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文档简介

高等教育出版社建筑工程测量（第三版）

李仲

4.4全站仪

第五章测量误差的基本知识第三节观测值的算术平均值及其中误差

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

一、算术平均值设对某一个量进行n次等精度观测，得观测值为l1、l2、…ln，则该量的最或然值就是算术平均值x，即下面将说明算术平均值为什么是最或然值。若设观测量的真值为X，则观测值的真误差△1，△2，…，△n可由真值X与观（5.5）

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

测值l1，l2，…，ln算出，即：:将上列等式相加并除以n，得：根据偶然误差第四特性：

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

所以 才最接近于真值X。但实际上对某量观测的次数是有限的，这样由观测值算出的算术平均值虽不等于真值X，但比所有观测值都更为可靠。因此，人们总是把算术平均值看作最或然值。上式说明，只有当观测次数无限增多时，算术平均值x

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

二、算术平均值的中误差

同一量的等精度观测值的算术平均值，仍是一个有误差的量，其中误差以mx表示，则第四节将会证明：所以说算术平均值比观测值最为可靠。（5.6）

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

三、观测值的改正数

如前所述，当观测值的真误差为已知时，观测值的中误不知道的，因此，只有根据算术平均值与观测值之差，即最或然误差v（v=x－l），按下式来计算观测值的中误差，（5-7）

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

现将（5.7）式证明于下；按真误差和最或然误差的定义可以写出：

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

式（b）取总和得：[v]=nx－[l]所以[v]=0 （5.8）由于公式（5.8）通常作为计算检核用。由式（a）－式（b）得

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

△1=v1+(X－x)△2=v2+(X－x)……△n=vn+(X－x)将（c）式两边平方并相加得： [△△]=[vv]+n（X－x）2+2（X－x）[v]（C）因为 [v]=0

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

所以 [△△]=[vv]+n（X－x）2上式两边除以n，得式中（X－x）是算术平均值的真误差，该值无法求得，故常用算术平均值中误差代替，于是上式变成考虑公式（5.3）、（5.6），上式可写为：

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

化简整理得公式（5-7），即

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

【例5.2】设对线段AB丈量五次，其结果列于表5.4中。试求线段AB的算术平均值、算术平均值中误差及其相对误差。

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

因为：vi=x－li，

【解】：所以：v1=x－l1=121.351-121.361=-0.010mv2=x－l2=121.351-121.330=+0.021mv3=x－l3=121.351-121.344=+0.007mv4=x－l4=121.351-121.352=-0.001m

v5=x－l5=121.351-121.368=-0.017m

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

5.3

观测值的算术平均值及其中误差

【解】：

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