+Ccr-4«+4)2,

①若0炉=042+432,则/+(滔・4a)2=20+(«-2)2+(J-4a+4)2,

解得。=2(舍)或"=旦，

2

：.D(―,—),

24

则直线解析式为y=

2

当x=2时，)，=-3,BPP(2,・3),

：.t=(-3+4)4-1=1；

②若442=042+042,则(4-2)2+(/-加+42=20+/+(a2-4a)2,

解得〃=0(舍)或

2

：.B(9,9),

24

则直线解析式为

当x=2时，)，=1,即P(2,1),

/.；=[1-(-4)]4-1=5；

③若OA2=A132+OB2,贝1]20=(.a2)2+(a24a+4)2+a2+(a24。)2

整理，得：a3-Sa2+2\a-18=0,

J-3〃2-5j+l5a+6a-18=0,

a2(a-3)-5a(«-3)+6(a-3)=0,

(a-3)(a2-5a+6)=0»

(a-3)2(fl-2)=0,

则a=3或a=2(舍)，

：.B(3,-3),

:.直线OB解析式为y=-x,

当x=2时，y=-2,即。(2,-2),

：.f=[-2-(-4)]4-1=2；

综上，当AAOB为直角三角形时，，的值为1或2或5.

(3)TOM为AAOB的外接圆,

・••点M在线段的中垂线上,

・••当1W/W5时，点M的运动路径是在线段04中垂线上的一条线段,

由(2)知NQ4B=90°,

・•・此时RtAOAB的外接圆圆心M是OB的中点,

,:B(&,-母,

24

：,M(―,-身;

48

・•・此时Rt/\OAB的外接圆圆心M是AB的中点,

QQ

'：H(—,，)、A(2,-4),

24

・・・T，-I).

8，

・•・此时RtZXOAB的外接圆圆心"是0A的中点,

(2,-4),

AM(1,-2)；

则点M经过的路径长度为J号-l)2+(T+2)2+J(l^)2+O2,)2=^+^"=^".

3.(2012•芜湖县校级自主招生)学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长

的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.

类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的

正对(sad).如图，在△48C中，AB=AC,顶角4的正对记作sw/A,这时5/以="!^_坐.容易知

腰AB

道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯〜确定的.

根据上述对角的正对定义，解下列问题：

(1)sadbO°的值为8

A.—B.1C.返O.2

22

(2)对于0°VAV180°,NA的正对值的取值范围是0<sadAV2.

【分析】(I)根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再杈据正对的定

义解答：

(2)求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；

(3)作出直角△A8C,构造等腰三角形ACD,根据正对的定义解答.

【解答】解：(1)根据正对定义，

当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°,

则三角形为等边三角形，

则sad60°=A=1.

故选B.

(2)当NA接近0°时，soda接近0,

当乙4接近18()。时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故s〃da接近2.

于是sadA的取值范围是OVsadAV2.

故答案为0VsadAV2.

(3)如图，在△A8C中，NAC3=90°,sinZA=—.

5

在48上取点。，使AQ=AC,

作。”_LAC,“为垂足，令BC=3k,AB=5k,

则AD=AC=4(5k)2-(3k)2=4左,

又•・•在△A。“中，ZAHD=9Q°,sinZA=—.

5

：.DH=ADsinZA=—k,^=VAD2-DH2=—

55

则在△CO"中，CH=AC-AH=-^k,。。=赤石瀛=生画■匕

55

于是在△ACO中，AD=AC=4k,CD=k.

5

由正对的定义可得：“必4=三=叵,即5%故=逗.

AT55

4.（2022秋•法库县期中）如图，己知函数），=X+1的图象与），轴交于点A,一次函数），=履+6的图象经过点

B（0,-1）,与x轴以及），="1的图象分别交于点C,。，且点。的坐标为（1,〃）.

（1）则（=3,h=-1,n=2：

（2）若函数的值大于函数y=x+l的函数值，则x的取值范围是A>1；

（3）求四边形AOCO的面积；

（4）在x轴上是否存在点P,使得以点P,C,。为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐

标.

【分析】（1）对于直线y=x+l,令x=0求出了的值，确定出A的坐标，把4坐标代入），=k+〃中求出方

的值，再将D坐标代入），=x+l求出〃的值，进而将D坐标代入求出k的值即可；

（2）由两•次函数解析式，结合图象确定出x的范围即可；

（3）过。作。E垂直于x轴，如图1所示，四边形AOCD面积等于梯形AOEO面积减去三角形。。£面

积，求出即可；

（4）在x轴上存在点P,使得以点P,C,。为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：

①OP'±DC：®DPLCP,分别求出P坐标即可.

【解答】解：（1）对于直线y=x+l,令X=0,得到y=l,即A（0,I）,

把3（（）,-1）代入旷=履+〃中，得：b=-1,

把。（1,〃）代入y=x+l得：〃=2,即。（1,2）,

把。坐标代入1中得：2=女・1,即2=3,

故答案为：3,-1,2；

（2）:一次函数y=x+1与y=3x-1交于。（1,2）,

・•・由图象得：函数y=6+方的函数值大于函数y=x+l的函数值时x的取值范围是x>l：

故答案为：x>l；

（3）过。作。E_Lx轴，垂足为£如图1所示，

11119?9

；・S四边彩八。。。=5梯形AO£O-SaCD£=3(4O+OE)・OE-±CE・Z)E=上X(1+2)XI-A-^X2=-

2222X323

=昱

6'

(4)如图2所示，设尸(p,0),

APC1=(p--)2,

3

PD1=21+(/?-1)2,

2

CD2=2+(1-A)2,

3

①当PO_LQC时，P'C2=P'D2+CD2,

・•.(〃・_1)2=22+(/?-1)2+22+(1--)2,

33

:・p=7,

：.P'(7,0)；

②当DP±CP时，由Q横坐标为1.得到P横坐标为1,

•・・P在x轴上,

的坐标为(1，0),

综上，P的坐标为(1,0)或(7,0).

5.(2022秋•同安区期中)如图，直线y二加x-2分别与x轴、)，轴交于A点与6点，函数ySx2+2nx+n

的图象经过B点.点P是抛物线上的一个动点，过点尸作不釉的垂线PQ,过点B作于点。.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)连接人。，当△A8O为直角三角形时，求的长；

(3)将△4QP绕点3逆时针旋转45°,得到7P,当点P的对应点P落在坐标轴上时，请求出点。

的坐标.

【分析】（1）先确定出点4、B的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）当点P在对称轴左侧时，△A8O不可能为直角三角形，当点P在对称轴右侧时，NA8D为锐角，

分两种情况：①当/418=90,时，②当//以。=90°时，根据直角三角形的性质分别求解即可；

（3）分点P落在x轴和y轴两种情况计算即可.①当点P'落在x轴上时，过点P作轴，垂足为

P',过点。作。有_Ly轴，垂足为立交P'E于点E,先利用互余和旋转角相等得出是等腰直

角三角形，根据PE=OF=OB+BF,建立方程即可；②根据等腰直角三角形的性质即可得出结论.

【解答】解：（1）•・•直线尸血「2分别与x轴、），轴交于A点与8点，

（匹0）,B（0,-2）,

•・•抛物线y=&/+2以+〃经过点B,

n=-2,

.•.抛物线解析式为y=J5%2-4x-2；

（2）当点P在对称轴左侧时，△A3。不可能为直角三角形，当点P在对称轴右侧时，NABD为锐角,

分两种情况：

：.BD=yJ~2t

BD1=a2,

M^=(«-V2)2+22,

在RtZkAA。中，AB2+AD2=BD2,

/.6+(a-V2)2+22=a2,解得

:.BD=3近;

综上所述，当△A3。为直角三角形时，8。的长为'历或3祗；

(3)①当点。落在x轴上时，过点产作产E_Lr轴，垂足为P',过点。，作。户_Ly轴，垂足为凡交P'

E于点E,

设点P的坐标为(m,^J~2m2-4/zz-2),

.\PD=^/2m2-4m-2-(-2)=V2w2~4/〃，

•••PQ_Lx轴，BDLPD,

••・3D_Ly轴，

由旋转得NQa)'=45°,P'D'=PD=42nr-4m,

：,ZBD,F=ZDBD,=45°,

・・・NPO'E=45°,

・•・△〃£>'£：是等腰直角三角形，

：.P'七=亚尸D'=亚（V2w2-4w）,

22

同理4/；=近4。’=-亚〃?，

22

*：P'E=OF=OB+BF,

.鼻（V2，〃2-4〃？）=-亚加+2,

22

整理得2〃?2-34=0,

解得m=-返■或2V2（舍去），

_2

当m=-4时，加川-4〃？-2=至*-2,

・•・点月的坐标为（-亚，至亚-2）；

22

②当点尸落在y轴上时，如图,

过点。'作O'轴，交BD于M,过点〃作PNJ_y轴，交M。，的延长线于点N,

设点尸的坐标为(〃,V2«2-4n-2),

：.PD=y[2n2-4n-2-(-2)=&£-4〃,

由旋转得NQ8P=N。'BP'=45°,

•••△PQ3是等腰直角三角形,

:.PD=BD,

n=yj~2,ir4〃,

解得加=品巨或0（舍去），

2

当用=品巨时，&〃2_4〃_2=-^叵-2,

22

・••点P的坐标为（包2,至坐-2）；

22

综上所述，点P的坐标为（-返■・品巨-2）或反巨，殳巨-2）.

2222

6.（2U22秋•禅城区校级期中）如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=3x+6分别与x轴和y轴交于点

C和点8,已知4（6,0）,

（1）写出点〃，点C的坐标和△人/，（？的面积；

（2）直线/经过A、B两点,求直线A4的解析式；

（3）点。是在直线上的动点，是否存在动点D,使得£入“八=4-5八2「？若存在，求出点。的坐

标；若不存在，请说明理由；

（4）如图2,尸为4点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、8P为腰在第一象限内作等腰直角三角

形△BPQ,连接。并延长交y轴于点K.当尸点运动时,K点的位置是否发生变化？如果不变，请求

出它的坐标；如果变化，请说明理由.

咻v

图1图2

【分析】（1）△A4C的面积=2XACXO4,即可求解：

2

（2）用待定系数法即可求解；

⑶由SAo=fs&BC得到加3网即可求解;

（4）证明△台。。0△PHQ（AAS）,求出Q的坐标为（/+6,；）,进而求解.

【解答】解：（1）对于y=3x+6,令x=0,则y=6,故点3（0,6）,

令y=3x+6=0,解得：工=-2,故点C（・2,0）；

则ZX/IBC的面积=2XACXOB=2X（6+2）X6=24：

22

（2）设直线/W的表达式为（AKO）,

则俨+bR解得:fk=-l,

b=6Ib=6

故直线AB的表达式为y=-x+6：

（3）存在，理由：

*SAACD^2'SAABC,

・・.|），“=」4、词=3,即|x+6|=3,

2

解得：x=3或9,

故点。的坐标为（3,3）或（9,-3）；

（4）K点的位置不发生变化，理由：

设点尸的坐标为（/,0）,

过点Q作。HLr轴于点儿

•：NBPO+NQPH=90°,NPB0+N800=90°,

：,ZQPH=ZPBO,

在RSOP和RtAPHQ中，

rZQPH=ZPBO

NBOP=NQHP=90°，

BP=QP

:.△BOP式MPHQCAAS）,

:,PH=B0=6,QH=OP=t,

则点Q的坐标为（/+6,/）,

设直线AQ的表达式为y=〃Lx+〃，

财ft=m（t+6）%,解得（m=l,

10=6m+nln=-6

故点K的坐标为（0,-6）.

7.（2022秋•工业园区校级期中）如图，已知点。是第一象限内二次函数），=-/+2必+3〃?21〃〉0）图象

上一点，该二次函数图象与x轴交于4、8两点（A在点4的左侧），与），轴交于点C,连接AC.

（1）线段A3的长为4〃？（用含用的代数式表示）；

（2）当〃?=1时，点。与C点关于二次函数图象对称轴对称，若AQ平分NCAP,求点尸的坐标；

（3）若△ABC是直角三角形，点E是4P与BC的交点，则鲤■的最小值是多少？直接写出答案即可.

PE

【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可；

（2）先求出N48C=NOA8=45°,可得8C_LAO,再由△AOK和△OQK是等腰直角三角形，确定点

。的坐标，利用点。的坐标求出C点关于A。的对称点G的坐标，直线AG与抛物线的交点即为P点;

（3）过点P作PQ〃y轴交4c于点Q,过点A作AF〃歹轴交8C于点尸，设夕（/,-P+2制+3〃尸），则

F（-in,5/n2）,Q（r,-〃〃+3"?），由31=更，当尸Q最大时，丝有最小值，再由PQ=

PEPQPE

-（l旦〃?）2+9加2,当f=W〃?时，PQ有最大值9席，即可求延的最小值是

2424PE9

【解答】解：（1）令y=0,则・7+2〃U+3〃|2=O,

.\x\+x2=2m,x]*x2=-3机2,

=4/n,

（X]+>2）2-4X1•x2

故答案为:4〃?；

⑵当阳=1时，尸・『+2x+3=-(A-1)2+4,

・••抛物线的对称轴为直线x=l，

令x=0,则y=3,

AC(0,3),

•・•点。与。点关于二次函数图象对称轴对称，

：，D(2,3),

令y=0,则・f+2r+3=0,

解得x=-1或x=3,

・・・A(-1,0),B(3,0),

/.OB=OC=3,

・・・NA8C=45°,

过点D作Z)〃J_x轴交于点〃，

:.DH=3,AH=3,

・・・ND4H=45°,

・•・BCLAD,

'：AO=\,

AOK=1,

；・CK=2,

•••△CQK是等腰直角三角形，

・・・Q(1,2),

・・・C点关于AD的对称点G(2,1),

••・NCAQ=NQAG,

：,AD平分NC4G,

设直线AP的解析式为)，="+儿

,f-k+b=0

l2k+b=f

［孱

解得；

吟

y=-X2+2X+3

联立方程组，ii,

ly"3X+3

8

解得（x=T（舍）或xw

y=0.ll,

y~

：.P(&,—)；

39

(3)令x=0,贝i]y=3〃P,

AC(0,3w2),

令y=0,贝ij-X2+2WA+3W2=0,

解得x=-m或x=