【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第2章-第3节-函数的奇偶性与周期性

其次章第三节一、选择题1．(文)(2022·湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝eq\f(1,x2) B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x[答案]A[解析]∵f(x)＝x3为奇函数，f(x)＝2－x为非奇非偶函数，∴排解C、D；又f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，排解B，选A．(理)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x|x|[答案]D[解析]本题考查了函数的性质．由于y＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x≥0,－x2x<0))，是奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数，故选D．解答本题可用排解法，选项A不具备奇偶性，选项B在(－∞，＋∞)上是减函数，选项C在(－∞，＋∞)上不具备单调性．2．下面四个结论中，正确命题的个数是()①偶函数的图像确定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数确定是f(x)＝0(x∈R)．A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]①错误，如函数f(x)＝eq\f(1,x2)是偶函数，但其图像与y轴没有交点；②错误，由于奇函数的定义域可能不包含x＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是()[答案]B[解析]本小题考查函数的图像，奇偶性与周期性．y＝f(x)为偶函数，周期T＝2.4．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，假如x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，则有()A．f(－x1)＋f(－x2)>0 B．f(x1)＋f(x2)<0C．f(－x1)－f(－x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0[答案]D[解析]∵x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1<x2，又f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴f(－x1)<f(x2)，又f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x1)－f(x2)<0.选D．5．(文)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．3 B．1C．－1 D．－3[答案]D[解析]∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即0＝20＋b，∴b＝－1，故f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.(理)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有()A．f(2)<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f(2)C．f(2)<g(0)<f(3) D．g(0)<f(2)<f(3)[答案]D[解析]由题意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，g(x)＝－eq\f(ex＋e－x,2)，g(0)＝－1，函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)在R上是增函数，且f(3)>f(2)＝eq\f(e2－e－2,2)>0，因此g(0)<f(2)<f(3)，选D．6．(2022·福建高考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)[答案]D[解析]本题考查函数的基本性质，由x>0得，x2＋1>1，当x≤0时，cosx∈[－1,1]，故f(x)∈[－1，＋∞)选D．二、填空题7．(文)若f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋a是奇函数，则a＝______.[答案]eq\f(1,2)[解析]考查函数的奇偶性．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，即eq\f(1,2－1－1)＋a＝－eq\f(1,2－1)－a，∴a＝eq\f(1,2).(理)若函数f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k＝________.[答案]±1[解析]解法1若定义域中包含0，则f(0)＝0，解得k＝1；若定义域中不包含0，则k＝－1，验证得此时f(x)也是奇函数．解法2由f(－x)＋f(x)＝0恒成立，解得k＝±1.[点评]解此题时，简洁受习惯影响漏掉k＝－1.生疏的地方也有盲点，学问不全面、平常练习偷懒、保量不保质、解题后不留意反思，是面对“意外”题型无法应对的真正缘由．8．(文)(2022·新课标Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.[答案]3[解析]本题考查函数奇偶性、对称性及周期性的综合应用．∵f(x)＝f(x＋4)，∴周期为4，∴f(－1)＝f(3)＝3，找出周期是关键．(理)(2022·新课标Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．[答案](－1,3)[解析]本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，确定值不等式的解法．∵偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单减，且f(2)＝0∴f(x)>0的解集为|x|<2∴f(x－1)>0的解集为|x－1|<2，解得－1<x<3.故x∈(－1,3)．9．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝eq\f(1＋fx,1－fx)，若f(1)＝2015，则f(103)＝________.[答案]－eq\f(1,2015)[解析]∵f(x＋1)＝eq\f(1＋fx,1－fx)，∴f(x＋2)＝eq\f(1＋fx＋1,1－fx＋1)＝eq\f(1＋\f(1＋fx,1－fx),1－\f(1＋fx,1－fx))＝－eq\f(1,fx).∴f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4.∵f(1)＝2015.∴f(103)＝f(25×4＋3)＝f(3)＝－eq\f(1,f1)＝－eq\f(1,2015).三、解答题10．(文)已知函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．[解析]由f(－x)＝－f(x)，得－bx＋c＝－(bx＋c)，∴c＝0.又f(1)＝2，得a＋1＝2b，而f(2)<3，得eq\f(4a＋1,a＋1)<3，解得－1<a<2，又a∈Z，∴a＝0或a＝1.若a＝0，则b＝eq\f(1,2)∉Z，应舍去；若a＝1，则b＝1∈Z，∴a＝1，b＝1，c＝0.(理)已知f(x)＝eq\f(x－a,x2＋bx＋1)是奇函数．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间，并加以证明；(3)求f(x)(x>0)的最值．[分析]利用f(－x)＝－f(x)求a，b的值．[解析](1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立，即eq\f(x－a,x2＋bx＋1)－eq\f(x＋a,x2－bx＋1)＝0恒成立，则2(a＋b)x2＋2a＝0对任意的实数x恒成立∴a＝b＝0.(2)∵f(x)＝eq\f(x,x2＋1)(x∈R)是奇函数，∴只需争辩(0，＋∞)上f(x)的单调区间即可．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x\o\al(2,1)＋1)－eq\f(x2,x\o\al(2,2)＋1)＝eq\f(x2－x1x1x2－1,x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2,2)＋1).∵xeq\o\al(2,1)＋1>0，xeq\o\al(2,2)＋1>0，x2－x1>0，而x1，x2∈[0,1]时，x1x2－1<0，∴当x1，x2∈[0,1]时，f(x1)－f(x2)<0，函数y＝f(x)是增加的；当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)>0，函数y＝f(x)是削减的．又f(x)是奇函数，∴f(x)在[－1,0]上是增加的，在(－∞，－1]上是削减的．又x∈[0,1]，u∈[－1,0]时，恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在[－1,1]上是增加的．(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增，在[1，＋∞)上递减，则f(x)在x＝1处可取得最大值.∴f(1)＝eq\f(1,2)，∴函数的最大值为eq\f(1,2)，无最小值．[点评](1)求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x取了某个值时的对应值，故函数取得最值时，确定有相应的x的值.一、选择题1．(2022·山东高考)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是A．f(x)＝eq\r(x) B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanx D．f(x)＝cos(x＋1)[答案]D[解析]本题属于赐予新定义题目，关键理解实质．∵f(x)＝f(2a－x)，∴f(x)的对称轴为x＝a≠0即选项为有非零的对称轴的函数．A、B、C不具有轴对称性．故选D．D选项对称轴为x＝kπ－1，k∈Z2．(文)函数f(x)＝eq\f(4x＋1,2x)的图像()A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称[答案]D[解析]∵f(－x)＝2－x＋eq\f(1,2－x)＝2x＋eq\f(1,2x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称．(理)已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．以上都有可能[答案]A[解析]由x1＋x2＜0，得x1＜－x2.又f(x)为减函数，∴f(x1)＞f(－x2)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(x1)＞－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)＞0.同理f(x2)＋f(x3)＞0，f(x1)＋f(x3)＞0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0.二、填空题3．设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________.[答案]－1[解析]本题考查函数的周期性，转化与化归思想．f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.4．定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增加的，下列关于f(x)的推断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图像关于直线x＝2对称；③f(x)在[0,1]上是增加的；④f(x)在[1,2]上是削减的；⑤f(4)＝f(0)．其中推断正确的序号是________．[答案]①②⑤[解析]f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)关于直线x＝1对称，同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)关于直线x＝2对称．由此可得①②⑤正确．三、解答题5．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．[解析]由偶函数性质知f(x)在[0,2]上单调递增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，因此f(1－m)<f(m)等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,|1－m|<|m|.))解得：eq\f(1,2)<m≤2.因此实数m的取值范围是(eq\f(1,2)，2]．6．(文)已知函数f(x)，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．且当x>0时，f(x)<0恒成立．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是递减的；(3)若f(1)＝－eq\f(1,2)，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．[解析](1)∵函数定义域为R，∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)设x1<x2，且x1、x2∈R.则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减．(3)由(2)知f(x)在[－2,6]上为减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－eq\f(1,2)，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1，∴f(－2)＝－f(2)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f∴所以f(x)在区间[－2,6]上的最大值为