2024-2025学年湖南省长沙市双城二中高一（上）期末数学试卷（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市双城二中高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=1+loga|x|​,x≤−1(x+1A.(12,1) B.(0,12)2.已知函数f(x)=ln2−x−x3，则不等式A.(−4,2) B.(−∞,2)

C.(−∞,−2)∪(2,+∞) D.(−∞,−4)∪(2,+∞)3.已知函数f(x)=asinx+bcosx，其中a∈R，b∈R，如果对任意x∈R，都有f(x)≠2，那么在下列不等式中一定成立的是(

)A.−4<a+b<4 B.−4<a−b<4 C.a2+b4.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(t,−t)(t>0)，则A.cos2θ>0 B.cos2θ<0 C.sin2θ>0 D.sin2θ<05.下列函数是奇函数且在区间(0,1)上是增函数的是(

)A.y=sinx B.y=3−x C.y=x6.已知集合A={−1,1,2,3,4,5}，B={x∈N|(x−1)(x−5)<0}，则∁AB=(

)A.{3} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{−1,1,5}7.已知锐角φ满足3sinφ−cosφ=1.若要得到函数fx=12A.向左平移7π12个单位长度 B.向左平移π12个单位长度

C.向右平移7π12个单位长度 D.8.“x<1”是“x2−4x+3>0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知f(x)是定义在R上不恒为0的函数，f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且函数y=1x−2的图象的对称中心也是f(x)图象的一个对称中心，则(

)A.点(−2,0)是f(x)的图象的一个对称中心

B.f(x)为周期函数，且4是f(x)的一个周期

C.f(4−x)为偶函数

D.f(31)+f(35)=210.已知定义在R上的函数f(x)满足：对∀α，β∈R，f(α+β)+f(α−β)=2f(α)f(β)，且f(0)=1,f(π2)=−1，则以下结论正确的为A.f(π4)=0 B.f(π)=0 C.f(−x)=f(x)11.已知函数f(x)=3cos2A.函数f(x)的最小正周期为4π

B.点(−2π3,32)是函数f(x)图象的一个对称中心

C.将函数f(x)图象向左平移5π6个单位长度，所得到的函数图象关于y12.下列说法正确的是(

)A.“1a>1b”是“a<b”的充分不必要条件

B.A∩B=⌀是A=⌀的必要不充分条件

C.若a，b，c∈R，则“ac2>bc2”的充要条件是“a>b”

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.已知sinα−2cosα=314.角θ的终边经过点P(4,y)，且sinθ=−35，则tanθ=______．15.已知f(x)是定义在R，且满足f(x+2)=f(x−2)，当x∈[0,4)时，f(x)=|x2−4x+3|，若函数y=f(x)−m在区间[−4,6]上有10个不同零点，则实数m的取值范围是

四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

已知函数f(x)=log54(−x2+2λx+1)的定义域为D，g(x)=x−λx(2)若D=(m,n)，且[g(m)−g(n)]2≤10，求实数17.(本小题12分)

∫如图为函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象，且|CD|=π4，A(−5π12,−2)．

(1)求ω，φ的值；

(2)将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移3π418.(本小题12分)

已知函数f(x)=2sinx(3cosx−sinx)+1，x∈R．

(1)求曲线C：y=f(x)的对称中心；

(2)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边，且f(A2)=2.19.(本小题12分)

请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同．

(1)如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．

(2)如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．

20.(本小题12分)

某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：年份201420152016201720182019人数/千人208221352203227623392385(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数量的变化趋势；

(2)研究人员用函数P(t)=2000+4504.4878e−0.6554t+1拟合该地的人口数量，其中t的单位是年，2014年初对应时刻t=0，P(t)P)的单位是干人，设P(t)的反函数为T(x)，求T(2400)的值21.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．

(1)若AB⋅BC=−32，b=3，求a+c的值；

参考答案1.B

2.D

3.D

4.D

5.A

6.D

7.A

8.A

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.BD

13.−14.−315.(0,1)

16.解：(1)当λ=34时，f(x)=log54(−x2+32x+1)，

由−x2+32x+1=(−x+2)(x+12)>0，解得−12<x<2，

即函数f(x)的定义域为(−12,2)，

令t=−x2+32x+1，则t∈(0,2516],

从而f(x)的值域为(−∞,2]．

(2)由于D=(m,n)，且Δ=4λ2+4>0，

所以方程−x217.解：(1)根据题意得，T4=π4，故T=π，ω=2πT=2，故f(x)=2cos(2x+φ)．

将A(−5π12,−2)代入，得2×(−5π12)+φ=−π+2kπ(k∈Z)，解得φ=−π6+2kπ(k∈Z)，

又|φ|<π2，故φ=−π6．

(2)依题意，g(x)=2cos[23(x−3π4)−π6]=2cos(23x−2π3)．

函数y=g(x)−a在区间[−π,π2]的零点个数即为函数g(x)的图象与直线y=a在[−π,π2]上的交点个数．

当x∈[−π,π2]时，23x−2π3∈[−4π3,−π3]，结合余弦函数图象可知，

18.解：(1)由题意，得f(x)=23sinxcosx−2sin2x+1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)．

令2x+π6=kπ，k∈Z，得x=−π12+kπ2，k∈Z，

∴曲线y=f(x)的对称中心为(−π12+kπ2,0)，k∈Z．

(2)f(A2)=2sin(A+π6)=2，即sin(A+π6)=1．

∵A是锐角三角形ABC的内角，

∴A+19.解：(1)设∠BOC=α，(0<α<π2)；

∴OB=cosα，BC=sinα；

∵S=2OB⋅BC，

∴S═2sinαcosα=sin2α；

∴当α=π4时，即OB=22时，矩形面积最大为1；

(2)依题意可得：椭圆方程为：x24+y2=1,(y≥0)；

设：点C坐标为(m,n)即：OB=m，BC=n；

∴S=2OB⋅BC=2mn；

∵点C为椭圆上的点；

∴m20.解：(1)2014年至2019年每年该地人口的增长数量为2385−2082=303千人，

3135−2082=53，2203−2135=68，2276−2203=73，2339−2276=63，2385−2339=46，

由上述数据可得从2014年到2019年每年人口增长数量呈先增加后减少的变化趋势，每一年人口总数呈逐渐递增的变化趋势，

(2)由P(t)=2000+4504.4878e−0