【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第3章-第4节-定积分与微积分基本定理(理)

第三章第四节一、选择题1．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x≥0,2xx<0))，则eq\i\in(－1,1,)f(x)dx的值是()A．eq\i\in(－1,1,)x2dx B．eq\i\in(－1,1,)2xdxC．eq\i\in(－1,0,)x2dx＋eq\i\in(0,1,)2xdx D．eq\i\in(－1,0,)2xdx＋eq\i\in(0,1,)x2dx[答案]D[解析]由分段函数的积分公式知选D．2．一物体的下落速度为v(t)＝9.8t＋6.5(单位：m/s)，则下落后其次个4s内经过的路程是()A．249m B．261.2mC．310.3m D．450m[答案]B[解析]所求路程为eq\i\in(4,8,)(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)|eq\o\al(8,4)＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(m)．3．若S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1[答案]B[解析]S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(x3,3)|eq\o\al(2,1)＝eq\f(7,3).S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(2,1)＝ln2－ln1＝ln2.S3＝eq\i\in(1,2,)exdx＝ex|eq\o\al(2,1)＝e2－e＝e(e－1)．∵e>2.7，∴S3>3>S1>S2.故选B．4．(2022·山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2eq\r(2) B．4eq\r(2)C．2 D．4[答案]D[解析]如图所示由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x，,y＝x3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－8.))∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S＝eq\i\in(0,2,)(4x－x3)dx＝(2x2－eq\f(x4,4))|eq\o\al(2,0)＝8－4＝4.5．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(7,12)[答案]A[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2,y＝x3))得交点坐标为(0,0)，(1,1)．因此所求图形面积为S＝eq\i\in(0,1,)(x2－x3)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,4)x4))))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,12).6.如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()A．eq\f(1,π) B．eq\f(2,π)C．eq\f(3,π) D．eq\f(4,π)[答案]A[解析]由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝eq\i\in(0,π,)sinxdx＝－cosx|eq\o\al(π,0)＝－(cosπ－cos0)＝2，再依据几何概型的算法易知所求概率是eq\f(S,S矩形OABC)＝eq\f(2,2π)＝eq\f(1,π).二、填空题7.eq\i\in(－4,3,)|x＋2|dx＝________.[答案]eq\f(29,2)[解析]原式＝eq\i\in(－4,－2,)(－x－2)dx＋eq\i\in(－2,3,)(x＋2)dx＝eq\f(29,2).8．(2022·皖南八校联考)eq\i\in(－a,0,)eq\r(a2－x2)dx＝________.[答案]eq\f(πa2,4)[解析]eq\i\in(－a,0,)eq\r(a2－x2)dx表示圆x2＋y2＝a2在其次象限的面积，为eq\f(πa2,4).9．(2021·江西七校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝eq\i\in(n,n＋1,)eq\f(1,x)dx(n∈N*)，则S100＝________.[答案]ln101[解析]依题意，an＝lnx|eq\o\al(n＋1,n)＝ln(n＋1)－lnn，因此S100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋(ln101－ln100)＝ln101.三、解答题10．求下列定积分：(1)eq\i\in(0,1,)(x2－x)dx；(4)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0,cosx－1，x>0))，求eq\i\in(－1,1,)f(x)dx.[解析](1)eq\i\in(0,1,)(x2－x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,2)x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())\o\al(1,0)))＝－eq\f(1,6).(3)令f(x)＝3x3＋4sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))∵f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上为奇函数，(4)eq\i\in(－1,1,)f(x)dx＝eq\i\in(,0,)－1x2dx＋eq\i\in(0,1,)(cosx－1)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(0,－1)＋(sinx－x)|eq\o\al(1,0)＝sin1－eq\f(2,3).一、选择题1．与定积分eq\i\in(0,3π,)eq\r(1－cosx)dx相等的是()A．eq\r(2)eq\i\in(0,3π,)sineq\f(x,2)dx B．eq\r(2)eq\i\in(0,3π,)|sineq\f(x,2)|dxC．|eq\r(2)eq\i\in(0,3π,)sineq\f(x,2)dx| D．以上结论都不对[答案]B[解析]∵1－cosx＝2sin2eq\f(x,2)，∴eq\i\in(0,3π,)eq\r(1－cosx)dx＝eq\i\in(0,3π,)eq\r(2)|sineq\f(x,2)|dx＝eq\r(2)eq\i\in(0,3π,)|sineq\f(x,2)|dx.2．(2022·江西高考)若f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，则eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝()A．－1 B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．1[答案]B[解析]本题考查定积分的求法．依据题设条件可得eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－eq\f(x3,3)|eq\o\al(1,0)＝－eq\f(1,3).二、填空题3．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若eq\i\in(－1,1,)f(x)dx＝2f(a)，则a＝________.[答案]－1或eq\f(1,3)[解析]eq\i\in(－1,1,)f(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|eq\o\al(1,－1)＝4＝2f(a)．f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，解得a＝－1或eq\f(1,3).4．(2021·洛阳统考)用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f(x)＝min{x2，eq\r(x)}(x≥0)，那么由函数y＝f(x)的图像、x轴、直线x＝eq\f(1,2)和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为________．[答案]eq\f(119,24)[解析]如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积.三、解答题5．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋B．由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝2,b＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝2－a,b＝0))，∴f(x)＝ax2＋(2－a)．又eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)[ax2＋(2－a)]dx＝[eq\f(1,3)ax3＋(2－a)x]|eq\o\al(1,0)＝2－eq\f(2,3)a＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线l1：x＝2，直线l2：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t为常数)．若直线l1，l2与函数f(x)的图像以及l2，y轴与函数f(x)的图像所围成的封闭图形如图阴影所示．(1)求a，b，c的值；(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．[解析](1)由图形可知二次函数的图像过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝0，,a·82＋b·8＋c＝0，,\f(4ac－b2,4a)＝16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝8，,c＝0.))(2)由(1)，得f(x)＝－x2＋8x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－t2＋8t，,y＝－x2＋8x，))得x2－8x－t(t－8)＝0，∴x1＝t，x2＝8－t.∵0≤t≤2，∴直线l2与f(x)的图像的交点坐标为(t，－t2＋8t)．由定积分的几何意义知：S(t)＝eq\i\