2024北京东城区高二（上）期末数学试题和答案

试题PAGE1试题2024北京东城高二（上）期末数学一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．30° B．150° C．60° D．120°2．已知空间中直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，则（）A．直线l与平面α平行 B．直线l在平面α内 C．直线l与平面α垂直 D．直线l与平面α不相交3．抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是（）A．4 B．3 C．2 D．14．已知Sn是数列{an}的前n项和，，则a2＝（）A．1 B．3 C．5 D．85．双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B． C． D．6．线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A，B两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如表：支付金额（元）支付方式（0，500]（500，1000]大于1000仅使用A20人8人2人仅使用B10人6人4人从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（）A． B． C． D．7．哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名．已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（）A．2041年～2042年 B．2061年～2062年 C．2081年～2082年 D．2101年～2102年8．在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以MN为直径的圆与直线3x+4y﹣10＝0相切，则该圆半径的最小值为（）A． B．1 C． D．29．已知a，b∈R，则“﹣1，a，b，2为等比数列”是“ab＝﹣2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．曲线C：xm+yn＝1，其中m，n均为正数，则下列命题错误的是（）A．当m＝3，n＝1时，曲线C关于（0，1）中心对称 B．当，时，曲线C是轴对称图形 C．当m＝4，n＝2时，曲线C所围成的面积小于π D．当m＝3，n＝2时，曲线C上的点与（0，0）距离的最小值等于1二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11．（4分）直线l：x+y+1＝0的斜率为；过点P（1，3）且垂直于l的直线方程是．12．（4分）如图，已知M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB的中点，则直线A1M与CD所成角的余弦值为．13．（4分）已知圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，则圆心，半径为．14．（4分）2023年10月第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京胜利召开．某校准备进行“一带一路”主题知识竞赛活动．要求每位选手回答A，B两类问题，且至少一类问题的成绩达到优秀才能获奖．已知张华答A，B两类问题成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.5，则张华在这次比赛中获奖的概率为．15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，连接ABCD各边的中点得到正方形EFGH，连接正方形EFGH各边的中点得到正方形IJKL，依此方法一直进行下去．记a1为正方形ABCD的面积，a2为正方形EFGH的面积，a3为正方形IJKL的面积，…，Sn为{an}的前n项和．给出下列四个结论：①存在常数M＜，使得a5＞M恒成立；②存在正整数N0，当n＞N0时，an＜；③存在常数M＞2，使得Sn＜M恒成立；④存在正整数N0，当n＞N0时，Sn＞2．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝AC＝BC，D，E分别为CC1，BA1的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求平面A1BD与平面ABC夹角的余弦值．17．（10分）2023年9月23日第19届亚运会开幕式在杭州隆重举行．为调查某地区全体学生收看开幕式的情况，采用随机抽样的方式进行问卷调查，统计结果如下：方式手机电脑电视未观看频率0.50.20.10.2假定每人只用一种方式观看，且每人观看的方式相互独立、用频率估计概率．（1）若该地区有10000名学生，试估计该地区观看了亚运会开幕式的学生人数；（2）从该地区所有学生中随机抽取2人，求这2人都观看了亚运会开幕式的概率；（3）从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用电脑观看了亚运会开幕式的概率．18．（10分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Tn为等比数列{bn}的前n项和，a1＝b1＝1，a2+b2＝2．（1）若b4＝8，求a3的值；（2）从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得{bn}单调递增，求出{bn}的通项公式以及Tn．条件①：a5＝3；条件②：a3+b3＝3；条件③：S3＝9．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19．（10分）已知椭圆C：，点M（0，1），在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）作与x轴不垂直的直线l，与椭圆C交于不同的两点A，B，点D与点A关于x轴对称，直线BD与x轴交于点Q，O为坐标原点、若△OPQ的面积为2，求直线l的斜率．20．（10分）已知各项均为正整数的有穷数列An：a1，a2，…，an（n＞3）满足∀1≤i＜j≤n，有ai≠aj．若an等于ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数，则称数列An具有性质P．（1）判断下列数列是否具有性质P；①A4：3，1，7，5；②A5：2，4，8，16，32．（2）已知数列A6：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；（3）若一个数列A2024：a1，a2，…，a2024具有性质P，则a2024是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】根据题意，设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为θ，将直线变形为y＝x+，分析可得其斜率k＝，进而由倾斜角与斜率的关系可得k＝tanθ＝，结合θ的范围，计算可得答案．【解答】解：根据题意，设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为θ，直线x﹣y+1＝0可以变形为y＝x+，其斜率k＝tanθ＝，又由0°≤θ＜180°，则θ＝30°；故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角的计算，解题的关键是理解直线的斜率与倾斜角的关系．2．【分析】根据题意，分析可得，即可得答案．【解答】解：根据题意，由于，，可得，则有，故是平面α的一个法向量，故直线l与平面α垂直，故选：C．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面法向量的定义，属于基础题．3．【分析】利用抛物线y2＝2px（p＞0）中p的几何意义即可得答案．【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝4x，∴2p＝4，p＝2．由p的几何意义可知，焦点到其准线的距离是p＝2．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握抛物线y2＝2px（p＞0）中p的几何意义是关键，属于基础题．4．【分析】利用a2＝S2﹣S1及从而可求解．【解答】解：由题意知，所以a2＝S2﹣S1＝4+4﹣1﹣2＝5．故C正确．故选：C．【点评】本题考查数列递推式的应用，属于中档题．5．【分析】利用双曲线的渐近线方程公式求解即可．【解答】解：由双曲线的方程为知，双曲线焦点在x轴，且，又焦点在x轴的双曲线渐近线方程为，所以渐近线方程为．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．6．【分析】根据表格数据，分析事件后，再代入古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：由表格数据可知，仅使用A的有30人，其中支付金额多于500元的有10人，仅使用B的有20人，其中支付金额多于500元的有10人，则仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率．故选：D．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．7．【分析】造等差数列求出其通项公式，给n赋值即可．【解答】解：由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列{an}，则等差数列{an}的通项公式为an＝1682+76（n﹣1）＝76n+1606，∴a5＝76×5+1606＝1986，a6＝76×6+1606＝2062，∴可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年．故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．8．【分析】根据条件得到点O在圆上，利用点到直线的距离公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：∵MN是直径，∠MON＝90°，∴点O在圆上，过O作OD垂直直线3x+4y﹣10＝0，交点为D，∵圆与直线3x+4y﹣10＝0相切，∴要使圆的半径最小，此时OD为圆的直径即可，由O到直线3x+4y﹣10＝0的距离为＝2，则圆的半径1．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．9．【分析】利用等比数列的性质及充分性，必要性知识即可求解．【解答】解：充分性：当“﹣1，a，b，2为等比数列”时，可得ab＝﹣1×2＝﹣2，故充分性满足，必要性：当“ab＝﹣2”时，不妨设a＝1，b＝﹣2，此时“﹣1，a，b，2为﹣1，1，﹣2，2不是等比数列”，故必要性不满足，所以“﹣1，a，b，2为等比数列”是“ab＝﹣2”的充分不必要条件，故A正确．故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．10．【分析】根据给出的m，n的值，A项x3+y＝1从而可判断求解，B项，不难发现其曲线关于y＝x对称，从而判断求解；C项x4+y2＝1利用转化法不难证明曲线上任意一点到原点的距离大于或等于1，从而可判断求解；D项x3+y2＝1结合x，y的取值范围，即可判断求解．【解答】解：对A：当m＝3，n＝1时，x3+y＝1，即y＝﹣x3+1，由函数y＝﹣x3为奇函数其关于原点（0，0）中心对称，所以得y＝﹣x3+1关于（0，1）中心对称，故A正确．对B：当，时，，对于曲线上任意一点P（x0，y0），则点P关于直线y＝x对称点P′（y0，x0）也在曲线上，所以曲线关于直线y＝x对称，故B正确．对C：当m＝4，n＝2时，x4+y2＝1，所以|x|≤1，|y|≤1，可知曲线图象是一个封闭的图形，所以可设曲线上任意一点T（c，t），且到原点距离|OT|2＝c2+t2，又因为c4+t2＝1，所以|OT|2＝c2+t2＝1+c2﹣c4，因为0＜|c|≤1，所以c2﹣c4≥0，所以当c2﹣c4＝0，即c＝1或c＝﹣1，而此时|OT|2≥1，又因为曲线是个封闭图形，所以其面积S≥π×12＝π，故C错误；对D：当m＝3，n＝2时，x3+y2＝1，所以x≤1，y∈R，设曲线上任意一点N（a，b），则|ON|2＝a2+b2，又因为a3+b2＝1，所以|ON|2＝a2+b2＝a2+1﹣a3，因为a≤1，所以a2﹣a3≥0，所以当a2﹣a3＝0，即a＝0或a＝1时，|ON|2有最小值1，所以|ON|的最小值为1，故D正确．故选：C．【点评】本题考查曲线的对称性和曲线围成的面积、曲线上的点与原点的距离，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11．【分析】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，设垂直于l的直线方程，将点P点的坐标代入，可得参数的值，即求出直线方程．【解答】解：直线x+y+1＝0可化为y＝﹣x﹣1，故斜率为﹣1，过点P（1，3）且垂直于l的直线的方程为x﹣y+a＝0，将P点坐标代入1﹣3+a＝0，解得a＝2，即直线的方程为：x﹣y+2＝0．故答案为：﹣1；x﹣y+2＝0．【点评】本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．12．【分析】根据AB、CD互相平行，可得∠A1MA（或其补角）就是异面直线A1M与CD所成角，进而在Rt△A1MA算出cos∠A1MA，可得答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A1MA（或其补角）就是异面直线A1M与CD所成角，∵M为AB的中点，∴Rt△A1MA中，，可得cos∠A1MA＝，∴直线A1M与CD所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正方体的结构特征、解直角三角形及其应用、异面直线所成角的定义与求法等知识，属于基础题．13．【分析】求出圆的标准方程即可得到结论．【解答】解：将圆进行配方得圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝9，则圆心坐标为（﹣1，2），半径R＝3，故答案为：（﹣1，2），3【点评】本题主要考查圆的标准方程的求解，利用配方法将一般方程配成标准方程是解决本题的关键．14．【分析】由题意知可从反面考虑求出不获奖的概率，从而求解出获奖的概率，即可求解．【解答】解：由题意知，当张华不获奖时的概率为p＝（1﹣0.6）×（1﹣0.5）＝0.2，所以张华获奖的概率为1﹣p＝1﹣0.2＝0.8．故答案为：0.8．【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．15．【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方，也为等比数列，利用等比数列求和公式，然后逐项判断即可求解．【解答】解：记第n个正方形的边长为2a，面积为，由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到，可知第n+1个正方形的边长为，面积为，所以，又因为a1＝1，所以正方形面积构成的数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，其通项公式为，对①：，因为，所以a5＞M恒成立，故①正确；对②：当时，即n≥8且n为正整数，所以存在N0，故②正确；对③、④：，又因为0＜21﹣n≤1，所以，因此当M＞2时，Sn＜M恒成立，故③正确；因此当n＞N0时，Sn＜2恒成立，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查了数列的应用，考查了等比数列的求和公式，属于中档题．三、解答题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用平面ABC的法向量与直线DE的方向向量，由两向量垂直即可证得；（Ⅱ）求出平面A1BD的法向量，再由向量法求夹角即可．【解答】解：（I）证明：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥底面ABC．因为AC⊂底面ABC，BC⊂底面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC．因为AC⊥BC，如图建立空间直角坐标系C﹣xyz．设AC＝2，则A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），A1（2，0，2），C1（0，0，2）．因为D，E分别为CC1，BA1的中点，所以D（0，0，1），E（1，1，1）．所以，．因为CC1⊥底面ABC，所以是平面ABC的一个法向量．因为，所以．因为DE⊄平面ABC，所以DE∥平面ABC．（Ⅱ）因为，，设平面A1BD的法向量为，则，，所以即，令y＝1，则z＝2，x＝﹣1，所以，设平面A1BD与平面ABC的夹角为θ，所以．所以平面A1BD与平面ABC夹角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明和平面与平面所成角，属于中档题．17．【分析】（1）首先求观看了亚运会开幕式的学生的频率，再求学生人数；（2）根据（1）的结果可知，每个学生观看亚运会开幕式的概率，再利用相互独立事件概率公式，即可求解；（3）首先求观看了亚运会开幕式的学生中使用电脑观看的频率，再利用对立事件概率公式，即可求解．【解答】解：（1）因为该地区观看了亚运会开幕式的学生的频率为0.5+0.2+0.1＝0.8，所以该地区观看了亚运会开幕式的学生人数估计为10000×0.8＝8000．（2）设事件A：从该地区所有学生中随机抽取1人，该学生观看了亚运会开幕式．由频率估计概率，得P（A）＝0.8．设事件B：从该地区所有学生中随机抽取2人，这2名学生都观看了亚运会开幕式．由于这两名学生观看亚运会开幕式相互独立，则P（B）＝0.82＝0.64．（3）设事件C：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取1人，该学生使用电脑观看了开靠式，则．设事件D：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，至少1人用电脑观看了开幕式，则．【点评】本题主要考查了古典概率公式的应用，属于中档题．18．【分析】（1）利用等差数列，等比数列的知识及性质，即可求解．（2）根据所给的三个条件中进行分别计算是否满足题意，从而求解．【解答】解：（1）∵{bn}为等比数列，b1＝1，b4＝8，设{bn}的公比为q，则．解得q＝2．∴b2＝2．∵a2+b2＝2，∴a2＝0．∵{an}为等差数列，a1＝1，∴公差d＝a2﹣a1＝﹣1，则a3＝﹣1．（2）若选择条件①，∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a2+b2＝2，a5＝3，设{an}的公差为，∴，，此时{bn}不是递增数列，故不符题意，则不能选条件①．若选择条件②，∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a2+b2＝2，a3+b3＝3，设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则即解得q＝2或q＝0（舍），故条件②符合题意，∴，．若选择条件③，∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a2+b2＝2，，∴a3＝5，设{an}的公差d＝，∴a2＝3，b2＝﹣1＜b1＝1，此时{bn}不是递增数列，故不符题意，则不能选条件③．【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及性质，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）根据已知条件可得关于a，b的方程组，可求出a，b的值，进而可得椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+2，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，求出直线BD的方程，令y＝0，可得点Q的横坐标，由面积公式结合已知可求得k的值．【解答】解：（I）∵点M（0，1），在椭圆C：上，∴，解得，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+2，Q（xQ，yQ）．由得（2k2+1）x2+8kx+6＝0．由Δ＞0，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（x1，﹣y1），则，．直线BD的方程为，令y＝0，得．∴．∵，∴k＝±2．经检验满足Δ＞0．∴直线l的斜率为±2．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．20．【分析】（1）根据数列具有性质P的定义进行判断即可求解；（2）由A6具有性质P，然后利用其性质对m分奇偶进行讨论即可求解；（3）根据A2024具有性质P，然后利用其性质分别对bi+bj（1≤i＜j≤2024），ai+aj（1≤i＜j≤2024）分情况讨论，从而其存在最小值4045，即可求解．【解答】解：（1）①A4：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而a4＝5，所以具有性质P，②A5：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而a5＝32，所以不具有性质P，（2）对于数列A6：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以m≤15．而A5：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数，（i）当m为奇数时，ai+m（1≤i≤5）都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则A6：2，4，8，16，32，m中所有ai+aj（1≤i＜j≤6）的值共有15个，所以m＝15，（ii）当m为偶数时，ai+m（1≤i≤5）都是偶数，所以10≤m＜15，所以m∈{10，12，14}，m＝10时，10+