2025高考数学一轮复习-9.1-椭圆-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-9.1-椭圆-专项训练【A级基础巩固】1．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，0))，则m＝()A.9 B．4C.3 D．22．设椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝eq\r(3)e1，则a＝()A.eq\f(2\r(3),3) B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．eq\r(6)3．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)经过点(0，4)，离心率为eq\f(3,5)，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1 D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝14．“4＜k＜10”是“方程eq\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,10－k)＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上．若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝()A.1 B．2C.4 D．56．(多选)设椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是()A.|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(2)B.离心率e＝eq\f(\r(6),2)C.△PF1F2面积的最大值为eq\r(2)D.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq\r(2)＝0相切7．(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则()A.椭圆C的离心率为eq\f(\r(2),2)B.△PF1F2的周长为5C.∠F1PF2＜90°D.1≤|PF1|≤38．(多选)如图所示，一个底面半径为eq\r(2)的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则()A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为eq\f(\r(2),4)C.椭圆的方程可以为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－eq\r(2)9．若椭圆eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,3－k)＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是________．10．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．11．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq\f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是________．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，则eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝()A.eq\f(5,4) B．eq\f(5,2)C.5 D．eq\f(5,3)2．已知离心率为eq\f(\r(5),3)的椭圆C的方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞n＞0)，则eq\f(m＋n,m－n)＝()A.2 B．eq\f(12,5)C.eq\f(13,5) D．33．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的蒙日圆为C：x2＋y2＝eq\f(4,3)a2，则椭圆Γ的离心率为()A.eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),3)4．已知F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点，点P(x0，y0)为E上一动点，且|x0|≤1.若I为△PF1F2的内心，则△IF1F2面积的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),3)，\f(\r(6)－\r(2),2))) D．[eq\r(6)－eq\r(2)，3－eq\r(3)]5．(多选)已知曲线C：x2＋y2cosα＝1，α∈[0，π]，则下列结论正确的是()A.曲线C可能是圆，也可能是直线B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆C.当曲线C表示椭圆时，α越大，椭圆越圆D.当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为eq\r(2)6．(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，且tan∠BF1F2＝eq\r(15)，点P在C上，线段PF1与BF2交于Q，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF2,\s\up6(→))，则()A.椭圆C的离心率为eq\f(1,4)B.椭圆C上存在点K，使得KF1⊥KF2C.直线PF1的斜率为eq\f(\r(15),5)D.PF1平分∠BF1F27．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为2eq\r(3)，离心率为eq\f(\r(3),2)，则求椭圆C的标准方程为________；若点A(0，1)，点B在椭圆C上，则线段AB长度的最大值为________．8．椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．9．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于P，Q两点．若PF1⊥PF2，且eq\f(|PF2|,|PQ|)＝eq\f(5,12)，则椭圆C的离心率为________．10．已知A，B分别是椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，|PA|＝λ|PB|且满足∠PBA＝2∠PAB，则λ＝________．参考答案【A级基础巩固】1．解析：由题意得：m2＝25－42＝9.因为m>0，所以m＝3.答案：C2．解析：∵e2＝eq\r(3)e1，∴eeq\o\al(2,2)＝3eeq\o\al(2,1)，∴1－eq\f(1,4)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a2)))，解得a2＝eq\f(4,3).又a＞1，∴a＝eq\f(2\r(3),3).答案：A3．解析：依题意b＝4，又eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，且a2＝b2＋c2，∴a＝5，c＝3，故椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案：D4．解析：方程eq\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,10－k)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－4＞0，10－k＞0，10－k＞k－4，))解得4＜k＜7，故“4＜k＜10”是“方程eq\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,10－k)＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．答案：B5．解析：法一：由题意知，a2＝5，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝4，∴c＝2，则|F1F2|＝2c＝4.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(5)，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝16，即(2eq\r(5))2－2|PF1||PF2|＝16，得|PF1||PF2|＝2.法二：由题意可知a2＝5，b2＝1，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△PF1F2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)＝1.又S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝2.答案：B6．解析：对于A选项，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，所以A选项正确．对于B选项，依题意a＝eq\r(2)，b＝1，c＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以B选项错误．对于C选项，|F1F2|＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，为eq\f(1,2)·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误．对于D选项，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－eq\r(2)＝0的距离为eq\f(\r(2),\r(2))＝1，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq\r(2)＝0相切，所以D选项正确．答案：AD7．解析：∵椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，∴a2＝4，b2＝3，∴c2＝a2－b2＝1，即c＝1，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故A不正确；△PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，故B不正确；在△PF1F2中，当P点移动到椭圆C的短轴端点处时，∠F1PF2最大，由余弦定理可得，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(a2＋a2－4c2,2a2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝60°＜90°，故C正确；∵a－c≤|PF1|≤a＋c，∴1≤|PF1|≤3，故D正确．答案：CD8．解析：圆柱的底面半径是eq\r(2)，直径是2eq\r(2)，所以椭圆的长轴长2a＝eq\f(2\r(2),cos45°)＝4，a＝2，短轴长2b＝2eq\r(2)，b＝eq\r(2)，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(2)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，建立适当的坐标系，椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－eq\r(2).答案：ACD9．解析：因为椭圆eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,3－k)＝1的焦点在y轴上，所以3－k＞k－1＞0，解得1＜k＜2.答案：(1，2)10．解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＝4c2，))所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3.答案：311．解析：取椭圆的左焦点F1，连接AF1，BF1(图略).由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形，∴|AF|＋|BF|＝|AF1|＋|AF|＝2a＝4，∴a＝2.不妨设M(0，b)，则eq\f(|3×0－4b|,\r(32＋42))≥eq\f(4,5)，∴b≥1，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))≤eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).又0<e<1，∴0<e≤eq\f(\r(3),2).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．解析：在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1中，a＝5，b＝3，则c＝eq\r(a2－b2)＝4，故点A，C为椭圆的焦点，因此，eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(|BC|＋|AB|,|AC|)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(5,4).答案：A2．解析：由题意，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(m－n),\r(m))＝eq\f(\r(5),3)，即eq\f(m－n,m)＝eq\f(5,9)，可得m＝eq\f(9,4)n，则eq\f(m＋n,m－n)＝eq\f(\f(9,4)n＋n,\f(9,4)n－n)＝eq\f(13,5).答案：C3．解析：如图，AC，BC分别与椭圆相切，显然AC⊥BC.所以点C(a，b)在蒙日圆x2＋y2＝eq\f(4,3)a2上，所以a2＋b2＝eq\f(4,3)a2，所以a2＝3b2，即eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以椭圆Γ的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3).答案：D4．解析：由椭圆的方程可得a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，c＝1，设内切圆的半径为r，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)×2c·|y0|＝eq\f(1,2)(2a＋2c)·r，可得r＝eq\f(|y0|,\r(3)＋1)＝eq\f(\r(3)－1,2)|y0|，而eq\f(xeq\o\al(2,0),3)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),2)＝1，所以|y0|＝eq\r(2)·eq\r(1－\f(xeq\o\al(2,0),3))，所以r＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)·eq\r(1－\f(xeq\o\al(2,0),3))，所以S△IF1F2＝eq\f(1,2)·2c·r＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(6)－\r(2),2)×eq\r(1－\f(xeq\o\al(2,0),3))＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)·eq\r(1－\f(xeq\o\al(2,0),3)).因为|x0|≤1，所以S△IF1F2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)×\f(\r(6),3)，\f(\r(6)－\r(2),2)))，即S△IF1F2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),3)，\f(\r(6)－\r(2),2))).答案：C5．解析：对于A，当cosα＝0时，曲线C的方程为x2＝1，可得x＝±1，此时曲线C为两条直线；当cosα＝1时，曲线C的方程为x2＋y2＝1，此时曲线C是一个圆，故A正确．对于B，当0＜cosα＜1时，eq\f(1,cosα)＞1，曲线C的方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1，此时曲线C是焦点在y轴上的椭圆，故B正确．对于C，当曲线表示椭圆时，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosα∈(0，1)，椭圆C：x2＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1的焦点在y轴上，a＝eq\r(\f(1,cosα))，b＝1，当a，b越接近时，椭圆越圆，而α越大，cosα越小，则a越大，a与b相差越大，则椭圆越扁，故C错误．对于D，当－1≤cosα＜0时，曲线C的方程为x2－eq\f(y2,－\f(1,cosα))＝1，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，此时离心率为e＝eq\r(1－\f(1,cosα))，由－1≤cosα＜0，可得e≥eq\r(2)，即它的离心率有最小值，且最小值为eq\r(2)，故D正确．答案：ABD6．解析：由题意，知F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，b)，所以tan∠BF1F2＝eq\f(|OB|,|OF1|)＝eq\f(b,c)＝eq\r(15)，所以b＝eq\r(15)c，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝4c，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,16c2)＋eq\f(y2,15c2)＝1.因为eq\o(BQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF2,\s\up6(→))，所以Q为线段BF2上靠近点F2的一个三等分点，所以Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2c,3)，\f(\r(15),3)c)).对于A，椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，A正确；对于B，设K(x0，y0)，则eq\f(xeq\o\al(2,0),16c2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),15c2)＝1，所以yeq\o\al(2,0)＝15c2－eq\f(15xeq\o\al(2,0),16).因为eq\o(KF1,\s\up6(→))·eq\o(KF2,\s\up6(→))＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－c2＝eq\f(xeq\o\al(2,0),16)＋14c2＞0，B不正确；对于C，kPF1＝kQF1＝eq\f(\f(\r(15),3)c－0,\f(2c,3)－(－c))＝eq\f(\r(15),5)，C正确；对于D，直线BF1的方程为y＝eq\r(15)(x＋c)，即eq\r(15)x－y＋eq\r(15)c＝0，点Q到直线BF1的距离d1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(15)×\f(2c,3)－\f(\r(15),3)c＋\r(15)c)),\r((\r(15))2＋(－1)2))＝eq\f(\r(15)c,3).又点Q到直线F1F2的距离d2＝yQ＝eq\f(\r(15),3)c，所以d1＝d2，PF1平分∠BF1F2，D正确．答案：ACD7．解析：依题意得2c＝2eq\r(3)，c＝eq\r(3)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),a)＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝2，所以b＝eq\r(a2－c2)＝1，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.设B(x，y)，则eq\f(x2,4)＋y2＝1，得|AB|2＝x2＋(y－1)2＝4－4y2＋y2－2y＋1＝－3y2－2y＋5＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(16,3)，其中－1≤y＜1.所以当y＝－eq\f(1,3)时，|AB|max＝eq\f(4\r(3),3).答案：eq\f(x2,4)＋y2＝1eq\f(4\r(3),3)8．解析：由椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1可知左顶点A1的坐标为(－2，0)，顶点A2的坐标为(2，0)，设P(x0，y0)(x0≠±2)，则eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1，得eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4).∵kPA1＝eq\f(y0,x0＋2)，kPA2＝eq\f(y0,x0－2)，∴kPA1·kPA2＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4).又∵－2≤kPA2≤－1，∴－2≤－eq\f(3,4kPA1)≤－1，解得eq\f(3,8)≤kPA1≤eq\f(3,4)，即PA1斜率的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\