中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题28 尺规作图（解析版）

专题28尺规作图中考命题解读中考命题解读中考对尺规作图的考查涉及多种形式,不再是单一的对作图技法操作进行考查,而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合,既体现了动手实践的数学思维活动,也考查了学生运用数学思考解决问题的能力.考标要求考标要求1.根据尺规作图的痕迹、步骤判断结论和计算。2.尺规作图及相关证明与计算考点精讲考点精讲五种基本尺规作图类型图示步骤作图依据1.作一条线段等于已知线段OAP（1）画射线OP（2）在射线OP上截取OA=a圆上的点到圆心的距离等于半径2.作一个角等于已知角以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C,D画一条射线PO，以点P为圆心，OC长为半径画弧，交PO于点C′以P为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′过点P、P画射线PB′，则∠B′PO=∠BOC三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线3.作一个角的平分线（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）画出射线OC，射线OC即为所求4.作一条垂直平分线1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；2.作直线CD，CD为所求直线到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线5.过一个点作已知直线的垂线点在直线上以O为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点A、B两点；分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径，在AB两侧作弧，两弧分别交于点P、C；作直线PC，直线PC即为所求作的垂线等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线点在直线外在直线另一侧去点M；以点P为圆心，PM长为半径画弧，交直线l于点A、B两点；分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点Q；作直线PQ，直线PQ即为所求作的垂线母题精讲母题精讲【典例1】（2022•贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【解答】解：如图，△ABC为所作．【典例2】（2022秋•阿荣旗校级月考）已知∠AOB，求作∠A'O'B'＝∠AOB，保留作图痕迹．【解答】解：如图，∠A'O'B'即为所求．【典例3】（2022•北海二模）如图：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝40°．（1）尺规作图：作∠B的平分线交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）过点A作AE垂直BC的延长线于点E，求∠CAE的度数．【解答】解：（1）如图，射线BD即为所求；（2）如图，线段AE即为所求．∵AE⊥BE，∴∠AEC＝90°，∵∠ACE＝∠ABC+∠BAC＝70°，∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，【典例4】（2022•雨花区校级二模）下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．做法：如图，①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）；③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线．根据小西设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥l（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）．【解答】解：（1）如图所示，（2）证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥l（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．故答案为PA＝PB，QA＝QB；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．真题精选真题精选命题点1根据尺规作图的痕迹、步骤判断结论及计算命题点1根据尺规作图的痕迹、步骤判断结论及计算1．（2022•丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．由作法知AD＝AC，∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC＝60°，由作法知AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝30°＝∠B，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意；故选B．2．（2022•玉环市一模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°．观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BFC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°【解答】解：由作图可知，DE垂直平分线段AC，BF平分∠ABC，∴DA＝DC，∴∠A＝∠DCA，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝50°，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝60°，∴∠BFC＝∠BDF+∠ABF＝60°+50°＝110°，故选：C3．（2022秋•新邵县期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．SSA【解答】解：由作法易得OD＝O'D'，OC＝O'C'，CD＝C'D'，在△D'O'C'与△DOC中，，∴△D'O'C'≌△DOC（SSS），∴∠D′O′C′＝∠DOC（全等三角形的对应角相等）．故选：C．4．（2022秋•天心区期末）如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，∠C＝30°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧在AC两侧分别交于P、Q两点，作直线PQ交BC于点D，交AC于点E．若DE＝3，则AB的长为（）A． B．5 C．3 D．【解答】解：如图，连接AD，过点A作AF⊥BD于点F，由作法得DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠C＝∠DAC＝30°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C＝60°，CD＝2DE＝AD＝6，∵AF⊥BD，∴DF＝AD＝3，∴AF＝DF＝3，∵∠B＝45°，∴AF＝BF＝3，∴AB＝AF＝3．故选：C．5．（2022•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为（）A． B． C． D．【解答】解：设MN与AC的交点为O，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝8，∴△ADC为直角三角形，∵CD＝6，AD＝8，∴，，又由作图知MN为AC的垂直平分线，∴∠MOA＝90°，，在Rt△AOE中，，∵cos∠CAD＝cos∠EAO，∴，∴．故选：D．命题点2尺规作图及相关证明与计算命题点2尺规作图及相关证明与计算 6．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．7．（2022•宁夏）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．8．（2022•东莞市校级三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若CD＝3，求cosA．【解答】解：（1）如图，射线BD即为所求；（2）根点D作DH⊥AB于点H．∵BD平分∠ABC，DH⊥AB，DC⊥BC，∴DH＝DC＝3，∴AH＝＝＝4，∴cosA＝＝．9．（2022•花都区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝2AD．（1）作∠CBD的角平分线，分别交AC，CD于点M，N；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若AC＝16，BD＝10，求线段MN的长．【解答】解：（1）如图所示：（2）过点N作NE⊥BD于点E，NF⊥BC于点F．由作图可知BN平分∠CBD，∴NE＝NF，∵BD＝10，BD＝2AD，四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝OB＝5＝AD＝BC，OC＝AC＝8，∴OB＝BC＝5，∵BN平分∠CBO，∴BM⊥OC，∴OM＝CM＝4，∴BM＝＝＝3，∵＝＝＝2，∵CN∥AB，∴＝＝，∴MN＝1．10．（2022•河池模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD．（1）尺规作图：在AB上截取AE，使得AE＝AD（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑）；（2）在（1）所作的图形中，连接DE，证明：∠ADE＝∠CDE．【解答】（1）解：如图，AE为所求．（2）证明：由（1）知AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠ADE＝∠CDE．11．（2022•中山市三模）如图，