【创新设计】2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第12篇-第1讲-合情推理与演绎推理

第1讲合情推理与演绎推理[最新考纲]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简洁的推理，了解合情推理在数学发觉中的作用．2．了解演绎推理的重要性，把握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简洁推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是依据已有的事实，经过观看、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理动身，推出某个特殊状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所争辩的特殊状况；③结论——依据一般原理，对特殊状况作出的推断．辨析感悟1．对合情推理的生疏(1)归纳推理得到的结论不肯定正确，类比推理得到的结论肯定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推想空间四周体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．(×)(5)(2022·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四周体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.(√)2．对演绎推理的生疏(6)“全部3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m肯定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就肯定正确．(×)[感悟·提升]三点提示一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不肯定正确，其结论的正确性是需要证明的．二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)．三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，假如大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．假如大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．如(7)．同学用书第200页考点一归纳推理【例1】(2021·湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家争辩过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形数 N(n,4)＝n2，五边形数 N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六边形数 N(n,6)＝2n2－n……可以推想N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.解析由N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，N(n,4)＝eq\f(2,2)n2＋eq\f(0,2)n，N(n,5)＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(－1,2)n，N(n,6)＝eq\f(4,2)n2＋eq\f(－2,2)n，推想N(n，k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－2,2)))n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－k,2)))n，k≥3.从而N(n,24)＝11n2－10n，N(10,24)＝1000.答案1000规律方法归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不肯定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越牢靠，它是一种发觉一般性规律的重要方法．【训练1】(1)(2022·佛山质检)观看下列不等式：①eq\f(1,\r(2))＜1；②eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＜eq\r(2)；③eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))＜eq\r(3).则第5个不等式为________．(2)(2021·陕西卷)观看下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5……照此规律，第n个等式可为________．解析(2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×5×…×(2n－1)．答案(1)eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))＋eq\f(1,\r(20))＋eq\f(1,\r(30))＜eq\r(5)(2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)考点二类比推理【例2】在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四周体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四周体的体积为________”．审题路线三角形面积类比为四周体的体积⇒三角形的边长类比为四周体四个面的面积⇒内切圆半径类比为内切球的半径⇒二维图形中eq\f(1,2)类比为三维图形中的eq\f(1,3)⇒得出结论．答案V四周体A－BCD＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r规律方法在进行类比推理时，不仅要留意形式的类比，还要留意方法的类比，且要留意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．【训练2】二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观看发觉S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3，观看发觉V′＝S.则四维空间中“超球”的四维测度W＝2πr4，猜想其三维测度V＝________.解析由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V＝W′＝(2πr4)′＝8πr3.答案8πr3考点三演绎推理【例3】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N*)．证明：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，又eq\f(S1,1)＝1≠0，(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n＋1,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)同学用书第201页规律方法演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，假如前提是明显的，则可以省略．【训练3】“由于对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logeq\f(1,4)x是对数函数(小前提)，所以y＝logeq\f(1,4)x是增函数(结论)”，以上推理的错误是()．A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提错误导致结论错误解析当a＞1时，函数y＝logax是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝logax是减函数．故大前提错误导致结论错误．答案A1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学争辩中，在得到一个新结论前，合情推理能挂念猜想和发觉结论，在证明一个数学结论之前，合情推理经常能为证明供应思路与方向．2．演绎推理是从一般的原理动身，推出某个特殊状况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不肯定正确．而演绎推理得到的结论肯定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．创新突破12——新定义下的归纳推理【典例】(2021·湖南卷)对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0.❶例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，…，0.❷(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于______；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．突破1：读懂信息❶，对于集合X＝{ai1，ai2，…，aik}来说，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100是一个新的数列，该数列的xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0.突破2：通过例子❷：“子集{a2，a3}的特征数列为0,1,1,0，0，…，0”来理解“特征数列”突破3：依据p1＝1，pi＋pi＋1＝1可写出子集P的“特征数列”为：1,0,1,0,1,0，…，1,0，归纳出子集P；同理，子集Q的特征数列为1,0,0,1,0,0，…，1,0,0，归纳出子集Q.突破4：由P与Q的前几项的规律，找出子集P与子集Q的公共元素即可．解析(1)依据题意可知子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0，…，0，此数列前3项和为2.(2)依据题意可写出子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1，0，…，1,0，则P＝{a1，a3，…，a2n－1，…，a99}(1≤n≤50)，子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，则Q＝{a1，a4，…，a3k－2，…，a100}(1≤k≤34)，则P∩Q＝{a1，a7，a13，…，a97}，共有17项．答案(1)2(2)17[反思感悟]此类问题肯定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合，细心观看，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有肯定的规律推理力量．【自主体验】若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn总满足eq\f(1,n)[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析已知eq\f(1,n)[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，(大前提)由于f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，(小前提)所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤3feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B＋C,3)))，(结论)即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).因此sinA＋sinB＋sinC的最大值是eq\f(3\r(3),2).答案eq\f(3\r(3),2) 对应同学用书P379基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()．A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确．答案C2．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()．A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案D3．(2022·江西卷)观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()．A．28B．76C．123D．199解析从给出的式子特点观看可推知，等式右端的值，从第三项开头，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案C4．(2022·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是()．①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①②B．③④C．①④D．②③解析阅历证易知①②错误．依题意，留意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.答案B5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”类比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()．A．1B．2C．3D．4解析①②正确；③④⑤⑥错误．答案B二、填空题6．(2022·西安五校联考)观看下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出结论：________.解析各等式的左边是第n个自然数到第3n－2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)27．若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，且通项为eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)·eq\f(d,2)，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则________．答案数列{eq\r(n,Tn)}为等比数列，且通项为eq\r(n,Tn)＝b1(eq\r(q))n－18．(2022·揭阳一模)给出下列等式：eq\r(2)＝2coseq\f(π,4)，eq\r(2＋\r(2))＝2coseq\f(π,8)，eq\r(2＋\r(2＋\r(2)))＝2coseq\f(π,16)，请从中归纳出第n个等式：eq\r(2＋…＋\r(2＋\r(2)))＝________.答案2coseq\f(π,2n＋1)三、解答题9．给出下面的数表序列：表1表2表311313544812…其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的挨次构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的挨次构成首项为n，公比为2的等比数列．10．f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,31＋\r(3))＝eq\f(1,1＋\r(3))＋eq\f(1,\r(3)1＋\r(3))＝eq\f(\r(3),\r(3)1＋\r(3))＋eq\f(1,\r(3)1＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，同理可得：f(－1)＋f(2)＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(\r(3),3).由此猜想f(x)＋f(1－x)＝eq\f(\r(3),3).证明：f(x)＋f(1－x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))＋eq\f(1,31－x＋\r(3))＝eq\f(1,3x＋\r(3))＋eq\f(3x,3＋\r(3)·3x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))＋eq\f(3x,\r(3)\r(3)＋3x)＝eq\f(\r(3)＋3x,\r(3)\r(3)＋3x)＝eq\f(\r(3),3).力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2022·江西卷)观看下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()．A．76B．80C．86D．92解析由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案B2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数．比如：

他们争辩过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()．A．289B．1024C．1225D．1378解析观看三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，观看正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.答案C二、填空题3．在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝7