【名师一号】2020-2021学年高中数学选修1-2单元测试卷：第二章+推理与证明

其次章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若实数a，b满足b>a>0，且a＋b＝1，则下列四个数最大的是()A．a2＋b2 B．2abC.eq\f(1,2) D．a答案A2．下面使用类比推理正确的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)·c＝ac＋bc”类推出“(a·b)·c＝ac·bc”C．“(a＋b)·c＝ac＋bc”类推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析由类比出的结果正确知，选C.答案C3．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出全部三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成果是100分，由此推出全班同学成果都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①② B．①③④C．①②④ D．②④答案C4．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y＝(eq\f(1,2))x是指数函数，所以y＝(eq\f(1,2))x在(0，＋∞)上是增函数．该结论明显是错误的，其缘由是()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．以上都可能解析大前提是：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的．答案A5．若a，b，c不全为0，必需且只需()A．abc≠0B．a，b，c中至多有一个不为0C．a，b，c中只有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析不全为0即至少有一个不为0.答案D6．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()A．三角形 B．梯形C．平行四边形 D．矩形解析只有平行四边形与平行六面体比较接近．故选C.答案C7．求证：eq\r(2)＋eq\r(3)>eq\r(5).证明：由于eq\r(2)＋eq\r(3)和eq\r(5)都是正数，所以为了证明eq\r(2)＋eq\r(3)>eq\r(5)，只需证明(eq\r(2)＋eq\r(3))2>(eq\r(5))2，开放得5＋2eq\r(6)>5，即2eq\r(6)>0，明显成立，所以不等式eq\r(2)＋eq\r(3)>eq\r(5).上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法协作使用D．间接证法答案B8．若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；④若ab＝0，则a＝0或b＝0.对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③若a·b＝b·c，b≠0，则a＝c；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.其中结论正确的有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析由向量数量积的性质知，只有①正确，其他均错．答案B9．设S(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,n2)，则()A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)解析由分母的变化知S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4).答案D10．设f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，又记f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n＝1,2，…，则f2021(x)＝()A.eq\f(1＋x,1－x) B.eq\f(x－1,x＋1)C．x D．－eq\f(1,x)解析f1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，f2(x)＝eq\f(1＋f1x,1－f1x)＝－eq\f(1,x)，f3(x)＝eq\f(1＋f2x,1－f2x)＝eq\f(x－1,x＋1)，f4(x)＝x，f5(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)．∴f2021(x)＝f1(x)＝eq\f(1＋x,1－x).答案A11．观看下表：1234…第一行2345…其次行3456…第三行4567…第四行⋮⋮⋮⋮第一列其次列第三列第四列依据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为()A．2n－1 B．2n＋1C．n2－1 D．n2解析观看数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n－1.答案A12．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)当且仅当a＝c，b＝d；运算“⊗”为：(a，b)⊗(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p、q∈R，若(1,2)⊗(p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊕(p，q)等于()A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0，－4)解析由运算的定义知(1,2)(p，q)＝(p－2q,2p＋q)＝(5,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p－2q＝5，,2p＋q＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝1，,q＝－2.))∴(1,2)(p，q)＝(1,2)(1，－2)＝(2,0)．答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)13．对于平面几何中的命题“假如两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_________________________________________________________________________________________________”．答案假如两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补14．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根，则实数a解析假设这两个方程都没有实数根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a－12－4a2<0，,Δ2＝2a2－4－2a<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a2＋2a－1>0，,a2＋2a<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1，或a>\f(1,3)，,－2<a<0.))∴－2<a<－1.故两个方程至少有一个有实数根，a的取值范围是a≤－2或a≥－1.答案(－∞，－2]∪(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，由于两个无理数的和不肯定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出冲突，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出冲突，所以不是反证法．19．(12分)证明：若a>0，则eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.证明∵a>0，要证eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只需证eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2)，只需证(eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2)2≥(a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2))2，即证a2＋eq\f(1,a2)＋4＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))≥a2＋eq\f(1,a2)＋4＋2eq\r(2)(a＋eq\f(1,a))，即证eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\f(\r(2),2)(a＋eq\f(1,a))，即证a2＋eq\f(1,a2)≥eq\f(1,2)(a2＋eq\f(1,a2)＋2)，即证a2＋eq\f(1,a2)≥2，即证(a－eq\f(1,a))2≥0，该不等式明显成立．∴eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.20．(12分)已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.求证：数列{cn}不是等比数列．证明假设{cn}是等比数列，则c1，c2，c3成等比数列．设{an}，{bn}的公比分别为p和q且p≠q，则a2＝a1p，a3＝a1p2，b2＝b1q，b3＝b1q2.∵c1，c2，c3成等比数列，∴ceq\o\al(2,2)＝c1·c3，即(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)．∴(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)．∴2a1b1pq＝a1b1p2＋a1b1q2∴2pq＝p2＋q2，∴(p－q)2＝0.∴p＝q与已知p≠q冲突．∴数列{cn}不是等比数列．21．(12分)如右图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．解(1)∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC，即PC⊥BC.(2)连接AC.设点A到平面PBC的距离为h，∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°.从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1，由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P－ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·PD＝eq\f(1,3).∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，又PD＝DC＝1.∴PC＝eq\r(PD2＋DC2)＝eq\r(2).由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝eq\f(\r(2),2)，由V＝eq\f(1,3)S△PBC·h＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(2),2)·h＝eq\f(1,3)，得h＝eq\r(2).因此，点A到平面PBC的距离为eq\r(2).22．(12分)已知f(x)＝eq\f(bx＋1,ax＋12)(x≠－eq\f(1,a)，a>0)，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列{xn}的项满足xn＝…，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想{xn}的通项公式．解(1)把f(1)＝log162＝eq\f(1,4)，f(－2)＝1，代入函数表达式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,a＋12)＝\f(1,4)，,\f(－2b＋1,1－2a2)＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4b＋4＝a2＋2a＋1，,－2b＋1＝4a2－4a＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，))(舍去a＝－eq\f(1,3)<0)，∴f(x)＝eq\f(1,x＋12)(x≠－1)．(2)x1＝1－f(1)＝1－e