2023-2024学年广东省东莞市虎门外语学校九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年广东省东莞市虎门外语学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志（）A． B． C． D．2．（3分）一元二次方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根3．（3分）下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件 B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖 C．“明天降雨的概率是50%表示明天有半天都在降雨” D．“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件4．（3分）若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．16：815．（3分）如图，AB、AC是⊙O的弦，D是CA延长线上的一个点，∠ADB＝27°，则∠BOC的度数为（）A．100° B．104° C．108° D．112°6．（3分）圆锥的底面直径为80cm，母线长为90cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．180° B．160° C．120° D．90°7．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2（x+2）2+3平移得到，那么平移的步骤是（）A．右移3个单位长度，再下移4个单位长度 B．右移3个单位长度，再上移4个单位长度 C．左移3个单位长度，再下移4个单位长度 D．左移3个单位长度，再上移4个单位长度8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，连结BB′，则△A′B′C的周长为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则⊙O的内接正三角形ACE的边长为（）A． B． C． D．610．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴负半轴的交点坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜0，则下列结论中，正确的有（）①abc＞0；②b2＞4ac；③9a+3b+c＜0；④3a+c＜0；⑤若，且x1≠x2，则x1+x2＝3．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：（每小题3分，共15分）11．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右个．12．（3分）在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同家公司出席了这次交易会？13．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，则该圆锥的侧面积为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，以点C为圆心，分别交AC，BC于D，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为．三、解答题（一）（每小题5分，共10分）16．（5分）计算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．17．（5分）若关于x的一元二次方程x2+bx﹣6＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根．四、解答题（二）（每小题7分，共21分）18．（7分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．（1）画出△ABC关于原点对称图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B经过的路径长度（结果保留π）．19．（7分）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，B转动，测量知BC＝8cm，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）20．（7分）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）（呈碱性）中的一种．（1）小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？（2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率．五、解答题（三）（每小题8分，共24分）21．（8分）每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节．已知某果园2018年的脐橙销量为5万千克，2020年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等．（1）求销量增长率．（2）某微商从果园以90元/箱从果园进货，再以110元/箱卖出，每周可以卖出100箱．该微商想提价销售，每周销量减少4箱，设每周销售脐橙获利W元（元）与售价x（元/箱）之间的函数关系式，这周的利润最大．22．（8分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．23．（8分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接OE、DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，求AD的长；六、解答题（四）（每小题10分，共20分）24．（10分）有一张半径为2的圆形纸片．（1）如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，然后平铺展开，则∠AOB的大小是；在⊙O上任取点C（异于A，B），则∠ACB的大小是；（2）如图（2），将纸片沿一条弦AB翻折，使其劣弧，作出直径AC，则图中阴影部分的面积是；（3）如图（3），AB是⊙O的直径，将劣弧，交AB于点D，再将劣弧，交BC于点E．若点E恰好是翻折后的劣弧的中点25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P；（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，请求出点M的坐标；若不存在

2023-2024学年广东省东莞市虎门外语学校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案BCDDCBADCB一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，所以它们不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合；故选：B．2．（3分）一元二次方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣8×1×3＝﹣11，∴方程无实数根．故选：C．3．（3分）下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件 B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖 C．“明天降雨的概率是50%表示明天有半天都在降雨” D．“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件【解答】解：A、打开电视，故A不符合题意；B、某种彩票中奖概率为10%是指买十张有可能中奖；C、明天降雨的概率是50%表示明天有可能降雨”；D、“掷一次骰子，故D符合题意；故选：D．4．（3分）若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．16：81【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，∴△ABC与△DEF的面积比为16：81．故选：D．5．（3分）如图，AB、AC是⊙O的弦，D是CA延长线上的一个点，∠ADB＝27°，则∠BOC的度数为（）A．100° B．104° C．108° D．112°【解答】解：∵AD＝AB，∠ADB＝27°，∴∠ADB＝∠ABD＝27°，∴∠BAC＝∠ADB+∠ABD＝54°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×50°＝108°．故选：C．6．（3分）圆锥的底面直径为80cm，母线长为90cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．180° B．160° C．120° D．90°【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n，由题意得：＝80π，解得：n＝160，故选：B．7．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2（x+2）2+3平移得到，那么平移的步骤是（）A．右移3个单位长度，再下移4个单位长度 B．右移3个单位长度，再上移4个单位长度 C．左移3个单位长度，再下移4个单位长度 D．左移3个单位长度，再上移4个单位长度【解答】解：函数y＝﹣2（x﹣1）6﹣1的图象可由函数y＝﹣2（x+6）2+3的图象平移得到，那么平移的步骤是右移6个单位，故选：A．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，连结BB′，则△A′B′C的周长为（）A． B． C． D．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∴AB＝2AC＝4，，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，∴△A′B′C≌△ABC，∴△A′B′C的周长等于△ABC的周长，即，故选：D．9．（3分）如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则⊙O的内接正三角形ACE的边长为（）A． B． C． D．6【解答】解：连接OB交AC于H．在正六边形ABCDEF中，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴，∴OB⊥AC，∴∠ABH＝∠CBH＝60°，AH＝CH，∴，∴，故选：C．10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴负半轴的交点坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜0，则下列结论中，正确的有（）①abc＞0；②b2＞4ac；③9a+3b+c＜0；④3a+c＜0；⑤若，且x1≠x2，则x1+x2＝3．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①由图可知抛物线开口向下，与y轴的交点在原点上方，c＞0，又∵对称轴为直线x＝1，即，∴b＝﹣2a＞7，∴abc＜0，①错误；②由图可知抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣2ac＞0，即b2＞3ac，②正确；④由图可知当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＝a﹣（﹣3a）+c＝3a+c＜0，④正确；③∴4a+3b+c＝9a+6（﹣2a）+c＝3a+c＜7，③正确；⑤∵，∴，∴a（x1+x2）（x4﹣x2）+b（x1﹣x5）＝0，∵x1≠x5，即x1﹣x2≠4，∴a（x1+x2）+b＝4，∴，⑤错误，正确的有：②③④，共3个．故选：B．二、填空题：（每小题3分，共15分）11．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右6个．【解答】解：由题意可得，20×0.3＝4（个），即袋子中红球的个数大约有6个，故答案为：6．12．（3分）在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同13家公司出席了这次交易会？【解答】解：设有x家公司出席了这次交易会，依题意，得x（x﹣5）＝78整理得：x2﹣x﹣156＝0解得：x6＝13，x2＝﹣12（舍去）答：共有13家公司参加商品交易会．故答案为：13．13．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，7），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），所以当﹣6＜x＜3时，y＞0．故答案为﹣5＜x＜3．14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，则该圆锥的侧面积为20π．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，∴AB＝＝6，∵以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，∴圆锥的母线长为5，底面圆的半径为6，∴该圆锥的侧面积＝×5π×4×5＝20π．故答案为：20π．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，以点C为圆心，分别交AC，BC于D，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为．【解答】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，BQ，∵AC＝9，CP＝3，∴＝，∵CP＝4，CQ＝1，∴＝，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ＝AP，∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，∴当B、Q、P三点共线时，，在Rt△BCQ中，BC＝4，∴QB＝，∴PA+PB的最小值，故答案为：．三、解答题（一）（每小题5分，共10分）16．（5分）计算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．【解答】解：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°＝2×﹣+×＝﹣+＝．17．（5分）若关于x的一元二次方程x2+bx﹣6＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根．【解答】解：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t＝﹣b，2t＝﹣6，解得t＝﹣3，b＝1，即b的值为6，方程的另一个根为﹣3．四、解答题（二）（每小题7分，共21分）18．（7分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．（1）画出△ABC关于原点对称图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B经过的路径长度（结果保留π）．【解答】解：（1）如图所示，A1坐标为（﹣2，8），（2）如图所示．如图所示，A2坐标为（4，3），（3）∵，∴B经过的路径长度：．19．（7分）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，B转动，测量知BC＝8cm，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）【解答】解：如图，过点B，垂足分别为M、N，在Rt△ABM中，∠A＝60°，∴BM＝AB•sinA＝16×＝8（cm），∵∠ABM＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝50°，∴∠CBD＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，在Rt△BCD中，BC＝8cm，∴BD＝BC•sin70°≈5×0.94＝7.52（cm），CN＝DM＝BM﹣BD＝6﹣7.52≈8.3（cm），答：点C到AE的距离约为6.8cm．20．（7分）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）（呈碱性）中的一种．（1）小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？（2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率．【解答】解：（1）∵酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，∴小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 ，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红，∴结果变红的概率：＝；（2）将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）分别记作A，B，C，DABCDA﹣（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）﹣（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）﹣（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）﹣由表知，共有12种可能出现的结果、5瓶不变色有（A，（A，（B，（B，（C，（C，（D，（D，1瓶变红、1瓶不变色的概率为：＝．五、解答题（三）（每小题8分，共24分）21．（8分）每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节．已知某果园2018年的脐橙销量为5万千克，2020年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等．（1）求销量增长率．（2）某微商从果园以90元/箱从果园进货，再以110元/箱卖出，每周可以卖出100箱．该微商想提价销售，每周销量减少4箱，设每周销售脐橙获利W元（元）与售价x（元/箱）之间的函数关系式，这周的利润最大．【解答】解：（1）由题意，设销量增长率为x，∴5（1+x）5＝7.2．∴x＝5.2或x＝﹣2.4（不合题意，舍去）．∴0.2＝20%．答：销量增长率为20%．（2）由题意，每周销售脐橙获利W元，∴W＝（x﹣90）[100﹣7（x﹣110）]．∴W＝﹣4x2+900x﹣48600．∴W＝﹣7x2+900x﹣48600＝﹣4（x5﹣225x+）+2025＝﹣4（x﹣）2+2025．∴当每箱售价为112.5元时，这周利润最大为2025元．22．（8分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽△BED，故，即，解得：BC＝8；（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝4.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴，解得：AG＝1.2（m），答：灯泡到地面的高度AG为2.2m．23．（8分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接OE、DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，求AD的长；【解答】（1）证明：连接BD，OD， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，在Rt△BDC中，点E是BC的中点，∴，又∵OB＝OD，OE＝OE，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵D在⊙O上∴DE是⊙O的切线．（2）解：由（1）中结论，得BC＝2DE＝10，在Rt△BDC中，，∴，∵∠A+∠C＝90°，∠A+∠ABD＝90°，∴∠C＝∠ABD，又∵∠ADB＝∠BDC＝90°，∴△ADB∽△BDC，∴，∴．六、解答题（四）（每小题10分，共20分）24．（10分）有一张半径为2的圆形纸片．（1）如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，然后平铺展开，则∠AOB的大小是90°；在⊙O上任取点C（异于A，B），则∠ACB的大小是45°或135°；（2）如图（2），将纸片沿一条弦AB翻折，使其劣弧，作出直径AC，则图中阴影部分的面积是；（3）如图（3），AB是⊙O的直径，将劣弧，交AB于点D，再将劣弧，交BC于点E．若点E恰好是翻折后的劣弧的中点【解答】解：（1）根据折叠了2次，则∠AOB＝90°，如图（1）所示，当点C在优弧，，当点C在上时，故答案为：90°；45°或135°．（2）解：如图（2）所示，作OD⊥AB交AB于点E，连接BC，OB，由折叠可知，，OE⊥AB，∴，∴∠OAB＝30°，∴∠COB＝60°，∠AOD＝60°，∴∠DOB＝∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC和△BOD是等边三角形，∴DB＝OD＝BC，∴弓形DmB的面积等于弓形BnC的面积，∴扇形DOB的面积等于扇形OBC的面积，∴阴影部分的面积即为△OBC的面积；∵OA＝2，则OE＝1，∴，∴，∴阴影部分面积＝，故答案为：；（3）解：如图（3），连接AC，DE，∵∠ABC＝∠DBC＝∠DBE，∴＝＝，∴AC＝CD＝DE，∵CH⊥A