【名师一号】2020-2021学年高中数学新课标人教A版选修1-1双基限时练18(第三章)

双基限时练(十八)1．设f(x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,x)(x<0)，则f(x)的单调减区间为()A．(－∞，－2) B．(－2,0)C．(－∞，－eq\r(2)) D．(－eq\r(2)，0)解析f′(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－2,2x2)＝eq\f(x－\r(2)x＋\r(2),2x2)∵x<0，令f′(x)<0，得－eq\r(2)<x<0.故选D.答案D2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．是增函数 B．是减函数C．有最大值 D．有最小值解析f′(x)＝2－cosx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.答案A3．若函数f(x)＝ax＋eq\f(1,x)(a∈R)，则下列结论正确的是()A．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，函数f(x)为奇函数D．∃a∈R，函数f(x)为偶函数解析当a＝1时，函数f(x)在(0,1)上为减函数，A错；当a＝1时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，B错；D选项中的a不存在，故选C.答案C4．函数f(x)＝eq\f(x,1－x)的单调增区间是()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1)，(1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝(eq\f(x,1－x))′＝eq\f(1×1－x－x－1,1－x2)＝eq\f(1,1－x2)>0，∴f(x)的单调增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．答案C5．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为()A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析从f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，－1)(1，＋∞)是增函数，在(－1,1)是减函数，∴当x<－1，或x>1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0，∴x·f′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.答案A6．下列命题中正确的是________．①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对于任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0；②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；③若在(a，b)内的任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；④若x∈(a，b)，总有f′(x)<0，则在(a，b)内f(x)<0.解析①y＝x3在x∈(－∞，＋∞)为增函数，而y′＝2x2≥0，故①错．②错．③正确．④由f′(x)<0能推断f(x)为减函数，但不能判定f(x)<0.答案③7．已知导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，请依据图象写出原函数y＝f(x)的递增区间是________．解析从图象可知f′(x)>0的解为－1<x<2或x>5，即f(x)的递增区间为(－1,2)，(5，＋∞)．答案(－1,2)，(5，＋∞)8．函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)x2的单调增区间是________．解析函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－x＝eq\f(1－x2,x)，令f′(x)>0，即eq\f(1－x2,x)>0，解得0<x<1，∴f(x)在(0,1)上为增函数．答案(0,1)9．函数f(x)＝eq\f(lnx,x)，若a＝f(3)，b＝f(4)，c＝f(5)，则a，b，c的大小关系是________．解析∵f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，∴当x>e时，f′(x)<0，即f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.答案a>b>c10．求证：函数f(x)＝eq\f(x,x2－1)在(1，＋∞)上是减函数．证明证法1：设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(x2,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x1x\o\al(2,2)－1－x2x\o\al(2,1)－1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x2－x1x1x2＋1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1).∵1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，xeq\o\al(2,1)－1>0，xeq\o\al(2,2)－1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)＝eq\f(x,x2－1)在(1，＋∞)上是减函数．证法2：∵f(x)＝eq\f(x,x2－1)，∴f′(x)＝eq\f(x2－1－2x2,x2－12)＝eq\f(－x2＋1,x2－12).∵x∈(1，＋∞)，∴f′(x)<0.∴f(x)＝eq\f(x,x2－1)在(1，＋∞)上是减函数．11．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．解函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a－1>1即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)<0，当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.∴4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.∴a的取值范围是．12．设函数f(x)＝