2025年高考数学一轮复习之一元函数导数及其应用

第1页（共1页）2025年高考数学一轮复习之一元函数导数及其应用一．选择题（共9小题）1．下列命题正确的是（）A．（sinπ）′＝cosπ B．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则x0＝0 C．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则limxD．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f2．曲线f(x)=3x3-1A．10x+y﹣8＝0 B．10x﹣y﹣8＝0 C．8x﹣y﹣6＝0 D．8x+y﹣6＝03．如果函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则以下关于y＝f（x）判断正确的是（）A．在区间（2，4）上是严格减函数 B．在区间（1，3）上是严格增函数 C．x＝﹣3是极小值点 D．x＝4是极小值点4．已知f(x)=13x3-x在区间（A．（﹣∞，5） B．（﹣2，5） C．[﹣2，5） D．（-5，15．函数f(A．（﹣2，3） B．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） C．（3，+∞） D．（0，3）6．已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1处有极值0，则a+b＝（）A．11或4 B．﹣4或﹣11 C．11 D．47．已知函数f（x）＝x4+ax，若limΔx→0fA．8 B．6 C．4 D．28．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（1）＝5，则limΔxA．2 B．52 C．5 D．9．下列说法正确的是（）A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值 B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值 C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值 D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值二．填空题（共6小题）10．若曲线y＝ln（x+a）的一条切线为y＝ex﹣b（e为自然对数的底数），其中a，b为正实数，则1ea+1b的取值范围是11．若函数f(x)=x33-a2x2+412．若直线y＝x+1和曲线y＝alnx+2相切，则实数a的值为．13．已知函数f（x）＝kex﹣2x，若∃x0∈R，f（x0）≤0，则实数k的最大值是．14．若函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是．15．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1），若f′（1）＝1，则a＝．三．解答题（共5小题）16．已知函数f（x）＝aex+bx+1在x＝0处有极值2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：f（x）＞ex﹣x．17．已知函数f(x)=1x（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在区间（3，+∞）上单调递减，求a的取值范围：（Ⅲ）若a＞0，f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f(18．若函数y＝f（x）存在零点a，函数y＝g（x）存在零点b，使得|a﹣b|≤1，则称f（x）与g（x）互为亲密函数．（1）判断函数f（x）＝2x+x﹣2与g(（2）若函数h（x）＝ex﹣2﹣x+1与k（x）＝x4+mx2+（2m+1）x+m+2互为亲密函数，求m的取值范围．附：ln3≈1.1．19．已知函数f（x）＝aex+sinx+1在区间(0，π2)内恰有一个极值点，其中a∈（1）求实数a的取值范围；（2）证明：f（x）在区间(0，20．已知f(（1）当a＞0时，讨论函数的单调性；（2）若f（x）≤0，求实数a的取值范围．

2025年高考数学一轮复习之一元函数导数及其应用参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．下列命题正确的是（）A．（sinπ）′＝cosπ B．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则x0＝0 C．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则limxD．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f【考点】简单复合函数的导数．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】D【分析】根据导数的定义可判断AB的正误，根据导数的四则运算可判断D的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误．【解答】解：对A：（sinπ）′＝0，故A错误；对B：f'(x)=12x+1(2x+1)'=22x对C：limx→0f(1+2△x)-f(1)△x对D：f'(x)=2x+3f故选：D．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．2．曲线f(x)=3x3-1A．10x+y﹣8＝0 B．10x﹣y﹣8＝0 C．8x﹣y﹣6＝0 D．8x+y﹣6＝0【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】B【分析】求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义求出切线方程．【解答】解：由f(x)=3x3-1x，得f'(x)=9x则曲线f(x)=3x3-1x在点（1，f（1））处的切线的方程为y﹣即10x﹣y﹣8＝0．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．3．如果函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则以下关于y＝f（x）判断正确的是（）A．在区间（2，4）上是严格减函数 B．在区间（1，3）上是严格增函数 C．x＝﹣3是极小值点 D．x＝4是极小值点【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】B【分析】根据图象分析f′（x）在不同区间上取值的正负，然后判断f（x）相应的单调性，即可判断每个选项．【解答】解：对于A，由图象知f′（x）在（2，4）上取正值，所以f（x）在（2，4）上递增，A错误；对于B，由图象知f′（x）在（1，3）上取正值，所以f（x）在（1，3）上递增，B正确；对于C，由图象知f′（x）在某个（﹣3﹣c，﹣2）上取负值，这里c＞0，所以f（x）在（﹣3﹣c，﹣2）上递减，从而x＝﹣3不可能是f（x）的极值点，C错误；对于D，由图象知f′（x）在（3，4）上取正值，在某个（4，4+d）上取负值，这里d＞0，所以f（x）在（3，4）上递增，在（4，4+d）上递减，从而x＝4是f（x）的极大值点，D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．4．已知f(x)=13x3-x在区间（A．（﹣∞，5） B．（﹣2，5） C．[﹣2，5） D．（-5，1【考点】由函数的极值求解函数或参数．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】D【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系可求．【解答】解：f′（x）＝x2﹣1，易得，当x＞1或x＜﹣1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝1时，函数取得极小值，因为f(x)=13x3-所以m＜1＜6﹣m2，解得-5＜m＜故选：D．【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．5．函数f(A．（﹣2，3） B．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） C．（3，+∞） D．（0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】对应思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】D【分析】求导，令f'（x）＜0，并结合函数的定义域，得解．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），f'（x）=1-令f'（x）＜0，则﹣2＜x＜3，又x＞0，所以0＜x＜3，所以f（x）的单调递减区间为（0，3）．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解函数的单调性与导数之间的联系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6．已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1处有极值0，则a+b＝（）A．11或4 B．﹣4或﹣11 C．11 D．4【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；函数思想；分析法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】C【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可．【解答】解：根据题意，f（x）＝3x2+6ax+b，∵函数f（x）在x＝﹣1处有极值0，∴f′（﹣1）＝3﹣6a+b＝0且f（﹣1）＝﹣1+3a﹣b+a2＝0，∴a＝1，b＝3或a＝2，b＝9，a＝1，b＝3时f（x）＝3x2+6x+3≥0恒成立，此时函数无极值点，∴a＝2，b＝9，∴a+b＝11．故选：C．【点评】本题考查导数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．7．已知函数f（x）＝x4+ax，若limΔx→0fA．8 B．6 C．4 D．2【考点】变化率的极限与导数的概念．【专题】整体思想；定义法；数学运算．【答案】C【分析】根据题意得limΔx【解答】解：根据导数的定义得：limΔx→0f(1+Δx)-f(1)因为f'（x）＝4x3+a，所以f'（1）＝4+a＝8，解得a＝4．故选：C．【点评】本题考查了导数的定义，学生的数学运算能力，属于基础题．8．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（1）＝5，则limΔxA．2 B．52 C．5 D．【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】D【分析】根据题意，由极限的性质和导数的定义可得limΔx→0f(1+2Δx【解答】解：函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（1）＝5，则limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx故选：D．【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题．9．下列说法正确的是（）A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值 B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值 C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值 D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】数形结合；数形结合法；导数的综合应用；逻辑推理．【答案】B【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断．【解答】解：如图，为函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象：对于选项A：极大值f（x1）＜极小值f（x4），故A错误；对于选项B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故B正确；如图所示，函数f（x）在区间[a，b]上的极大值f（x3），而不是最大值，故C错误；同时，最大值f（b）不是极大值，故D也错误．故选：B．【点评】本题主要考查函数的极值与最值的概念，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．二．填空题（共6小题）10．若曲线y＝ln（x+a）的一条切线为y＝ex﹣b（e为自然对数的底数），其中a，b为正实数，则1ea+1b的取值范围是[2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】[2，+∞）．【分析】先令导数值等于切线斜率，求出切点坐标，再将切点坐标代入切线方程，得到a，b的关系式，最后结合函数思想求出1ea【解答】解：由已知令y'解得x=1e-a，故切点为（代入切线得2＝b+ea＞0，故0＜所以1ea+当且仅当b＝1，a=1故1ea+故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查导数的几何意义、基本不等式的应用，属于中档题．11．若函数f(x)=x33-a2x2+4x+1【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；方程思想；构造法；导数的综合应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】由已知，得f′（x）＝x2﹣ax+4＝0在（1，4）上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后，可得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f(x)=x33-a2x2若函数f（x）在区间（1，4）上不单调，则f′（x）＝x2﹣ax+4＝0在（1，4）上存在变号零点，由x2﹣ax+4＝0，得a=令g(x)=x+4x，x∈∴g（x）在（1，2）递减，在（2，4）递增，而g(2)=2+42=4，∴4＜a＜5，∴实数a的取值范围为（4，5）．故答案为：（4，5）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想与方程思想，属中档题．12．若直线y＝x+1和曲线y＝alnx+2相切，则实数a的值为1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】1．【分析】首先求导得y'=ax，再设切点为（x0，y0），根据斜率k＝1，得ax0=1，再将（x【解答】解：已知y＝alnx+2，得y'=ax，设切点为（x0已知直线斜率k＝1，得ax0=1，再将（x0，可得ax0=1故答案为：1．【点评】本题考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）＝kex﹣2x，若∃x0∈R，f（x0）≤0，则实数k的最大值是2e【考点】利用导数求解函数的最值．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】2e【分析】根据题意，转化为k≤2xex，设g【解答】解：由f（x）≤0，可得kex﹣2x≤0，即k≤设g(x)=当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以，当x＝1时，g（x）取得最大值，最大值为g(1)=因为∃x0∈R，f（x0）≤0，所以k≤2e，所以实数k故答案为：2e【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．14．若函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是{x|x＜1}．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】{x|x＜1}．【分析】利用导数判断出函数f（x）的单调性，得出f（x）＞f（2x﹣1）等价于x＞2x﹣1，求解即可．【解答】解：由f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x可得：函数定义域为R，f′（x）＝ex+e﹣x﹣2．因为ex+e﹣x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以f′（x）≥0，则函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x为R上的增函数．所以f（x）＞f（2x﹣1）等价于x＞2x﹣1，解得：x＜1．故答案为：{x|x＜1}．【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．15．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1），若f′（1）＝1，则a＝e．【考点】基本初等函数的导数．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】e．【分析】根据已知条件，对f（x）求导，再结合f′（1）＝1，即可求解．【解答】解：函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1），则f'（x）=1f′（1）＝1，则f'（1）=11×lna=1，解得故答案为：e．【点评】本题主要考查基本初等函数的导数，属于基础题．三．解答题（共5小题）16．已知函数f（x）＝aex+bx+1在x＝0处有极值2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：f（x）＞ex﹣x．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．【专题】方程思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（Ⅰ）a＝1，b＝﹣1．（Ⅱ）见证明过程．【分析】（Ⅰ）f′（x）＝aex+b，根据函数f（x）＝aex+bx+1在x＝0处有极值2，可得f′（0）＝0，f（0）＝2，解得a，b．即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）＝ex﹣x+1．要证f（x）＞ex﹣x．只需证：ex﹣x+1＞ex﹣x．即ex﹣ex+1＞0．令g（x）＝ex﹣ex+1，利用导数研究函数的单调性、极值与最值即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）＝aex+b，∵函数f（x）＝aex+bx+1在x＝0处有极值2，∴f′（0）＝a+b＝0，f（0）＝a+1＝2，解得a＝1，b＝﹣1．经检验，a＝1，b＝﹣1符合题意．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，f（x）＝ex﹣x+1．要证f（x）＞ex﹣x．只需证：ex﹣x+1＞ex﹣x．即ex﹣ex+1＞0．令g（x）＝ex﹣ex+1，则g′（x）＝ex﹣e．令g′（x）＝0，解得x＝1．列表如下：x（﹣∞，1）1（1，+∞）g′（x）﹣0+g（x）单调递减1单调递增可得：x＝1时，g（x）有最小值g（1）＝e﹣e+1＝1＞0．故f（x）＞ex﹣x成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知函数f(x)=1x（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在区间（3，+∞）上单调递减，求a的取值范围：（Ⅲ）若a＞0，f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f(【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（Ⅰ）y＝（a﹣2）（x﹣1）；（Ⅱ）(-∞，（Ⅲ）证明见解析．【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（Ⅱ）根据单调性可知x2﹣ax+1≥0在（3，+∞）上恒成立，利用分离变量法可得a≤x+（Ⅲ）设0＜x1＜x2，则x2＞1，将所证不等式转化为1x2-x2+2lnx2【解答】解：（Ⅰ）由题意知：f'(x)=-∵f′（1）＝a﹣2，又f（1）＝0，∴曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝（a﹣2）（x﹣1）；（Ⅱ）∵f'(x)=-1x2-∴-x2-ax+1x2≤0在（3，+∞）上恒成立，即x2﹣ax+1≥∴a≤x+1x在（3设h(x)=当x＞3时，h′（x）＞0，∴h（x）单调递增，∴h(∴a≤103，即实数a证明：（Ⅲ）由（Ⅱ）知：x1，x2满足x2﹣ax+1＝0，∴x1x2＝1，不妨设0＜x1＜x2，则x2＞1，∴f(则要证f(x1即证2lnx2设函数g(x)=∴g（x）在（0，+∞）单调递减，又g（1）＝0，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，∴1x2-【点评】本题考査导数在函数中的综合应用问题，涉及到已知单调性求解参数范围、利用导数证明不等式等知识；证明不等式的关键是能够将双变量的问题转化为单一变量的问题，从而将不等式证明转化为关于单一变量的函数最值的求解问题，属于难题．18．若函数y＝f（x）存在零点a，函数y＝g（x）存在零点b，使得|a﹣b|≤1，则称f（x）与g（x）互为亲密函数．（1）判断函数f（x）＝2x+x﹣2与g(（2）若函数h（x）＝ex﹣2﹣x+1与k（x）＝x4+mx2+（2m+1）x+m+2互为亲密函数，求m的取值范围．附：ln3≈1.1．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（1）是，理由见解析；（2）[-【分析】（1）先判断函数y＝f（x）和y＝g（x）的单调性；再根据零点的存在性定理确定零点的存在区间；最后根据亲密函数的定义即可判断．（2）先利用导数判断函数h（x）的单调性，求出最值，得出函数h（x）的零点；再根据h（x）与k（x）互为亲密函数得出函数k（x）零点b的取值范围1≤b≤3，从而将题目条件转化为方程-m=x4+x+2【解答】解：（1）记a是函数y＝f（x）的零点，b是函数y＝g（x）的零点．因为f（x）＝2x+x﹣2在R上单调递增，且f(12)=2+12-2＜所以由零点的存在性定理可得：a∈因为g(所以函数y＝g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）＝ln（2x）．令g′（x）＞0，得x＞12；令g′（x）＜0所以g（x）在(0，12又因为g(1)=所以由零点的存在性定理可得：b∈所以|a﹣b|≤1，故f（x）与g（x）互为亲密函数．（2）因为h（x）＝ex﹣2﹣x+1，所以h′（x）＝ex﹣2﹣1，函数h（x）的定义域为R．令h′（x）＞0得x＞2；令h′（x）＜0得x＜2，则h（x）在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以h（x）min＝h（2）＝0，故h（x）有唯一的零点2．记b是函数y＝k（x）的零点．因为h（x）与k（x）＝x4+mx2+（2m+1）x+m+2互为亲密函数，由|2﹣b|≤1，得1≤b≤3，所以k（x）＝0在[1，3]上有解．由k（x）＝0，可得-m设F(x)=设G（x）＝2x4+4x3﹣x﹣3（1≤x≤3），则G′（x）＝8x3+12x2﹣1，G′（x）在[1，3]上单调递增，则G′（x）≥G′（1）＝19＞0，所以G（x）在[1，3]上单调递增，则G（x）≥G（1）＝2＞0，所以F′（x）＞0，从而F（x）为增函数，则F（1）≤F（x）≤F（3），即1≤所以1≤-m≤438，解得-【点评】本题主要考查函数零点存在性定理，方程与函数的关系及利用导数研究函数的性质等，考查运算求解能力，属于中档题．19．已知函数f（x）＝aex+sinx+1在区间(0，π2)内恰有一个极值点，其中a∈（1）求实数a的取值范围；（2）证明：f（x）在区间(0，【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（1）（﹣1，0）；（2）证明见解析．【分析】（1）求导得f′（x），分a≥0和a＜0讨论f′（x）的单调性，并保证在(0，π2)（2）利用导数确定f（x）在区间(0，【解答】解：（1）由题意可得f′（x）＝aex+cosx，当x∈(0，π2)时，cosx①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在(0，②当a＜0时，令g（x）＝f′（x），则在(0，π2)上g′（x）＝aex﹣sin所以f′（x）在(0，因为f'(0)=a+1，所以f′（0）＝a+1＞0，解得a＞﹣1，由零点存在定理，此时f′（x）在(0，π2)所以当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0；当x∈(x1，π2所以f（x）在(0，π2)综上，实数a的取值范围为（﹣1，0）．（2）证明：由（1）知﹣1＜a＜0，当x∈[π2，3π2)时，y＝aex＜所以在[π2，3π2)上f′（x）＝aex+cosx＜0所以当x∈（0，x1）时，f（x）单调递增，当x∈(x1，又因为f（x1）＞f（0）＝a+1＞0，所以在（0，x1）内无零点，当x∈(x1，3π2)时，因为f（x1所以由零点存在定理，f（x）在(x1，3π2)【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及函数零点问题，考查运算求解能力，属于中档题．20．已知f(（1）当a＞0时，讨论函数的单调性；（2）若f（x）≤0，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（1）答案见解析；（2）[ln2﹣1，0]．【分析】（1）根据题意，求得f′（x）＝（aex﹣1）（ex﹣2）．分0＜a＜12，a=1（2）分a≤0，a＞0两种情况讨论，结合函数f（x）的单调性与最值，即可求解．【解答】解：（1）f′（x）＝（aex﹣1）（ex﹣2），当a＞0时，f′（x）＝0，ex=1a或ex＝2，即x=ln当a=12时，x=ln1a=ln2，f′（当0＜a＜当x＜ln2或x＞ln1a时，f′（x）≥0，当ln2＜x所以f（x）在（﹣∞，ln2）递增，在(ln2，当a＞12当x＜ln1a或x＞ln2时，f′（x）≥0，当ln1a＜所以f（x）在(-∞，ln1a)递增，在(ln（2）当a≤0时，f′（x）＝（aex﹣1）（ex﹣2），f′（x）＝0，x＝ln2，当x＜ln2时，f′（x）≥0，当x＞ln2时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，ln2）递增，在（ln2，+∞）递减．∴ymax＝f（ln2）＝2a﹣2（2a+1）+2ln2＝﹣2a﹣2+2ln2，由f（x）≤0可得，﹣2a﹣2+2ln2≤0，解得：ln2﹣1≤a≤0．f(=1=1若a＞0，则取x＞(2a+1)24a，有f（x）＞0综上，实数a的取值范围为[ln2﹣1，0]．【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．

考点卡片1．变化率的极限与导数的概念变化率的极限与导数的概念2．含Δx表达式的极限计算与导数的关系含Δx表达式的极限计算与导数的关系3．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx-2对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)'=故选C．4．简单复合函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx-2对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)'=故选C．5．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x（Ⅲ）求证：ln2解：（Ⅰ）f'(x当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln6．利用导数求解函数的单调性和单调区间利用导数求解函数的单调性和单调区间7．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一