【创新设计】2022届-数学一轮(文科)-北师大版-课时作业-第八章-立体几何-1-

第1讲简洁几何体的三视图、直观图、表面积与体积基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2022·贵阳适应性监测)一个简洁几何体的主视图、左视图分别为如图所示的矩形、正方形，则其俯视图不行能为 ()A．矩形 B．直角三角形C．椭圆 D．等腰三角形解析依题意，题中的几何体的俯视图的长为3、宽为2，因此结合题中选项知，其俯视图不行能是等腰三角形，故选D.答案D2．(2021·合肥质量检测)某简洁几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ()A．12＋4eq\r(2) B．18＋8eq\r(2)C．28 D．20＋8eq\r(2)解析由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为eq\f(1,2)×2×2×2＋4×2×2＋4×2eq\r(2)＝20＋8eq\r(2)，故选D.答案D3.(2022·西安模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的全部棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为 ()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).答案A4．(2022·四川卷)某三棱锥的左视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A．3 B．2 C.eq\r(3) D．1解析由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形．由左视图可知，三棱锥的高为eq\r(3).故该三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.答案D5．(2022·新课标全国Ⅱ卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.eq\f(17,27) B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27) D.eq\f(1,3)解析该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为π×22×4＋π×32×2＝34π(cm3)，圆柱体毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm3)，所以切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm3)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为eq\f(20π,54π)＝eq\f(10,27)，故选C.答案C二、填空题6.如图所示，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号)．解析由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．答案②③7．(2022·山东卷)一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析设六棱锥的高为h，斜高为h0.由于该六棱锥的底面是边长为2的正六边形，所以底面面积为eq\f(1,2)×2×2×sin60°×6＝6eq\r(3)，则eq\f(1,3)×6eq\r(3)h＝2eq\r(3)，得h＝1，所以h0＝eq\r(（\r(3)）2＋12)＝2，所以该六棱锥的侧面积为eq\f(1,2)×2×2×6＝12.答案128．(2022·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，并由三视图的外形特征及数据，可推知PA⊥面ABC，△ABC为等腰直角三角形，且PA＝2，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝eq\r(2).所以最长的棱为PC，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝2eq\r(2).答案2eq\r(2)三、解答题9．如图是一个几何体的主视图和俯视图．(1)试推断该几何体是什么几何体；(2)画出其左视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积．解(1)正六棱锥．(2)其左视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝eq\r(3)a，AD的长是正六棱锥的高，即AD＝eq\r(3)a，∴该平面图形的面积S＝eq\f(1,2)eq\r(3)a·eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a2.(3)V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)a2×eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a3.10．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝eq\r(2)cm，A1D1＝AD＝2cm，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)，体积V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．力量提升题组(建议用时：25分钟)11．(2021·成都诊断)如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．7πcm2 B．8πcm2C．9πcm2 D．11πcm2解析依题意，题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分，其中该圆柱的底面半径是1cm、高是3cm，该球的半径是1cm，因此该几何体表面积等于eq\f(1,2)×(4π×12)＋π×12＋2π×1×3＝9π(cm2)，故选C.答案C12．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为 ()A．3eq\r(3) B．2eq\r(3) C.eq\r(3) D．1解析由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝eq\r(3)，SC＝4，所以SA＝SB＝2eq\r(3)，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×4＝eq\r(3).答案C13．(2022·江西统一检测)已知球O的体积等于eq\f(125π,6)，假如长方体的八个顶点都在球O的球面上，那么这个长方体的表面积的最大值等于________．解析由球O的体积为eq\f(125π,6)＝eq\f(4,3)πR3，得球O的半径R＝eq\f(5,2).设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2＋y2＋z2＝(2R)2＝25，所以该长方体的表面积2xy＋2xz＋2yz≤2(x2＋y2＋z2)＝50，当且仅当x＝y＝z时取等号，所以表面积的最大值为50.答案5014．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体D－ABC的体积．(1)证明在题图中，可得AC＝BC＝2eq\r(2)，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，