【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：5.2

第五章5.2第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内全部向量的基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(eq\f(1,2)，－eq\f(3,4))答案B2．▱ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，对称中心为O，则eq\o(CO,\s\up6(→))等于()A．(－eq\f(1,2)，5)B．(－eq\f(1,2)，－5)C．(eq\f(1,2)，－5)D．(eq\f(1,2)，5)答案B解析eq\o(CO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)(1,10)＝(－eq\f(1,2)，－5)3．设a、b是不共线的两个非零向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b.若A、B、D三点共线，则p的值为()A．1B．2C．－2D．－1答案D解析本题考查两向量共线的充要条件．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，由A、B、D三点共线⇒eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))⇒2a＋pb＝2λa－λb⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＝2,p＝－λ))⇒p＝－14．.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.eq\r(2)a－(1＋eq\f(\r(2),2))bB．－eq\r(2)a＋(1＋eq\f(\r(2),2))bC．－eq\r(2)a＋(1－eq\f(\r(2),2))bD.eq\r(2)a＋(1－eq\f(\r(2),2))b答案B解析依据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝eq\f(\r(2),2)，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(eq\f(\r(2),2)，1＋eq\f(\r(2),2))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(2),2)－1,1＋eq\f(\r(2),2))，令eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ－μ＝\f(\r(2),2)－1,μ＝1＋\f(\r(2),2)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\r(2),μ＝1＋\f(\r(2),2)))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\r(2)a＋(1＋eq\f(\r(2),2))b.5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)答案D解析由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a＋(3b－2a)＋c6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A．(eq\f(7,9)，eq\f(7,3))B．(－eq\f(7,3)，－eq\f(7,9))C．(eq\f(7,3)，eq\f(7,9))D．(－eq\f(7,9)，－eq\f(7,3))答案D解析设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②解得①②得x＝－eq\f(7,9)，y＝－eq\f(7,3).7．已知c＝ma＋nb，设a，b，c有共同起点，a，b不共线，要使a，b，c，终点在始终线l上，则m，n满足()A．m＋n＝1B．m＋n＝0C．m－n＝1D．m＋n＝－1答案A解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))∴c－a＝λ(b－a)∴ma＋nb－a＝λb－λa∴(m－1＋λ)a＋(n－λ)b＝0∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＋λ＝0,n－λ＝0))⇒m＋n＝1.二、填空题8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.答案－1解析由已知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b))∥c得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.9．已知n＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则m的坐标为________．答案(b，－a)或(－b，a)解析设m的坐标为(x，y)，由|m|＝|n|，得x2＋y2＝a2＋b2①由m⊥n，得ax＋by＝0②解①②组成的方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝b,y＝－a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－b,y＝a))故m的坐标为(b，－a)或(－b，a)10．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量答案(－2，－6)解析∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．∴4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)．又∵表示4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形．∴4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0.解得d＝(－2，－6)．11．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)＝________.答案－eq\f(1,2)解析ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，则有eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，∴n－2m＝12m＋8n，∴eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2)12．已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量2eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))的坐标为________．答案(3,4)解析∵2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)．3eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1)．∴2eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3,4)．13．已知a＝(6,1)，b＝(－2,2)，若单位向量c与2a＋3b共线，则向量c答案±(eq\f(3,5)，eq\f(4,5))解析2a＋3b＝2(6,1)＋3(－2,2)＝(6,8)∵单位向量c与(6,8)共线，∴c＝±eq\f(6，8,\r(36＋64))＝±(eq\f(3,5)，eq\f(4,5))三、解答题14．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).(1)求E，F的坐标；(2)求证：eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).解析(1)设E、F两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则依题意，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)．∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\f(2,3)，eq\f(2,3))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－eq\f(2,3)，1)．∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(x1，y1)－(－1,0)＝(eq\f(2,3)，eq\f(2,3))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(3，－1)＝(－eq\f(2,3)，1)．∴(x1，y1)＝(eq\f(2,3)，eq\f(2,3))＋(－1,0)＝(－eq\f(1,3)，eq\f(2,3))，(x2，y2)＝(－eq\f(2,3)，1)＋(3，－1)＝(eq\f(7,3)，0)．∴E的坐标为(－eq\f(1,3)，eq\f(2,3))，F的坐标为(eq\f(7,3)，0)．(2)由(1)知(x1，y1)＝(－eq\f(1,3)，eq\f(2,3))，(x2，y2)＝(eq\f(7,3)，0)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(eq\f(8,3)，－eq\f(2,3))，又4×(－eq\f(2,3))－(－1)×eq\f(8,3)＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))15．给定两个长度为1的平面对量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．答案2解析以O为坐标原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，则可知A(1,0)，B(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，设C(cosα，sinα)(α∈[0，eq\f(2π,3)])，则有x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα，所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sin(α＋eq\f(π,6))，所以当α＝eq\f(π,3)时，x＋y取得最大值为2.老师备选题1.如图所示，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq\o(OC,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)(5e1＋3e2)B.eq\f(1,2)(5e1－3e2)C.eq\f(1,2)(3e2－5e1)D.eq\f(1,2)(5e2－3e1)答案A解析eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)2．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝αeq\o(OA,\s\up6(→))＋βeq\o(OB,\s\up6(→))，其中α、β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．答案x＋2y－5＝0解析设C的坐标为(x，y)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)．由eq\o(OC,\s\up6(→))＝αeq\o(OA,\s\up6(→))＋βeq\o(OB,\s\up6(→))得eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3α－β，α＋3β)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3α－β①,y＝α＋3β.②))由①＋②×2得x＋2y＝5(α＋β)，又由于α＋β＝1，所以x＋2y＝5.3.如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb，则(x，y)为()A．(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))B．(eq\f(2,3)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,3)，eq\f(1,3))D．(eq\f(2,3)，eq\f(1,2))答案C解析令eq\o(BF,\s\up6(→))＝λeq\o(BE,\s\up6(→))，由题可知：eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)λeq\o(AC,\s\up6(→))；同理，令eq\o(CF,\s\up6(→))＝μeq\o(CD,\s\up6(→))，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋μeq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋μ(eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)μeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－μ)·eq\o(AC,\s\up6(→))，由对应系数相等可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(1,2)μ,\f(1,2)λ＝1－μ))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3),μ＝\f(2,3)))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选C.4．如图，O为△ABC的边BC的中点，过O任作始终线，交直线AB、AC分别于点M、N.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，求m＋n的值．解析eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,m)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)－eq\f(1,m))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o(NO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,n)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,n))eq\o(AC,\s\up6(→))∵M、O、N三点共线，∴向量eq\o(MO,\s\up6(→))与eq\o(NO,\s\up6(→))共线设eq\o(MO,\s\up6(→))＝λeq\o(NO,\s\up6(→))则(eq\f(1,2)－eq\f(1,m))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,n))λeq\o(AC,