2025高考数学一轮复习-7.8-空间距离问题-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-7.8-空间距离问题-专项训练【A级基础巩固】1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为()A．10 B．3C．eq\f(8,3) D．eq\f(10,3)2．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为()A．eq\f(2\r(2),3) B．1C．eq\r(2) D．2eq\r(2)3．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为()A．eq\r(2) B．2C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(3\r(2),2)4．已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(－1，－1，2)，点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点间的最短距离是()A．eq\r(6) B．eq\f(\r(34),2)C．3 D．eq\f(\r(17),2)5．设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．6．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若BB1＝2eq\r(2)，AB＝2，则点C到直线AB1的距离为________．7．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离．8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)AA1＝2，BC1＝2eq\r(3)，M为线段AB上的动点．(1)证明：BC1⊥CM；(2)若E为A1C1的中点，求点A1到平面BCE的距离．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．在棱长均为a的正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为()A．eq\f(\r(2),4)a B．eq\f(\r(2),8)aC．eq\f(3\r(2),4)a D．eq\f(\r(2),2)a2．已知△ABC是面积为eq\f(9\r(3),4)的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A．eq\r(3) B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)3．已知棱长为1的正方体ABCD­EFGH，若点P在正方体内部且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，则点P到AB的距离为________．4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E是线段AB的中点．若P是线段BC上的动点，则点P到平面B1DE的距离的取值范围为________．5．在如图所示多面体中，平面EDCF⊥平面ABCD，EDCF是面积为eq\r(3)的矩形，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2.(1)证明：BD⊥EA；(2)求点D到平面ABFE的距离．参考答案【A级基础巩固】1．解析：eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，2，－4)，点P到平面α的距离d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq\f(10,3).答案：D2．解析：因为A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，2，－2)，所以点A到直线BC的距离为d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|eq\r(1－(cos〈\o(AB,\s\up6(→))，\o(BC,\s\up6(→))〉)2)＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))＝1×eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,1×3)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(2),3).答案：A3．解析：由正方体性质可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离，连接A1C1，交B1D1于O1(图略)，A1O1的长即为所求，由题意可得A1O1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\r(2).答案：A4．解析：因为点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，所以可设点B(m，1－m，0)，由空间两点之间的距离公式得，|AB|＝eq\r((－1－m)2＋[－1－(1－m)]2＋(2－0)2)＝eq\r(2m2－2m＋9)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(17,2))，所以当m＝eq\f(1,2)时，|AB|的最小值为eq\r(\f(17,2))＝eq\f(\r(34),2)，即A，B两点间的最短距离是eq\f(\r(34),2).答案：B5．解析：如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，所以eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2，0，2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2z＝0，,2x＋2y＝0，))令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，所以点D1到平面A1BD的距离d＝eq\f(|\o(D1A1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)6．解析：设AC的中点为O，建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B1(0，eq\r(3)，2eq\r(2))，C(－1，0，0)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，2eq\r(2))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，所以点C到直线AB1的距离为eq\r(\o(AC2,\s\up6(→))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(AB1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB1,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2\r(3))))\s\up12(2))＝eq\f(\r(33),3).答案：eq\f(\r(33),3)7．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2eq\r(3)，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4).∵N是CC1的中点，∴N(0，4，2).(1)eq\o(AN,\s\up6(→))＝(0，4，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，2，0)，则|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4.设点N到直线AB的距离为d1，则d1＝eq\r(20－4)＝4.(2)设平面ABN的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝2\r(3)x＋2y＝0，,n·\o(AN,\s\up6(→))＝4y＋2z＝0，))令z＝2，则y＝－1，x＝eq\f(\r(3),3)，即n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－1，2)).易知eq\o(C1N,\s\up6(→))＝(0，0，－2)，设点C1到平面ABN的距离为d2，则d2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(C1N,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(－4,4\r(3)),3)))＝eq\r(3).8．(1)证明：因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C，所以AB⊥C1B.在△BCC1中，BC＝2，BC1＝2eq\r(3)，CC1＝AA1＝4，所以BC2＋BCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)，所以CB⊥C1B.因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以C1B⊥平面ABC.又因为CM⊂平面ABC，所以C1B⊥CM.(2)解：由(1)知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0，0，0)，C(2，0，0)，C1(0，2eq\r(3)，0)，A1(－2，2eq\r(3)，4)，E(－1，2eq\r(3)，2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1，2eq\r(3)，2).设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝0，,－x＋2\r(3)y＋2z＝0.))令y＝eq\r(3)，则n＝(0，eq\r(3)，－3).又因为eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(4，－2eq\r(3)，－4)，故点A1到平面BCE的距离d＝eq\f(|0×4＋(－2\r(3))×\r(3)＋(－4)×(－3)|,2\r(3))＝eq\r(3).INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．解析：以A为空间直角坐标原点，以垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．由ABC­A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，故A(0，0，0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)，\f(a,2)，a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a，\f(a,2)))，C1(0，a，a)，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)，\f(a,2)，a))，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(a,2)))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a，\f(a,2)))，设平面AB1D的法向量是n＝(x，y，z)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB1,\s\up6(→))＝\f(\r(3)a,2)x＋\f(a,2)y＋az＝0，,n·\o(AD,\s\up6(→))＝ay＋\f(a,2)z＝0，))取n＝(eq\r(3)，1，－2)，故点C1到平面AB1D的距离d＝eq\f(|\o(DC1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(a,\r(3＋1＋4))＝eq\f(\r(2),4)a.答案：A2．解析：如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，则O1为等边三角形ABC的中心．设△ABC的边长为a，则eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(9\r(3),4)，解得a＝3，∴O1A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq\r(3).设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.在Rt△OO1A中，OO1＝eq\r(OA2－O1A2)＝1，即O到平面ABC的距离为1.答案：C3．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(1，0，0)＋eq\f(1,2)(0，1，0)＋eq\f(2,3)(0，0，1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量的模为eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4)，∴点P到AB的距离为eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)4．解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(2，1，0)，B1(2，2，2)，设P(a，2，0)(0≤a≤2)，则eq\o(DP,\s\up6(→))＝(a，2，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2，1，0)，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(2，2，2)，设平面B1DE的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(DE,\s\up6(→))·n＝0，,\o(DB1,\s\up6(→))·n＝0，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,2x＋2y＋2z＝0.))令x＝1，则y＝－2，z＝1，则n＝(1，－2，1).设点P到平面B1DE的距离为h，所以h＝eq\f(|\o(DP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|a－4|,\r(6))＝eq\f(\r(6),6)(4－a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))，所以点P到平面B1DE的距离的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(6),3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))5．(1)证明：因为平面EDCF⊥平面ABCD，且平面EDCF∩平面ABCD＝CD，ED⊥DC，ED⊂平面EDCF，所以ED⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD，所以ED⊥BD.在四边形ABCD中，作DM⊥AB