中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题15 线段、角、相交线与平行线（解析版）

专题15线段、角、相交线与平行线中考命题解读中考命题解读本节知识大部分内容在学业水平测试要求中要求学生达到理解程度，其中平行线的性质及判定要求达到掌握程度，要求会用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，利用平行线的性质求角度多以填空题的考察形式出现。考标要求考标要求1.了解直线、射线、线段的概念,理解两点之间的距离；2.理解角的概念及表示,能正确地进行角的度量与换算;能估计、比较角的大小,能正确地计算角度的和与差.3.理解角的平分线及其性质以及补角、余角、对顶角的概念,4.理解掌握并能熟练运用补角、余角、对顶角的性质.5.理解垂线、垂线段、点到直线的距离,理解垂线的性质和垂线段的性质,6.理解线段的垂直平分线及其性质.能用三角尺或量角器画出直线的垂线、线段的垂直平分线、角的平分线.7.理解掌握平行线的概念,两直线平行的性质和判定,并能用平行线的性质和判定证明或解决有关问题.能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线.8.了解两条平行线之间的距离的概念,能正确地度量两条平行线间的距离.考点精讲考点精讲考点1：直线、射线与线段的概念注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。考点2：基本事实1.经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线2.两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短考点3：基本概念1.两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离。2.线段的等分点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点考点4：双中点模型：C为AB上任意一点，M、N分别为AC、BC中点，则考点5：角及其平分线1.度量角的大小：可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。2，余角：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.3.补角：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.性质：同角(等角)的余角相等．同角（等角）的补角相等．4.角的平分线的性质（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠3、画射线OC，射线OC即为所求。（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。5.角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上。考点6：相交线1.对顶角：如图1所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。2.邻补角：如图2所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。图1图23.三线八角两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。4．垂线的性质（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．5.垂直平分线的性质（1）定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（2）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.考点7：平行线1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。2.平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。3.平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行。（2）内错角相等，两直线平行。（3）同旁内角互补，两直线平行。4.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。考点8：命题内容定义能判断一件事情的语句，叫做命题。组成命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项表达形式通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。分类题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。母题精讲母题精讲【典例1】（义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】A【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故选：A．【典例2】（2021•兴安盟）74°19′30″＝°．【答案】74.325【解答】解：30×（）′＝0.5′，19′+0.5′＝19.5′，19.5×（）°＝0.325°，74°+0.325°＝74.325°，故答案为：74.325．【典例3】（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70° B．80° C．100° D．110°【答案】D【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝70°，∵AB∥ED，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：D．【典例4】（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝°．【答案】90【解答】解：如图：由题意得：∠APC＝34°，∠BPC＝56°，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，故答案为：90．【典例5】（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】B【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，∴∠2＝∠ACB，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，故选：B．【典例6】（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A．32° B．38° C．48° D．52°【答案】B【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故选：B．【典例7】（2022•湖北）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线交CD于点G．若∠EFG＝52°，则∠EGF＝（）A．128° B．64° C．52° D．26°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠FEB＝180°﹣∠EFG＝128°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠BEF＝64°，∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠BEG＝64°．故答案选：B．【典例8】（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度数；（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°；（2）证明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°，∵∠BCD＝50°，∴∠AEB＝∠BCD，∴AE∥DC．真题精选真题精选命题1命题1角的有关概念及性质1．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°【答案】A【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，故选：A．2．（2021•青岛）如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解答】解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝2，∵AC＝5，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3，故选：B．3．（2021•桂林）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是（）A．70° B．90° C．110° D．130°【答案】C【解答】解：∵直线a，b相交于点O，∠1＝110°，∴∠2＝∠1＝110°．故选：C．4．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角【答案】D【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．5．（2022•宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是．【答案】85°【解答】解：过点C作CF∥AD，如图，∵AD∥BE，∴AD∥CF∥BE，∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠DAC+∠EBC，由C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，得∠DAC＝50°，∠CBE＝35°．∴∠ACB＝50°+35°＝85°，故答案为：85°．命题2命题2平行线性质求角度及平行线的判定6．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（）A．137° B．53° C．47° D．43°【答案】D【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．7．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A．46° B．90° C．96° D．134°【答案】C【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．8．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．110°【答案】C【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1＝70°．故选：C 9．（2021•黔西南州）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．110°【答案】C【解答】解：如图：∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠2＝105°，故选：C．10．（2021•兰州）将一副三角板如图摆放，则∥，理由是．【答案】BC；ED；内错角相等，两直线平行【解答】解：根据题意得出，∠ACB＝90°，∠DEF＝90°，∴∠ACB＝∠DEF，∴BC∥ED．故答案为：BC；ED；内错角相等，两直线平行．11．（2018•重庆）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．【解答】解：∵直线AB∥CD，∴∠1＝∠3∵∠1＝54°，∴∠3＝54°∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠3＝108°，∵AB∥CD，∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝72°，∴∠2＝∠BDC