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文档简介
第四节直线、平面平行的判定及其性质时间:45分钟分值:100分eq\x(基)eq\x(础)eq\x(必)eq\x(做)一、选择题1.平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是()A.AB∥CDB.AD∥CBC.AB与CD相交D.A,B,C,D四点共面解析充分性:A,B,C,D四点共面,由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性明显成立.答案D2.一条直线l上有相异三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是()A.l∥αB.l⊥αC.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α解析l∥α时,直线l上任意点到α的距离都相等;l⊂α时,直线l上全部的点到α的距离都是0;l⊥α时,直线l上有两个点到α距离相等;l与α斜交时,也只能有两个点到α距离相等.故选D.答案D3.(2021·石家庄质检一)设a,b表示直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若a⊥α且a⊥b,则b∥αB.若γ⊥α且γ⊥β,则α∥βC.若a∥α且a∥β,则α∥βD.若γ∥α且γ∥β,则α∥β解析对于A选项,若a⊥α且a⊥b,则b∥α或b⊂α,故A选项不正确;对于B选项,若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β或α与β相交,故B选项不正确;对于C选项,若a∥α且a∥β,则α∥β或α与β相交,故C选项不正确.排解A、B、C三选项,故选D.答案D4.设α,β,γ是三个互不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,下列命题中正确的是()A.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γB.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nC.若α⊥β,m⊥α,则m∥βD.若α∥β,m⊄β,m∥α,则m∥β解析对于A,若α⊥β,β⊥γ,α,γ可以平行,也可以相交,A项错;对于B,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m,n可以平行,可以相交,也可以异面,B项错;对于C,若α⊥β,m⊥α,则m可以在平面β内,C项错;易知D项正确.答案D5.用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题的序号是()A.①② B.②③C.①④ D.③④解析由平行公理可知①正确;②不正确,若三条直线在同一平面内,则a∥c;③不正确,a与b有可能平行,也有可能异面或相交;由线面垂直的性质可知④正确.答案C6.如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1A.不存在B.有1条C.有2条D.有很多条解析平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有很多条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1答案D二、填空题7.在四周体A—BCD中,M、N分别是△ACD、△BCD的重心,则四周体的四个面中与MN平行的是________.解析如图所示,取CD的中点E.则EMMA=12,ENBN=12,所以MN∥AB.又MN⊄平面ABD,MN⊄平面ABC,AB⊂平面ABD,AB⊂平面ABC,所以MN∥平面ABD,MN∥平面ABC.答案平面ABD与平面ABC8.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段解析∵EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,∴EF∥AC,∴F为DC的中点.故EF=eq\f(1,2)AC=eq\r(2).答案eq\r(2)9.已知正方体ABCD—A1B1C1D1①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.解析连接AD1,BC1,由于AB綊C1D1,所以四边形AD1C1B为平行四边形,故AD1∥BC1,从而①正确;易证BD∥B1D1,AB1∥DC1,又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,故平面AB1D1∥平面BDC1,从而②正确;由图易知AD1与DC1异面,故③错误;因AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1,故AD1∥平面BDC1,故④答案①②④三、解答题10.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1(1)BF∥HD1;(2)EG∥平面BB1D1D;(3)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)如图所示,取BB1的中点M,易证四边形HMC1D1是平行四边形,∴HD1∥MC1.又∵MC1∥BF,∴BF∥HD1.(2)取BD的中点O,连接EO,D1O,则OE綊eq\f(1,2)DC,又D1G綊eq\f(1,2)DC,∴OE綊D1G∴四边形OEGD1是平行四边形,∴GE∥D1O.又D1O⊂平面BB1D1D,EG⊄平面BB1D1D,∴EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知D1H∥BF,又BD∥B1D1,B1D1,HD1⊂平面HB1D1,BF,BD⊂平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,DB∩BF=B,∴平面BDF∥平面B1D1H.11.如图所示,在正四棱锥P—ABCD中,底面是边长为2的正方形,侧棱PA=eq\r(6),E为BC的中点,F为侧棱PD上的一动点.(1)求证:AC⊥BF;(2)当直线PE∥平面ACF时,求三棱锥F—ACD的体积.解(1)证明:连接BD,设AC∩BD=O,连接PO,则PO⊥平面ABCD.∴AC⊥PO.∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.又BD∩PO=O,BD,PO⊂平面PBD,∴AC⊥平面PBD.又BF⊂平面PBD,∴AC⊥BF.(2)连接DE,交AC于点G,连接FG.∵PE∥平面ACF,∴PE∥FG,∴eq\f(DG,DE)=eq\f(DF,DP).又CE=eq\f(1,2)BC=eq\f(1,2)AD,BC∥AD,∴eq\f(CE,AD)=eq\f(GE,DG)=eq\f(1,2).∴eq\f(DG,DE)=eq\f(2,3),∴eq\f(DF,DP)=eq\f(2,3).过F作FH⊥DB,垂足为H,则FH∥OP,∴eq\f(FH,OP)=eq\f(DF,DP)=eq\f(2,3),∴FH=eq\f(2,3)OP.∵正方形ABCD的边长为2,∴AO=eq\r(2).∴OP=eq\r(PA2-AO2)=2.∴FH=eq\f(4,3).∴三棱锥F—ACD的体积VF—ACD=eq\f(1,3)S△ACD·FH=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×22×eq\f(4,3)=eq\f(8,9).eq\x(培)eq\x(优)eq\x(演)eq\x(练)1.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()eq\o(\s\up7(),\s\do5(①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(③))eq\o(\s\up7(),\s\do5(④))A.①③ B.②③C.①④ D.②④解析对于图形①:平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP,对于图形④:AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP,图形②,③都不行以,故选C.答案C2.α,β,γ是三个平面,a,b是两条直线,有下列三个条件:①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.假如命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的全部序号).解析①a∥γ,b⊂γ,b⊂β,β∩γ=b⇒a∥b(线面平行的性质).②如图所示,在正方体中,α∩β=a,b⊂γ,a∥γ,b∥β,而a、b异面,故②错.③b∥β,b⊂γ,a⊂γ,a⊂β,β∩γ=a⇒a∥b(线面平行的性质).答案①③3.过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A解析过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC、BC、A1C1、B1C1的中点分别为E、F、E1、F1,则直线EF、E1F1、EE1、FF1、E1F、EF1答案64.(2022·湖南四校联考)如图①,圆O的直径AB=4,点C,D为圆O上两点,且∠CAB=45°,∠DAB=60°,F为弧BC的中点.沿直径AB折起,使两个半圆所在平面相互垂直,如图②.(1)求证:OF∥平面ACD;(2)求二面角C—AD—B的余弦值;(3)在弧BD上是否存在点G,使得FG∥平面ACD?若存在,试指出点G的位置;若不存在,请说明理由.解(1)如图,连接CO,∵∠CAB=45°,∴CO⊥AB.又F为弧BC的中点,∴∠FOB=45°,∴OF∥AC.∵OF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴OF∥平面ACD.(2)过O作OE⊥AD于点E,连接CE.∵CO⊥AB,平面ABC⊥平面ABD.∴CO⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD,∴CO⊥AD.∴AD⊥平面CEO,AD⊥CE,则∠CEO是二面角C—AD—B的平面角.∵∠OAD=60°,OA=2,∴OE=eq\r(3
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