2025年高考数学一轮复习之概率

第1页（共1页）2025年高考数学一轮复习之概率一．选择题（共10小题）1．若随机变量ξ∼N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，则P（2＜ξ＜3）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.52．已知随机事件A，B发生的概率分别为P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，则下列说法正确的是（）A．若P（AB）＝0.9，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则P（A|B）＝0.6 C．若P（A|B）＝0.5，则P（AB）＝0.25 D．若B⊆A，则P（B|A）＝0.83．如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为12A．18 B．38 C．58 4．某大学一宿舍4名同学参加2024年研究生招生考试，其中两人顺利上初试线，还有两人差几分上线，这两名学生准备从A，B，C，D，E，F这6所大学中任选三所大学申请调剂，则这两名学生在选择了相同大学的条件下，恰好选择了两所相同大学的概率为（）A．1819 B．1019 C．919 5．有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的70%，30%，甲、乙两台车床的正品率分别为94%，92%．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（）A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.9456．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：P(A|B)=P(A)P(BA．4951000 B．9951000 C．1011 7．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有15的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率约为12，其余学生的近视率约为A．15 B．716 C．25 8．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球．记R1＝“第一次摸球时摸到红球”，G1＝“第一次摸球时摸到绿球”，R2＝“第二次摸球时摸到红球”，G2＝“第二次摸球时摸到绿球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（）A．P（R）＝P（R1）•P（R2） B．P（G）＝P（G1）+P（G2） C．P(R2|R1)=12 D．P（G2|G1）+9．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数．我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式．那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A，这两个数都是素数；事件B：这两个数不是孪生素数，则P（B|A）＝（）A．1115 B．3745 C．1315 10．有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（）A．12 B．13 C．14 二．填空题（共5小题）11．某企业钳工、车工和焊工三个车间分别推荐了1名男员工和1名女员工，供该企业工会从中选出2名员工参加全国技能比赛．若这6名员工每人被选上的机会相等，则选出的2人恰好是1名男员工和1名女员工，且他们来自不同车间的概率为．12．一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球．从该袋中随机取2个球，则取到2个红球的概率是．13．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=23，P(B)=12，P(14．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题：问题1：你的阳历生日日期是否偶数？问题2：你是否有A习惯？调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为．15．已知随机变量X～B（2，p），其中0＜p＜1，随机变量Y的分布列为Y012P2313q表中0＜q＜23，则D（Y）的最大值为．我们可以用M=k=02P(X=k)lnP(X=k)P三．解答题（共5小题）16．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了抽样调查，从全体学生中随机抽取男女各100名学生，经统计，抽查数据如下表：性别锻炼合计经常不经常男生8020100女生6040100合计14060200（1）依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析性别与体育锤炼的经常性是否有关？（2）为提高学生体育锻炼的积极性，学校决定在上述经常参加体育锻炼的学生中，按性别分层抽样随机抽取7名同学组成体育锻炼宣传小组，并从这7名同学中选出3人担任宣传组长，记女生担任宣传组长的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.10.050.010.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.82817．假定射手甲每次射击命中目标的概率为p，其中0＜p＜1．（1）当p=23时，若甲射击N①求E（X）；②若P（X＝10）＞P（X＝k），其中0≤k≤N，k≠10，求N的值．（2）射击积分规则如下：单次未命中目标得0分，单次命中目标得1分，若连续命中目标i（i≥2）次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为Y，若对任意p有P（Y＝i）＝P（Y＝j）（i＜j）成立，求所有满足上述条件的有序实数对（i，j）．18．为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为1：1，阅读达标的女生与男生的人数比为3：2．（1）完成下面的2×2列联表：性别阅读达标情况合计阅读达标阅读不达标男生女生合计（2）根据上述数据，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？（3）从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.100.050.010.001xα2.7063.8416.63510.82819．2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况．随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（495，505]，（505，515]，…，（535，545]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值x；（2）由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值ξ服从正态分布N（μ，1.252），其中μ近似为（1）中的样本平均值x，计算该批产品质量指标值ξ≥519.75的概率；（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望．附：若ξ∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤u+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．20．一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中A型机床2台，B型机床1台．A型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2．（1）记X为每天发生故障的机床数，求X的分布列及期望E（x）；（2）规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修．求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率．

2025年高考数学一轮复习之概率参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若随机变量ξ∼N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，则P（2＜ξ＜3）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】B【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：因为随机变量ξ∼N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，所以P（3＜ξ＜4）＝0.5﹣P（ξ＞4）＝0.3，所以P（2＜ξ＜3）＝P（3＜ξ＜4）＝0.3．故选：B．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．2．已知随机事件A，B发生的概率分别为P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，则下列说法正确的是（）A．若P（AB）＝0.9，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则P（A|B）＝0.6 C．若P（A|B）＝0.5，则P（AB）＝0.25 D．若B⊆A，则P（B|A）＝0.8【考点】条件概率；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】D【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B、C、D．【解答】解：对于A：因为P（AB）≠P（A）P（B），所以A与B不独立，故A错误；对于B：若A，B相互独立，则P(A|对于C：因为P(A|B)=P(AB)P(B)，所以P（AB）＝P（B）P对于D：若B⊆A，则P（AB）＝P（B）＝0.4，所以P(B|故选：D．【点评】本题主要考查了独立事件的定义，考查了条件概率公式，属于基础题．3．如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为12A．18 B．38 C．58 【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】B【分析】这个电路是通路，则原件A正常工作，且元件B，C至少有一个正常工作，由此能求出这个电路是通路的概率．【解答】解：∵这个电路是通路，∴原件A正常工作，且元件B，C至少有一个正常工作，∴这个电路是通路的概率是P=故选：B．【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．某大学一宿舍4名同学参加2024年研究生招生考试，其中两人顺利上初试线，还有两人差几分上线，这两名学生准备从A，B，C，D，E，F这6所大学中任选三所大学申请调剂，则这两名学生在选择了相同大学的条件下，恰好选择了两所相同大学的概率为（）A．1819 B．1019 C．919 【考点】概率的应用；条件概率；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】C【分析】根据题意，设事件A＝“两名学生在选择了相同大学”，事件B＝“恰好选择了两所相同大学”，由古典概型公式求出P（A）和P（B），结合条件概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设事件A＝“两名学生在选择了相同大学”，事件B＝“恰好选择了两所相同大学”，两名学生分别从A，B，C，D，E，F这6所大学中任选三所大学，有C63其中没有选择相同大学的选法有C63则两名学生选择了相同大学的选法有400﹣20＝380种，故P（A）=380若恰好选择了两所相同大学，其情况有C62A42=180种，则故P（B|A）=P故选：C．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．5．有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的70%，30%，甲、乙两台车床的正品率分别为94%，92%．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（）A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.945【考点】全概率公式．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．【答案】B【分析】结合全概率公式，即可求解．【解答】解：甲、乙两台车床的产量分别占总产量的70%，30%，甲、乙两台车床的正品率分别为94%，92%，则取到正品的概率为：0.7×0.94+0.3×0.92＝0.934．故选：B．【点评】本题主要考查全概率公式的应用，属于基础题．6．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：P(A|B)=P(A)P(BA．4951000 B．9951000 C．1011 【考点】条件概率．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】C【分析】利用条件概率，结合全概率公式与贝叶斯公式即可得解．【解答】解：依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件A，则P（B|A）＝0.95，P（A）＝0.05，P(B|故P（B）＝0.95×0.05+0.005×0.95＝0.05225，则所求概率为P(故选：C．【点评】本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有15的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率约为12，其余学生的近视率约为A．15 B．716 C．25 【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；对应思想；分析法；概率与统计；数据分析．【答案】C【分析】根据近视情况分为超过1h和低于1h两种可能，利用古典概率模型计算可得．【解答】解：某学校学生中，大约有15的学生每天玩手机超过1h，则有45的学生每天玩手机低于1超过1h近视率约为12，低于1h近视率约为3所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是15故选：C．【点评】本题考查古典概率模型，属于基础题．8．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球．记R1＝“第一次摸球时摸到红球”，G1＝“第一次摸球时摸到绿球”，R2＝“第二次摸球时摸到红球”，G2＝“第二次摸球时摸到绿球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（）A．P（R）＝P（R1）•P（R2） B．P（G）＝P（G1）+P（G2） C．P(R2|R1)=12 D．P（G2|G1）+【考点】条件概率．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】C【分析】由独立事件的定义可判断A，由古典概型的概率公式可判断B，由条件概率公式可判断CD．【解答】解：对于A，因为R＝R1∩R2，R1，R2不相互独立，所以P（R）≠P（R1）P（R2），故A错误；对于B，因为P(G1)=37，P(G2)=P(R1G2对于C，P(R2对于D，P(G2|G故选：C．【点评】本题主要考查了独立事件的定义，考查了条件概率公式的应用，属于中档题．9．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数．我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式．那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A，这两个数都是素数；事件B：这两个数不是孪生素数，则P（B|A）＝（）A．1115 B．3745 C．1315 【考点】条件概率．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】D【分析】根据题意，由古典概型公式求出P（A）和P（AB），再根据条件概率的计算方法求得正确答案．【解答】解：根据题意，不超过30的自然数有30个，其中素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和19，共4组．所以P(A)=所以P(故选：D．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及古典概型的计算，属于基础题．10．有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（）A．12 B．13 C．14 【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】B【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案．【解答】解：将4个盒子按顺序拆开有A4若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，有A2则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为P=故选：B．【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．二．填空题（共5小题）11．某企业钳工、车工和焊工三个车间分别推荐了1名男员工和1名女员工，供该企业工会从中选出2名员工参加全国技能比赛．若这6名员工每人被选上的机会相等，则选出的2人恰好是1名男员工和1名女员工，且他们来自不同车间的概率为25【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】转化思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】25【分析】先列出从6名员工中选出2名员工的基本事件总数，再列出来自不同车间的一名男员工和一名女员工数量，二者比值即为结果．【解答】解：设3名男员工分别为A，B，C，3名女员工分别为X，Y，Z，其情况如下表：钳工车工焊工男员工ABC女员工XYZ则从6人中选出2人的基本事件有（A，B），（A，C），（A，X），（A，Y），（A，Z），（B，C），（B，X），（B，Y）（B，Z），（C，X），（C，Y），（C，Z），（X，Y），（X，Z），（Y，Z），共15个，其中满足条件的基本事件有（A，Y），（A，Z），（B，X），（B，Z），（C，X），（C，Y），共6个，所以选出的2人恰好是1名男员工和1名女员工，且他们来自不同车间的概率P=故答案为：25【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球．从该袋中随机取2个球，则取到2个红球的概率是12【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】12【分析】根据古典概型求解即可．【解答】解：由题意，所求概率P=故答案为：12【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．13．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=23，P(B)=12，P(【考点】条件概率．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】由P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）求出P（AB【解答】解：因为P(所以P(所以P(故答案为：12【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．14．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题：问题1：你的阳历生日日期是否偶数？问题2：你是否有A习惯？调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为5%．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】被调查者回答第一个问题的概率为P=510=12；其阳历生日日期是偶数的概率也是12，由此得到随机抽出的200名学生中，回答两个问题的人数估计各有100人，200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有50【解答】解：根据题意，由等可能事件概率得：被调查者回答第一个问题的概率为P=其阳历生日日期是偶数的概率是12∴对随机抽出的200名中学生进行了调查，其中回答两个问题的人数估计各有200×∴200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有200×∴抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为55﹣50＝5人，∴此中学学生有A习惯人数的百分比为5100故答案为：5%．【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知随机变量X～B（2，p），其中0＜p＜1，随机变量Y的分布列为Y012P2313q表中0＜q＜23，则D（Y）的最大值为23．我们可以用M=k=02P(X=k)lnP(X=k)【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】23【分析】根据题意，求得E(Y)=12+2q和D(Y【解答】解：由题意，可得E(则D（Y）＝（13+2q）2（23-2q）+（1-13-2q）2×13＝﹣4q2+83＝﹣4（q-13）2因为0＜q＜23，所以当q=1又由X～B（2，p），可得D（X）＝2p（1﹣p）=12，解得所以P（X＝0）=14，P（X＝1）=1又因为M=所以M=所以M-故答案为：23【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．三．解答题（共5小题）16．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了抽样调查，从全体学生中随机抽取男女各100名学生，经统计，抽查数据如下表：性别锻炼合计经常不经常男生8020100女生6040100合计14060200（1）依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析性别与体育锤炼的经常性是否有关？（2）为提高学生体育锻炼的积极性，学校决定在上述经常参加体育锻炼的学生中，按性别分层抽样随机抽取7名同学组成体育锻炼宣传小组，并从这7名同学中选出3人担任宣传组长，记女生担任宣传组长的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.10.050.010.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.828【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）认为性别与锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005；（2）分布列见解答，E（X）=9【分析】（1）根据列联表中的数据计算χ2，与临界值比较即可得结论；（2）随机变量X所有可能的取值分别为0，1，2，3，由古典概型概率公式求出对应的概率，可得分布列及数学期望．【解答】解：（1）零假设为H0：性别与锻炼的经常性无关联，根据列联表中的数据，经计算得到χ2根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别与锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005；（2）根据分层抽样可知，随机抽取的7名同学中男生4人，女生3人，随机变量X所有可能的取值分别为0，1，2，3，根据古典概型的知识，可得P(X=0)=P(X=2)=所以X的分布列为：X0123P43518351235135所以E(【点评】本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．17．假定射手甲每次射击命中目标的概率为p，其中0＜p＜1．（1）当p=23时，若甲射击N①求E（X）；②若P（X＝10）＞P（X＝k），其中0≤k≤N，k≠10，求N的值．（2）射击积分规则如下：单次未命中目标得0分，单次命中目标得1分，若连续命中目标i（i≥2）次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为Y，若对任意p有P（Y＝i）＝P（Y＝j）（i＜j）成立，求所有满足上述条件的有序实数对（i，j）．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）①2N3；②（2）（2，3），（4，7）．【分析】（1）①根据二项分布求解即可；②先求出P(X=k（2）Y的可能取值为0，1，2，3，4，7，15，求出Y为各值时的概率即可求解．【解答】解：（1）①由题意知X～B(②P(X=k)=CNk(设P则c所以2N因为P（X＝10）＞P（X＝k），其中0≤k≤N，k≠10，所以2N-13≤10≤2N+23当N＝14时，9≤k≤10，舍去，当N＝15时，k＝10，满足题意，综上所述，N＝15．（2）Y的可能取值为0，1，2，3，4，7，15，P（Y＝0）＝（1﹣p）4，P（Y＝1）＝4p（1﹣p）3，P（Y＝2）＝3p2（1﹣p）2，P（Y＝3）＝3p2（1﹣p）2，P（Y＝4）＝2p3（1﹣p），P（Y＝7）＝2p3（1﹣p），P（Y＝15）＝p4，对任意p，P（Y＝2）＝P（Y＝3），P（Y＝4）＝P（Y＝7），故所求的有序实数对为（2，3），（4，7）．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．18．为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为1：1，阅读达标的女生与男生的人数比为3：2．（1）完成下面的2×2列联表：性别阅读达标情况合计阅读达标阅读不达标男生女生合计（2）根据上述数据，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？（3）从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.100.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）2×2列联表如下：性别阅读达标情况合计阅读达标阅读不达标男生80120200女生12080200合计200200400（2）认为“阅读达标情况”与“性别”有关；（3）X的分布列为：X012P31035110E（X）=4【分析】（1）根据题意求出阅读达标的人数有200人，其中男生有80人，女生有120人，男生阅读不达标的有120人，女生有80人，进而补全2×2列联表即可；（2）计算χ2的值，与临界值比较，即可得出结论；（3）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，得到X的分布列，再结合期望公式求解．【解答】解：（1）依题意阅读达标的人数有200人，其中男生有200×25则男生阅读不达标的有200﹣80＝120人，女生有200﹣120＝80人，所以2×2列联表如下：性别阅读达标情况合计阅读达标阅读不达标男生80120200女生12080200合计200200400（2）零假设H0：“阅读达标情况”与“性别”无关，将2×2列联表中的数据代入公式，得χ2所以依据α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为“阅读达标情况”与“性别”有关；（3）阅读达标的学生中男生有5×80200由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，则P(X=0)=C3故X的分布列为：X012P31035110所以X的数学期望E(【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．19．2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况．随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（495，505]，（505，515]，…，（535，545]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值x；（2）由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值ξ服从正态分布N（μ，1.252），其中μ近似为（1）中的样本平均值x，计算该批产品质量指标值ξ≥519.75的概率；（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望．附：若ξ∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤u+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）质量超过515克的产品数量为26件，样本平均值为518.5克；（2）0.15865；（3）Y的分布列为：Y012P4940091200169400E（Y）＝1.3．【分析】（1）根据频率分布直方图求出质量超过515克的产品的频率，进而得到质量超过515克的产品数量，再利用平均数的定义求出样本平均值x；（2）由题意可得μ=x=518.5（3）由题意可知，质量超过515克的件数Y可能的取值为0，1，2，且Y∼B(2，1320)【解答】解（1）质量超过515克的产品的频率为10×0.035+10×0.025+10×0.005＝0.65，而样本总数为40件，所以质量超过515克的产品数量为40×0.65＝26（件），样本平均值x=10×（500×0.015+510×0.020+520×0.035+530×0.025+540×0.005）＝518.5（2）由题意可得μ=x=518.5则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝P（517.25＜ξ≤519.75）≈0.6827，则该批产品质量指标值ξ≥519.75的概率为P（ξ≥519.75）=1-P（3）根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，该产品的质量超过515克的概率为2640所以从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看作二项分布，故质量超过515克的件数Y可能的取值为0，1，2，且Y∼则P(所以P(Y=0)=C2所以Y的分布列为：Y012P4940091200169400故Y的均值为E(【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．20．一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中A型机床2台，B型机床1台．A型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2．（1）记X为每天发生故障的机床数，求X的分布列及期望E（x）；（2）规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修．求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）分布列见解析，E（X）＝0.4；（2）1923【分析】（1）由题，X的可能值为0，1，2，3，然后结合题意求出每个取值对应的概率即可得解；（2）记事件A为“车间停工”，事件B为B型机床发生故障”，由题可求得P（A）＝0.046，P（AB）＝0.038，然后由条件概率即可求解．【解答】解：（1）由题，X的可能值为0，1，2，3，因为A型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2，所以A型机床每天不发生故障的概率为0.9，B型机床每天不发生故障的概率为0.8，则P（x＝0）＝0.92×0.8＝0.648，P（x＝1）＝2×0.9×0.1×0.8+0.92×0.2＝0.306，P（x＝2）＝0.12×0.8+2×0.9×0.1×0.2＝0.044，P（X＝3）＝0.12×0.2＝0.002，故X分布列为：X0123P0.6480.3060.0440.002所以E（X）＝0×0.648+1×0.306+2×0.044+3×0.002＝0.4；（2）记事件A为“车间停工”，事件B为B型机床发生故障”，则P（A）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝0.046，P（AB）＝0.1×（1﹣0.1）×0.2×2+0.12×0.2＝0.038，则所求概率为P(即某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率为1923【点评】本题考查了条件概率的求解及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．

考点卡片1．互斥事件的概率加法公式【知识点的认识】互斥事件的概率加法公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．3．列举法计算基本事件数及事件发生的概率【知识点的认识】1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=m等可能条件下概率的特征：（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；（2）每一个结果出现的可能性相等．2、概率的计算方法：（1）列举法（列表或画树状图），（2）公式法；列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．列表法（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．（2）列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．树状图法（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．（2）运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．【解题方法点拨】典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2=137144的内部，则实数A．（-518，+∞）B．（﹣∞，718）C．（-718，518）解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P=设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，∴直线l1、l2相交的概率P=33∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2=137∴（118-m）2+（1112）解得-518故选：D典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下等级12345频率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．解析：（1）由频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n＝1，即m+n＝0.45．…（2分）由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n=220所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共计10种．…（9分）记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）故所求概率为P(A)=4．概率的应用【知识点的认识】概率相关知识梳理：一、古典概型与互斥事件1．频率与概率：频率是事件发生的概率的估计值．2．古典概率计算公式：P（A）＝．集合的观点：设试验的基本事件总数构成集合I，事件A包含的事件数构成集合A，则．3．古典概型的特征：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有有限性；（3）试验结果出现等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一个随机试验中，一次试验中不可能同时发生的两个事件A，B称为互斥事件．（2）互为事件概率计算公式：若事件A，B互斥，则P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）对立事件：在一个随机试验中，一次试验中两个事件A，B不会同时发生，但必有一个事件发生，这样的两个事件称为对立事件．记作：B=A，由对立事件定义知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件与对立事件的关系：对立必互斥，互斥未必对立．用集合的观点分析对立事件与互斥事件：设两个互斥事件A，B包含的所有结果构成集合A，B，则A∩B＝∅（如图所示）设两个对立事件A，A包含的所有结果构成的集合为A，A，A∩A=∅，A∪A=则注：若A1，A2，…，An任意两个事件互斥，则：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、几何概型几何概型定义：向平面有限区域（集合）G内投掷点M，若点M落在子区域G1⊆G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，我们就称这种概型为几何概型．几何概型计算公式：几何概型的特征：（1）试验的结果有无限个（无限性）；（2）试验的结果出现等可能性．注：几何概型中的区域可以是长度、面积、体积等．三、条件概率与独立事件1．条件概率的定义：对于任何两个事件A，B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率称为事件B发生时事件A发生的条件概率，记为P（A|B）．类似的还可定义为事件A发生时事件B发生的条件概率，记为P（B|A）．2．把事件A，B同时发生所构成的事件D，称为事件A，B的交（或积），记为：A∩B＝D或D＝AB．3．条件概率计算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B发生的条件下”的概率与没有事件B发生时的概率是不同的．（2）对于两个事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）则表明事件B的发生不影响事件A发生的概率．此时事件A，B是相互独立的两个事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0⇒P（AB）＝故当两个事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立，同时A与B，A与B，A与B也相互独立．四、二项分布、超几何分布、正态分布1．二项分布：（1）n次独立重复试验的概念：在相同的条件下，重复做n次试验，各次试验的结果相互独立．n次独立重复试验的特征：①每次试验的条件相同，某一事件发生的概率不变；②各次试验的结果互不影响，且每次试验只有两个结果发生或不发生．（2）二项分步概率计算公式：一般地，在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为，若随机变量由此式确定，则X服从参数n，p的二项分布，记作：X～B（n，p）．2．超几何分布超几何分布定义：一般地，设有N件产品，其中含有M件次品（M≤N），从N件产品中任取n件产品，用X表示取出的n件产品中含有的次品的个数，则，（k为非负整数），若随机变量由此式确定，则X服从参数N，M，k的超几何分布，记作X～H（N，M，n）注：超几何分布是概率分布的另一种形式，要注意公式中N，M，k的含义．随机变量X取某一个值的概率就是求这一事件发生的次数与总次数的商．3．正态分布：（1）正态曲线：函数f（x）=12πσe-(x（2）若随机变量X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、离散型随机变量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．5、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的EξDξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．【解题方法点拨】概率和离散型随机变量知识是新课标高考的重点内容之一，重点考查古典概率、几何概率、离散型随机变量的分布列及性质等内容，对于基础知识考查以选择题、填空题为主．考查的内容相对简单，即掌握住基础知识就能解决此类问题．对于综合性知识的考查主要是把概率、随机变量的分布列性质、离散型随机变量的均值、方差等内容综合在一起解决实际问题，多以大题的形式出现．题目的难度在中等以上水平，解决此类问题的关键是正确理解离散型随机变量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二项分布、超几何分布等），便于求出分布列，进而求出均值与方差．利用均值、方差的含义去分析问题，这也是新课标高考命题的方向．【命题方向】题型一：概率的计算典例1：已知函数y=x（0≤x≤4）的值域为A，不等式x2﹣x≤0的解集为B，若a是从集合A中任取的一个数，b是从集合B中任取一个数，则a＞bA．14B．13C．12解：由题意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a为横坐标，b为纵坐标，建立平面直角坐标系，则围成的区域面积为2，使得a＞b的区域面积为2-12=故选D题型二：离散型随机变量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（结果用分数表示）解：（I）设命中油罐的次数为X，则当X＝0或X＝1时，油罐不能被引爆．P(P(∴油罐被引爆的概率（II）射击次数ξ的取值为2，3，4，5．P(P(P(P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）=1-因此，ξ的分布列为：ξ2345P4982742719∴Eξ5．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．6．条件概率【知识点的认识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）=【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是29解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：2典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是2（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123P12414112414数学期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P7．全概率公式【知识点的认识】全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）=i8．离散型随机变量及其分布列【知识点的认识】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．9．离散型随机变量的均值（数学期望）【知识点的认识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的EξDξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．10．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例