专题06 简谐运动实例（二）单摆及类单摆模型（原卷版）-2025版高二物理寒假精-品讲义

专题06简谐运动实例（二）单摆及类单摆模型一．单摆模型1.单摆的组成：由细线和小球组成。2.理想化模型(1)细线的长度不可改变。(2)细线的质量与小球相比可以忽略。(3)小球的直径与线的长度相比可以忽略。(4)单摆运动过程中，与小球受到的重力及线的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。3.单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin__θ。(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－eq\f(mg,l)x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。二．单摆的周期1.探究影响单摆周期的因素(1)探究方法：控制变量法。(2)实验结论(都在小偏角下)①两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同，两摆的周期相同，即单摆的周期与振幅无关。②两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同，两摆的周期相同，即单摆振动的周期与摆球质量无关。③两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同，摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小，即周期与摆长有关。2.周期公式(1)提出：由荷兰物理学家惠更斯首先提出。(2)公式：T＝2πeq\r(\f(l,g))，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。三．类单摆模型1.几种单摆模型拓展模型图示(l、l1、l2为摆线长，r为摆球半径)摆长等效重力加速度g效周期T双线摆不变，lsinα＋r不变，gT＝2πeq\r(\f(lsinα＋r,g))折线摆碰到钉子后变小不变，gT＝πeq\r(\f(l1＋r,g))＋πeq\r(\f(l2＋r,g))圆弧摆不变，R－r不变，gT＝2πeq\r(\f(R－r,g))斜面摆不变，l＋r不变，gsinαT＝2πeq\r(\f(l＋r,gsinα))若摆球可看为质点，以上各式中r可为0。2.不同系统中的等效重力加速度在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统静止在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。情景等效重力加速度情景等效重力加速度g等效＝g－ag等效＝eq\f(mg＋qE,m)g等效＝g＋ag等效＝gg等效＝eq\f(mg－qE,m)g等效＝g【例1】(多选)如图所示，为一小球做简谐运动的示意图，其中O点为平衡位置，A、B为最大位移处，M、N点为关于O点对称的两点。下列说法正确的是()A.小球在A、B点受到重力和回复力B.小球在O点所受的合外力就是回复力C.小球在O点时所受合外力不为0D.小球在M点、N点的回复力大小相等【总结提升】理解回复力的两点提醒(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与摆球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中摆球受力平衡的位置。摆球摆动到平衡位置时，回复力为零，但有指向悬点的合力提供向心力。(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力FT的合力。【例2】(多选)如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设向右为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，由此可知()A.单摆振动的频率是1.25HzB.t＝0时摆球位于B点C.t＝0.2s时摆球位于平衡位置O，加速度为零D.若当地的重力加速度g＝π2m/s2，则这个单摆的摆长是0.16m【例3】如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是()A.乙先到，然后甲到，丙最后到B.丙先到，然后甲、乙同时到C.丙先到，然后乙到，甲最后到D.甲、乙、丙同时到【例4】如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是()A.T1＞T2＞T3＞T4 B.T1＜T2＝T3＜T4C.T1＞T2＝T3＞T4 D.T1＜T2＜T3＜T4【例5】(2024·浙江金华高二月考)如图甲所示，摆球在竖直平面内做简谐运动，通过力传感器测量摆线拉力F，F的大小随时间t变化规律如图乙所示，摆球经过最低点时的速度大小v＝eq\f(\r(5),5)m/s，忽略空气阻力，取g＝10m/s2，π2≈10，求：(1)单摆的摆长l；(2)摆球的质量m；(3)摆线拉力的最小值。一、单选题1．将一条轻质细线下端挂上一个小球，使小球在竖直面内自由摆动，如图所示为小球的振动图像。下列说法正确的是（

）A．时，小球的向心加速度为0B．时，小球速度为0，加速度为0C．从到的过程中，小球的动能不断增大D．从到的过程中，细线中的张力不断增大2．如图甲，一个小球在间做简谐运动，点为最低点。以点为坐标原点、以水平向右为正方向，小球的振动图像如图乙所示。重力加速度大小取，不计空气阻力，下列说法正确的是（

）A．小球的振动方程为 B．，小球的动能逐渐增大C．动能和重力势能相互转化的周期为 D．此单摆的摆长约为3．如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将可视为质点的摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态，静止释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置。整个过程忽略空气阻力，则在摆动稳定后的一个周期内（）A．摆球只受到重力、拉力两个力的作用B．摆球在经过A点和C点处，速度为零，回复力为零C．摆球在经过B点处，速度最大，回复力最大D．摆球相邻两次经过B点时，细线拉力大小不相等4．如图甲是演示简谐运动图象的装置，它由一根较长的细线和一个较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，匀速拉出沙漏下方的木板，漏出的沙在板上会形成一条曲线。通过对曲线的分析，可以确定沙漏的位移随时间变化的规律。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线．经测量发现，若拉动木板1和木板2的速度大小分别为和，则（）A． B． C． D．5．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（）

A．时，摆球所受回复力最大，方向向右B．时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐增大D．该单摆摆长约为2m6．如图所示，一个光滑弧形凹槽半径为R，弧长为L（已知R≫L）。现将一质量为m的小球从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（）A．小球做简谐运动的回复力为重力和支持力的合力B．小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力C．小球做简谐运动的周期为2πD．小球运动到凹槽最低点时所受合力为零7．如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置。下列说法正确的是（）A．摆球从A点向B点摆动过程中，重力的冲量为零B．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大C．摆球在A点和C点时，速度为零，细线拉力最小，但回复力最大D．摆球在B点时，重力势能最小，机械能最小8．某同学在探究单摆运动中，图甲是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，则以下说法正确的是（

）A．时刻摆球速度最大B．时刻摆球经过最低点C．单摆振动周期D．单摆振动周期9．如图所示，在倾角为α的斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，重力加速度大小为g，则以下判断正确的是（）A．单摆在斜面上摆动的周期为B．摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将增大D．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小10．如图所示，在地球上同一个地区创设不同的条件进行单摆实验。图甲装置置于真空中，悬点处固定一带正电的小球，绝缘细线下端连接另一带正电小球，周期记为；图乙中，单摆的悬点在一向下加速的电梯顶端，周期记为；图丙中的摆球带正电，在如图所示的匀强磁场中进行摆动，周期记为；图丁中的摆球带正电，在如图所示的匀强电场中进行摆动，周期记为。若四个单摆的摆长一样长，则周期关系正确的是（）A． B．C． D．二、多选题11．如图所示，光滑圆弧槽半径为R（未知），A为最低点，C到A的距离远远小于R，小球B位于A点的正上方，且到A点的距离为H。若同时释放小球B、C，则要使两小球B和C在A点相遇（小球B和C可视为质点），R的可能值为（）A． B． C． D．12．图1、2分别是甲、乙两个单摆在同一位置做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（

）A．甲、乙两单摆的振幅之比为B．时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能最小C．甲、乙两单摆的摆长之比为D．甲、乙两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定不相等13．一根不可伸长的细线，上端悬挂在O点，下端系一个小球，如图甲所示，某同学利用此装置来探究周期与摆长的关系．该同学用米尺测得细线的长度，用游标卡尺测得小球的直径，二者相加为l，通过改变细线的长度，测得对应的周期T，得到该装置的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（取）（）A．时摆长为 B．时摆长为C．摆球半径为 D．当地的重力加速度为14．如图甲所示，一光滑绝缘小圆槽MN固定在水平面上，M、N两点之间的弧长远小于圆槽的半径R。将该装置置于加速上升的电梯中，如图乙所示；将该装置置于竖直向下的匀强电场中，如图丙所示；将该装置置于方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图丁所示。一个带正电的小球(可视为质点)从M点静止释放，图甲、乙、丙和丁四种情形下，设小球由M运动到N的时间分别为t甲、t乙、t丙和t丁，则（）A．t甲>t乙 B．t丙>t丁C．t甲＝t丁 D．t乙>t丁15．做单摆实验时，小球可能在水平面内做圆周运动形成圆锥摆。为避免单摆做圆锥摆引起的误差，可采用双线摆代替单摆来改进实验装置。如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，两根线的长度均为、与竖直方向的夹角均为θ，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（

）A．若单摆微圆锥摆运动，其做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期B．这个双线摆的摆长为C．这个双线摆的周期为D．图中双线摆的θ角越小越好16．惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在之间做简谐运动，摆角为。摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力为，摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，其中、、均已知。当地的重力加速度为。下列选项正确的是（）A．多次改变图1中角的大小，即可获得不同的等效重力加速度B．单摆次全振动的时间为C．多次改变摆角，只要得出就可以验证该结论成立D．在图2的测量过程中，满足的关系17．将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的关系图，如图乙所示．则以下说法不正确的是（

）A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力大于手机所受的重力C．秋千摆动的周期为D．该地的重力加速度18．某研究性学习小组设计了如图1所示的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小球能在斜面上做单摆运动。当斜面倾角时，传感器输出的细线拉力F随时间t的变化曲线如图2所示，则下列说法正确的是（）A．由图2可知单摆的周期为B．只减小斜面倾角，则单摆周期将变大C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳D．只增大摆线的长度，则单摆周期将减小三、解答题19．正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点时用30s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1m，当地重力加速度g取；(1)小球第1次从左向右经过B点开始计时，则第2次经过B点时，时间间隔是多少？(2)根据以上数据求房顶到窗上沿的高度。20．图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动。小于5°且大小未知，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的，如图乙所示（图中所标字母以及重力加速度g均为已知量）。不计空气阻力。根据题中（包括图中）所给的信息，求：拉力大小F随时间t变化的曲线(1)该单摆的摆长；(2)摆球的质量？21．如图所示，半径很大的光滑球面固定在水平桌