湖南省衡阳市名校联考联合体2024年高三下学期数学高考考前仿真联考试题

湖南省衡阳市名校联考联合体2024年高三下学高考考前仿真联考试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x∣x2−4<0}A．{−2,−1,C．∅ D．{2．已知复数z=(a+bi)i(a,b∈R,i为虚数单位A．a2+b2≠0 B．ab=0 3．已知非零向量a,b满足a⊥b,A．1或-1 B．2或-2 C．1或2 D．-1或24．已知函数f(x)=loga(−x2+ax+3)(A．(1,2) B．(1,2] C．5．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是（）A．若m∥α,m∥βB．若m∥α,n∥αC．若α⊥β,β⊥γD．若m⊥α,m⊥β6．已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点为FA．2 B．2 C．22 7．将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（）A．34 B．45 C．148．如图，已知P是圆C:(x−2)2+A．1 B．2 C．3 D．2二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价x（单位：元）与销量y（单位：万件）的数据如下表所示：产品定价x（单位：元）99.51010.511销量y（单位：万件）1110865则下列结论正确的是（）A．产品定价x的平均值是10元B．产品定价x与销量y存在正相关关系C．产品定价x与销量y满足一元线性回归模型D．产品定价x与销量y的相关系数r≈−0参考公式：r=i=1参考数据：i=1510．已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)过点P(2,22)，其焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线l1,A．抛物线Γ的方程为yB．抛物线Γ的准线方程为x=−2C．△ACF和△BFD面积之和的最小值为7D．△ACF和△BFD面积之和的最小值为811．已知定义在实数集R上的函数f'(x)的图象关于点(1,0)中心对称，函数g(x)=(x−1)f(x)，且函数g(x)在(−∞,A．函数f'(x)的图象关于直线B．g(x)的图象关于点(1,C．若g'(−1)=−2D．g(三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象过点P(0,22)，则φ=13．如图，由直三棱柱ABC−A1B1C1和四棱锥14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2,四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15．在三角形ABC中，角A,B,C所对的边长分别为（1）证明：3c=4a；（2）若b=13,c=a+116．如图，在圆锥PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AC是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD是圆锥底面圆O的内接三角形，E是圆锥母线PC的中点，PO=6,（1）求证：平面BED⊥平面ABD；（2）设点M在线段PO上，且OM=2，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值.17．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知过点P(1,4)的直线与双曲线C右支交于A､B两点，点Q在线段AB上，若存在实数λ(λ>0且λ≠1)18．某电竞平台开发了A、B两款训练手脑协同能力的游戏，A款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.B款游戏规则是：共设计了n(n∈N*，且n⩾2)关，每位玩家都有n次闯关机会，每关闯关成功的概率为13，不成功的概率为（1）电竞游戏玩家甲玩A款游戏，若第一关通过的概率为34，第二关通过的概率为2（2）电竞游戏玩家甲玩B款游戏，记玩家甲第i次闯关获得的分数为Xi(i=1,2,⋯,n)，求19．已知函数f(x)=xlnx+ax在点(1,f(1))处的切线与直线（1）求实数a的值；（2）求函数f(x)在区间[1（3）证明：f(x)⩾x

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为A={x∣−2<x<2}所以A∩B={−1,故选：B.【分析】本题考查集合的交集运算.先解一元二次不等式求出集合A，再根据集合交集的定义可求出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：因为z=(a+bi)i=−b+ai(a,由z=−b−ai为纯虚数，即−b=0且−a≠0，即a≠0且b=0故选：D.【分析】本题考查复数的乘法运算，共轭复数的定义，纯虚数的定义.先利用复数的乘法运算求出z，再根据共轭复数的定义求出z，利用纯虚数的定义可列出方程组，解方程组可求出答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：由|λ故选：A.【分析】本题考查平面向量的数量积.先对|λa−b4．【答案】D【解析】【解答】解：令函数g(x)=−x该函数在(−∞,a2当a>1时，要使f(x)在(1,2)上单调递增，则g(x)在且x∈(1,2)时，g(x)>0，故a2故选：D【分析】本题考查复合函数的单调性.先对真数进行构造函数，再进行配方可得：g(x)=−(x−a2)25．【答案】D【解析】【解答】解：A：若m∥α,m∥β，则α与B：若m∥α,n∥α，则m与C：若α⊥β,β⊥γ，则α∥γ或D：若m⊥α,m⊥β，则α∥β，又α∥γ，则故选：D.【分析】本题考查空间中直线，平面的位置关系.利用平面与平面平行的判定定理可判断A选项；根据直线与平面平行的性质可判断B选项；利用平面与平面垂直的性质可判断C选项；利用直线与平面垂直的性质，再结合平面与平面平行的判定定理可判断D选项.6．【答案】B【解析】【解答】解：由椭圆C:x2因为点M为椭圆C:x2直线l:y=k(x−1)+2经过定点则|MF当且仅当M在线段NF所以|MF故选：B.【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.先根据椭圆方程找出焦点坐标，再根据直线方程l:y=k(x−1)+2可知经过定点N(1,7．【答案】A【解析】【解答】解：依题意，将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，即从8个空位中选2个位置放语文书，剩余6个位置放数学书，摆放种数为：C8利用插空法，6本数学书之间共有7个位置可以放2本语文书，摆放种数为：C7由古典概型概率的计算公式得：2128故选：A.【分析】本题考查排列组合的实际应用.先求出6本相同的数学书和2本相同的语文书摆放的种数，再用插空法求出2本语文书不相邻的摆放种数，利用古典概型概率的计算公式进行计算可求出答案.8．【答案】A【解析】【解答】解：设过A，B,P三点的圆的圆心为M，且由于∠AMB=2∠APB，故∠AMB最大，则∠APB最大，只需要圆M与圆C相切于点P时，∠APB最大，则有t2+1+2=所以M(0,1),此时∠MAB=45∘,∴∠MBA=45故选：A.【分析】本题考查圆与圆的位置关系.先设过A，B,P三点的圆的圆心为M，且M(0,t)，根据圆心角与圆周角的关系可得∠AMB最大，则∠APB最大，利用两圆外切时可列出关于t的方程，解方程可求出圆心9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A.由题可得x=B，C，D：而r=i=1由于y与x的相关系数近似为−0.99，故y与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系，同时，y与故选：ACD.【分析】本题考查相关系数的统计学意义.先利用平均数公式计算出x，据此可判断A选项；利用公式求出相关系数r，根据相关系数r的统计学意义，据此可判断B、C、D选项.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：A：将点P(2,22)代入所以抛物线Γ的方程为y2B：由y2=4x知，抛物线的准线方程为C：易知两直线斜率均存在且不为0，设A(x1,y1)即k2x2−(2设C(x3,y3),得x3+x4=2+4S===1当且仅当k=±1，且x1所以△ACF和△BFD面积之和的最小值为8，C正确；D：由选项C的分析知，△ACF和△BFD面积之和的最小值为8，D正确.故选：AD.【分析】本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系.将点P代入抛物线Γ的方程，可求出抛物线Γ的方程为y2=4x，据此可判断AB选项；设A(x1,y1),B(x11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A，因为函数f(x)的图象关于点(1,所以f(−x+1)=−f(x+1)，两边求导数得：f'f'(x+1)=f'(−x+1)B，因为函数g(x)=(x−1)f(x)，则g(2−x)=(1−x)f(2−x)=(1−x)(−f(x))=(x−1)f(x)=g(x)，用x+1替换x，得：g(1−x)=g(1+x)，故g(x)的图象关于直线x=1对称，B错误；C，接上个选项解析中g(1−x)=g(1+x)，两边求导得：则g'(1+x)=−g将x=2代入，得：g'D，因为g(x)的图象关于直线x=1对称，所以g(1−ln1.设h(x)=e则h'又设φ(x)=e则有φ'从而φ(x)在(0,1)上单调递增，则即h'(x)>0,h(x)在故有ex>1+ln(1+x)>1,又因g(x)在(−∞,1]上单调递减，则g(x)在又g(1)=0，故g(e)>g(1+ln1.故选：ACD.【分析】本题考查抽象函数的对称性，应用导数证明不等式.根据题意可推出f(−x+1)=−f(x+1)，两边同时利用复合函数求导可得：f'(x+1)=f'(−x+1)，根据函数的对称性可判断A选项；通过计算可推出g(1−x)=g(1+x)，根据函数的对称性可判断B选项；对式子g(1−x)=g(1+x)，两边同时求导函数可推出g12．【答案】π4；【解析】【解答】解：因为点P(0,22)在又0<φ<π，所以φ=π因为f(x)图象的一个对称中心是Q(π所以ωπ8+π又0<ω<10，所以ω=2，故f(x)=cos(2x+π故答案为：π4；【分析】先根据函数过P点可求出φ=π4，再根据对称中心为Q(π8,13．【答案】28【解析】【解答】解：设E,E1分别为B因为B1D=BD=C1D=CD=又DE1∩EE1=E由CC1⊂平面BB1由BB1=C设EE1中点为H，连接DH，则DH⊥EE1，又平面DH⊂平面DEE1，所以DH⊥平面又EE1=BC=4故几何体的体积为V=V故答案为：28【分析】设E,E1分别为BB1,CC1的中点，连接DE,DE1,EE114．【答案】7【解析】【解答】解：因为Sn两式相减得：Sn−S两边同除以2n+1可得a又S1=a2−所以数列{an2n}是首项为a即an=(n+1)2因为Sn令cn=2所以数列{cn}所以当1≤n≤6时，Sn−(n当n≥7时，Sn即Sn>n故答案为：7.【分析】】本题考查通项与前n项和的关系，等差数列的概念，数列的单调性.根据题意可求出Sn−1=an−2n，利用通项与前n项的关系化简可得：an+1=2an+2n，两边同除以2n+115．【答案】（1）证明：因为3sinCsinA=2−2cos2A=2−2(1−2sin因为A∈(0,π)，则所以3sinC=4sinA，由正弦定理得3c=4a.（2）解：由（1）有3(a+1)=4a，可得a=3,c=4，又由余弦定理可得cosB=a又B∈(0,π)，所以所以△ABC面积为S△ABC【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.

（1）利用余弦的二倍角公式进行展开化简可得：3sinC=4sinA，再利用正弦定理进行角化边可证明结论；（2）根据题意利用（1）的结论可求出a、c的值，再利用余弦定理可求出B，代入三角形的面积计算公式可求出答案.16．【答案】（1）证明：如图，设AC交BD于点F，连接EF，在圆锥PO中，PO⊥底面圆O，所以PO⊥BD，又等边三角形ABD是圆锥底面圆O的内接三角形，AC为直径，所以BD⊥AC，所以AB=ACsinπ3=2可知OF=12OC=1，即F又E是母线PC的中点，所以EF∥PO，所以EF⊥平面ABD.又EF⊂平面BED，所以平面BED⊥平面ABD.（2）解：由（1）EF⊥平面ABD,BD⊥AC，以点F为坐标原点，FA,FB,FE所在直线分别为在等腰三角形PAC中AC=4,又AF=3，所以BF=DF=AFtanπ所以A(3,∴AB设平面ABE的法向量为n=(x则AB⋅n=0,AE⋅n设直线DM与平面ABE所成的角为θ，则sinθ=|cos⟨1+3【解析】【分析】（1）设AC交BD于点F，连接EF，利用圆锥的性质可得PO⊥BD，利用等腰三角形的性质可得：BD⊥AC，通过计算可求出F是OC的中点，利用三角形的中位线可证明EF⊥平面ABD，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明结论；（2）结合（1）的结论，以点F为坐标原点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面ABE的法向量，利用空间向量的夹角公式可求出答案.17．【答案】（1）解：设双曲线C的半焦距为c，由|F1F2|=4所以a2又双曲线C的一条渐近线方程为y=3x，所以解得a=1,故双曲线C的方程为x2（2）解：设直线与双曲线C交于A(x1,因为存在实数λ>0且λ≠1，使得AP=−λ所以(1−x(x整理得：x1−λx2=1−λ得x12同理y1−λy2=4(1−λ)得y12由于双曲线C上的点的坐标满足3x③×3-⑥得3x即3−3λ2=(3x0表示点Q(x0,y0)在直线所以直线A2Q的斜率为【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程可得ba=3（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，Q(x0,y018．【答案】（1）解：记事件Ai表示第i次通过第一关，事件Bi表示第设甲可以进入第三关的概率为P，由题意知P=P(=P(=3（2）解：依题意得Xi+1所以E(XE(X又随机变量X1X105P12所以E(X1)=所以{E(Xi)−10}为等比数列.其中首项为−所以E(Xi)−10=−所以E(X