【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修4双基限时练29

双基限时练(二十九)二倍角的三角函数(二)一、选择题1．cos2eq\f(π,8)－eq\f(1,2)的值为()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),4)解析cos2eq\f(π,8)－eq\f(1,2)＝eq\f(2cos2\f(π,8)－1,2)＝eq\f(cos\f(π,4),2)＝eq\f(\r(2),4).答案D2.eq\r(1＋cos100°)－eq\r(1－cos100°)＝()A．－2sin5° B．2sin5°C．－2cos5° D．2cos5°解析原式＝eq\r(1－sin10°)－eq\r(1＋sin10°)＝|cos5°－sin5°|－|cos5°＋sin5°|＝－2sin5°.答案A3．若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，则sin2θ＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析方法一：∵tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(1＋tan2θ,tanθ)＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(2tanθ,4tanθ)＝eq\f(1,2).方法二：∵tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,cosθsinθ)＝eq\f(2,sin2θ).∴4＝eq\f(2,sin2θ)，故sin2θ＝eq\f(1,2).答案D4．已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是()A.eq\f(π,2) B．πC．2π D．4π解析∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinxcosx＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，∴f(x)＝a·b的最小正周期是π.答案B5．函数f(x)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))是()A．周期为π的偶函数 B．周期为π的奇函数C．周期为2π的偶函数 D．周期为2π的奇函数解析f(x)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x－\f(π,4)))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝sin2x.∴f(x)为奇函数，且周期为π.答案B6．若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，则sinθ＝()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(3,4)解析∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故2cos2θ≤0，∴cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(7),8)))2)＝－eq\f(1,8).又cos2θ＝1－2sin2θ，∴sin2θ＝eq\f(1－cos2θ,2)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8))),2)＝eq\f(9,16)，∴sinθ＝eq\f(3,4)，故选D.答案D二、填空题7．已知tanα＝eq\f(1,3)，则sin2α＋cos2α＝__________.解析sin2α＋cos2α＝eq\f(2sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα＋1,tan2α＋1)＝eq\f(2×\f(1,3)＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋1)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)8．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝__________.解析f(sinx)＝3－cos2x＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，f(cosx)＝2＋2cos2x＝2＋1＋cos2x＝3＋cos2x.答案3＋cos2x9．若sineq\f(α,2)＝eq\r(1＋sinα)－eq\r(1－sinα)，0≤α≤π，则tanα的值是________．解析两边平方得sin2eq\f(α,2)＝2－2eq\r(1－sin2α)，∴eq\f(1－cosα,2)＝2－2|cosα|.①当0≤α≤eq\f(π,2)时，①式为eq\f(1－cosα,2)＝2－2cosα，∴cosα＝1，∴α＝0，∴tanα＝0.当eq\f(π,2)<α≤π时，①式为eq\f(1－cosα,2)＝2＋2cosα，∴cosα＝－eq\f(3,5)，∴sinα＝eq\f(4,5).∴tanα＝－eq\f(4,3)答案0或－eq\f(4,3)三、解答题10．已知cosθ＝－eq\f(3,5)，并且180°<θ<270°，求taneq\f(θ,2).解解法一：由于180°<θ<270°，所以90°<eq\f(θ,2)<135°，即eq\f(θ,2)是其次象限角，所以taneq\f(θ,2)<0，∴taneq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1－cosθ,1＋cosθ))＝－eq\r(\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))))＝－2.解法二：由于180°<θ<270°，即θ是第三象限角，∴sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\r(1－\f(9,25))＝－eq\f(4,5)，∴taneq\f(θ,2)＝eq\f(1－cosθ,sinθ)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))),－\f(4,5))＝－2，或taneq\f(θ,2)＝eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(－\f(4,5),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))))＝－2.11．化简：eq\f(1＋sinα＋cosα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2))),\r(2＋2cosα))(180°<α<360°)．解原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2))),2|cos\f(α,2)|)∵180°<α<360°，∴90°<eq\f(α,2)<180°，故coseq\f(α,2)<0，∴上式＝eq\f(2cos\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2))),－2cos\f(α,2))＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝cosα.12．已知函数f(x)＝2acos2x＋bsinxcosx－eq\f(\r(3),2)，且f(0)＝eq\f(\r(3),2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，(1)求f(x)的解析式；(2)写出f(x)的单调增区间．解(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(\r(3),2)＝\f(\r(3),2)，,a＋\f(b,2)－\f(\r(3),2)＝\f(1,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(3),2)，,b＝1.))∴f(x)＝eq\r(3)cos2x＋sinxcosx－eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)·eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(1,2)sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得－eq\f(5,12)π＋kπ≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)．∴f(x)的单调增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5,12)π，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．13．已知向量a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最大值及相应的x值；(2)若f(θ)＝eq\f(8,5)，求cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2θ))的值．解(1)由于a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，所以f(x)＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))＋1.因此，当2x－e