上海市金山区华东师大三附中2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理科)试题

华东师大三附中2022学年其次学期期末考试高二数学（理科）试题时间：120分钟满分：150分一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.=__________________.2.在的开放式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则=．3.直线的参数方程是，则的方向向量可以是__.4.若圆锥的侧面开放图是半径为2、圆心角为90的扇形，则这个圆锥的全面积是．5.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，大事A为“抽得红桃K”，大事B为“抽得为黑桃”，则概率（结果用最简分数表示）.6.在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为____.7.给出下列四个命题：(1)若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；(2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；(3)两条异面直线中的一条平行于平面，则另一条必定不平行于平面；(4)为异面直线，则过且与平行的平面有且仅有一个．其中正确命题的序号是_______________________8.已知平面α截一球O得圆M，圆M的半径为r，圆M上两点A、B间的弧长为，又球心O到平面α的距离为r，则A、B两点间的球面距离为．9.边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范围是．EFAG10.在锐角的二面角，EFAG，若与所成角为，则二面角为__________.11.已知随机变量全部的取值为，对应的概率依次为，若随机变量的方差，则的值是．12.如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则.13.对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是．14.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四周体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永久不行能接触到的容器内壁的面积是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.某校共有高一、高二、高三同学共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校同学健康状况，现接受分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一同学96人，则该样本中的高三同学人数为（）A.84 B.78 C.81 D.9616.正四周体的表面积为，其中四个面的中心分别是、、、.设四周体的表面积为，则等于()A.B. C.D.17.甲乙两人一起去游园，他们商定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行巡游，每个景点参观1小时，则最终一小时他们同在一个景点的概率是()A. B. C. D.18.设为空间中三条相互平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①存在，使得是直角三角形；②存在，使得是等边三角形；③三条直线上存在四点，使得四周体为在一个顶点处的三条棱两两相互垂直的四周体.其中，全部正确结论的序号是 （）A．① B．①③ C．①② D．②③三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必需在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）在直三棱柱中，底面为直角三角形，，.已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，求线段的长度的最小值.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图过圆锥轴的截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点，已知，圆锥体积为，点Ｏ为底面圆的圆心．（1）求该圆锥的侧面积；（2）设异面直线与所成角的大小为，求的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．FEDBCAP如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，依次是的中点．FEDBCAP（1）求直线与平面所成的角(结果用反三角函数值表示)；（2）求三棱锥的体积.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1．（1）求曲线的轨迹方程；（2）若过点的直线与曲线相交于A、B不同的两点，求的值；（3）若曲线上不同的两点、满足，求的取值范围．AA1B1BC1CAA1B1BC1CMNP如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．（1）求证：；（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．（3）在（2）中，我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子，这样的例子还有不少．下面请观看平面勾股定理的条件和结论特征，试着将勾股定理推广到空间去．勾股定理的类比三角形ABC四周体O-ABC条件AB⊥ACOA、OB、OC两两垂直结论AB2+AC2=BC2？请在答题纸上完成上表中的类比结论，并给出证明．华东师大三附中2022学年其次学期期末考试高二数学（理科）试题答案一．1.2.13.或4.5.6.7.(2)(4)8.9.10.11.12.1314.二．15.B16.B17.D18.C三．19．.20．（1）（2）21．（1）解法一：分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别是，，，，，∴，，，（2分）又∵平面，∴平面的法向量为，（4分）设直线与平面所成的角为，则，（6分）∴直线与平面所成的角为.（7分）解法二：∵平面，∴，又，∴平面，取中点，中点，联结，则且FEDBCAPHG，是平行四边形，FEDBCAPHG∴即为直线与平面所成的角.（3分）在中，，在中，，（6分）∴直线与平面所成的角为.（7分）（2）解法一：由（1）解法一的建系得，，，设平面的法向量为，点到平面的距离为，由，得且，取得，（9分）∴，（11分）又，∴，（13分）∴.（14分）解法二：易证即为三棱锥底面上的高，且，（11分）底面边上的高等于，且，∴（13分）.（14分）解法三：依题意，平面，∴（11分）.（14分）22．（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线∵∴∴曲线方程是（4分）（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、此时（6分）当不平行于轴时，设其斜率为，则由得设，则有，（8分）∴（10分）（3）设∴∵∴∵，化简得（12分）∴（14分）当且仅当时等号成立∵∴当的取值范围是（16分）23．（1）证：；（4分）（2）解：在斜三棱柱中，有其中为平面与平面所组成的二面角.（7分）上述的二面角为，在中，，由于，有.（10分）（3）空间勾股定理的猜想：已知四周