【北京特级教师-二轮复习精讲辅导】2021届高考理科数学-数学思想方法经典精讲(下)课后练习二详解

学科：数学专题：数学思想方法经典精讲（下）题1：设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是.题2：若三角形三边成等比数列，则公比q的范围是题3：已知双曲线C：－=1（a＞0，b＞0），B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.（1）求证：·=·；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.题4：已知定点A(0,1)，B(0,－1)，C(1,0)。动点P满足：。(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；(2)当时，求的最大值和最小值。题5：已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点P(2，)，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．题6：解关于x的不等式＞x（a∈R）.题7：设的微小值为，其导函数的图像开口向下且经过点，.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）方程有唯一实数解，求的取值范围.(Ⅲ)若对都有恒成立，求实数的取值范围．题8：设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________课后练习详解题1：答案：详解：由题意有，对于恒成立，即对于恒成立，也就是对于恒成立，而函数在的最小值为（此时），故，即，解得，即，解得.题2：答案：(，)

详解:设三边：a、qa、q2a、q＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，把a、qa、q2a、代入，分q≥1和q＜1两种状况分别求得q的范围．设三边：a、qa、q2a、q＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，即

（1）当q≥1时a+qa＞q2a，等价于解二次不等式：q2-q-1＜0，由于方程q2-q-1=0两根为：和，故得解：＜q＜且q≥1，即1≤q＜

（2）当q＜1时，a为最大边，qa+q2a＞a即得q2+q-1＞0，解之得q＞或q＜-且q＞0即q＞综合（1）（2），得：q∈(，)题3：答案：e＞.详解:（1）证法一：l：y=－（x－c）.y=－（x－c），y=x.解得P（，）.∵||、||、||成等比数列，∴A（，0）.∴=（0，－），=（，），=（－，）.∴·=－，·=－.∴·=·.证法二：同上得P（，）.∴PA⊥x轴，·－·=·=0.∴·=·.（2）解：y=－（x－c），（2）解：b2x2－a2y2=a2b2.∴b2x2－（x－c）2=a2b2，即（b2－）x2+2cx－（+a2b2）=0.∵x1·x2=＜0，∴b4＞a4，即b2＞a2，c2－a2＞a2.∴e2＞2，即e＞.题4：解析：(1)设动点的坐标为P(x,y),则＝(x,y－1)，＝(x,y+1)，＝(1－x,－y)∵·＝k||2，∴x2+y2－1＝k[(x－1)2+y2]即(1－k)x2+(1－k)y2+2kx－k－1=0。若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线。若k≠1，则方程化为：，表示以(,0)为圆心，以为半径的圆。（2）当k=2时，方程化为(x－2)2+y2=1，又x2+y2＝4x－3，。∵(x－2)2+y2＝1，∴令x＝2＋cosθ，y＝sinθ。得题5：答案：;（2，0）.详解:（1）由椭圆C的离心率得，其中，

椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上

∴，∴解得c=1，a2=2，b2=1，

∴椭圆的方程为．（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m．由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），

则，，且

由已知α+β=π，得，即．

化简，得∴整理得m=-2k．

∴直线MN的方程为y=k（x-2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）题6：详解：解法一：由＞x，得－x＞0，即＞0.此不等式与x（ax－1）＞0同解.若a＜0，则＜x＜0；若a=0，则x＜0；若a＞0，则x＜0或x＞.综上，a＜0时，原不等式的解集是（，0）；a=0时，原不等式的解集是（－∞，0）；a＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（，+∞）.解法二：由＞x，得－x＞0，即＞0.此不等式与x（ax－1）＞0同解.明显，x≠0.（1）当x＞0时，得ax－1＞0.若a＜0，则x＜，与x＞0冲突，∴此时不等式无解；若a=0，则－1＞0，此时不等式无解；若a＞0，则x＞.（2）当x＜0时，得ax－1＜0.若a＜0，则x＞，得＜x＜0；若a=0，则－1＜0，得x＜0；若a＞0，则x＜，得x＜0.综上，a＜0时，原不等式的解集是（，0）；a=0时，原不等式的解集是（－∞，0）；a＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（，+∞）.题7：答案：；；详解：（1），且的图象过点∴，由图象可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，∴，即，解得∴(2),又由于=-8.由图像知,,即（3）要