【同步辅导】2021高中数学北师大版必修五导学案：《正弦定理》

第1课时正弦定理1.把握正弦定理及其证明过程.2.依据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.3.能依据正弦定理及三角变换公式推断三角形的外形.古埃准时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了争辩尼罗河水运行的规律,预备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想测量某处河面的宽度(如图),假如古埃及人通过测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的呢?问题1:在上面的问题中,△ABC的已知元素有和边.

若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则BC=,CD=.

解三角形:的过程.

问题2:正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即.

问题3:正弦定理的拓展:①a∶b∶c=;

②设R为△ABC外接圆的半径,则asinA=bsinB=问题4:在△ABC中,已知a、b和A时,解的状况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式①

②

③

解的个数一解两解一解一解1.在△ABC中,下列等式总能成立的是().A.acosC=ccosA B.bsinC=csinAC.absinC=bcsinB D.asinC=csinA2.已知△ABC中,a=4,b=5,A=30°.下列对三角形解的状况的推断中,正确的是().A.一解 B.两解 C.无解 D.一解或无解3.在△ABC中,已知a=52,c=10,A=30°,则B等于.

4.在△ABC中,已知b=5,B=π4,tanA=2,求sinA和边利用正弦定理推断三角形的外形在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试推断△ABC的外形.已知两角及其中一角的对边,解三角形在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.已知两边及其中一边的对角,解三角形在△ABC中,a=3,b=2,B=45°.求角A,C和边c.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,则△A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则A=,b=,c=.

在△ABC中,已知a=6,c=2,A=60°,求B、C及b的值.1.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则().A.B=45°或135° B.B=135°C.B=45° D.以上答案都不对2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=6,B=120°,则a等于().A.6 B.2 C.3 D.23.在△ABC中,cosA=12,cosB=32,则△ABC中三边的比值a∶b∶c=4.在△ABC中,若B=60°,AC=3,AB=6,求A.(2021年·北京卷)在△ABC中,a=3,b=5,sinA=13,则sinB等于()A.15 B.59 C.5考题变式(我来改编):其次章解三角形第1课时正弦定理学问体系梳理问题1:∠ABC、∠BACAB233已知三角形的几个元素求其他元素问题2:asinA=b问题3:sinA∶sinB∶sinC2R问题4:a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b基础学习沟通1.D依据正弦定理有:asinA=csinC,所以asinC=csinA2.B由于a,b,A的关系满足bsinA<a<b,故有两解.3.105°或15°依据正弦定理得:sinC=csinAa=10sin30°52=22,∴C=45°或135°4.解:由于△ABC中,tanA=2,所以A是锐角,又sinAcosA=2,sin2A+cos2联立解得sinA=255,再由正弦定理得asinA=bsinB重点难点探究探究一:【解析】在△ABC中,依据正弦定理:asinA=bsinB=c∵sin2A=sin2B+sin2C,∴(a2R)2=(b2R)2+(即a2=b2+c2,∴A=90°,∴B+C=180°-A=90°.由sinA=2sinBcosC,得sin90°=2sinBcos(90°-B),∴sin2B=12∵B是锐角,∴sinB=22,∴B=45°,C=45°∴△ABC是等腰直角三角形.【小结】(1)推断三角形的外形,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手.从条件动身,利用正弦定理进行代换、转化,求出边与边的关系或求出角与角的关系,从而作出精确     推断.(2)推断三角形的外形,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等,要特殊留意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区分.探究二:【解析】∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.由asinA=csinC得a=csinA由bsinB=csinC得b=csinBsin∵sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=2+64,∴b=20×2+64=【小结】解三角形时,假如已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.探究三:【解析】由正弦定理得asinA=bsinB,3sinA=2sin45°,∴sinA=32,∴A=60°,由正弦定理得:c=bsinCsin[问题]本题中依据sinA=32得出的角A肯定是60°吗[结论]角A不肯定是60°,∵a>b,∴角A还可能是120°.于是正确的解答如下:由正弦定理得asinA=bsinB,∴sinA=32∵a>b,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c=bsinCsin当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c=bsinCsin【小结】已知三角形的两个角求第三个角时留意三角形内角和定理的运用,求边时可用正弦定理的变式,把要求的边用已知条件表示出来再代入计算.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时,首先运用正弦定理求出另一边对角的正弦值,再利用三角形中大边对大角看能否推断所求的这个角是锐角,当已知的角为大边对的角时,则能推断另一边所对的角为锐角;当已知小边对的角时,则不能推断.思维拓展应用应用一:B由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径),∴sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,即tan应用二:45°464(3+1)A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由正弦定理bsinB=asinA,得b=asinBsinA=8×sin60°sin45°=46,由asinA=csin应用三:由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得sinC=∵c<a,∴C<A=60°,∴C=45°,∴B=180°-A-C=180°-60°-45°=75°,b=asinBsinA=6sin75°sin60°=22sin(30°基础智能检测1.C由正弦定理得:sinB=22,∵a>b,∴B=45°2.D由正弦定理6sin120°=2sinC⇒sinC=12,于是C=30°⇒A=3.3∶1∶2依据cosA=12,cosB=32可得:A=60°,B=3