2014-2018年高考真题选修4-5不等式选讲

...wd......wd......wd...选修4-5不等式选讲考点不等式选讲1.〔2017•新课标Ⅰ,23〕函数f〔x〕=﹣x2+ax+4，g〔x〕=|x+1|+|x﹣1|．〔10分〕(1)当a=1时，求不等式f〔x〕≥g〔x〕的解集；(2)假设不等式f〔x〕≥g〔x〕的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．1.〔1〕解：当a=1时，f〔x〕=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，g〔x〕=|x+1|+|x﹣1|=，当x∈〔1，+∞〕时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=，g〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，f〔x〕在〔1，+∞〕上单调递减，∴此时f〔x〕≥g〔x〕的解集为〔1，]；当x∈[﹣1，1]时，g〔x〕=2，f〔x〕≥f〔﹣1〕=2．当x∈〔﹣∞，﹣1〕时，g〔x〕单调递减，f〔x〕单调递增，且g〔﹣1〕=f〔﹣1〕=2．综上所述，f〔x〕≥g〔x〕的解集为[﹣1，]；〔2〕依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．2.〔2017•新课标Ⅱ,23〕a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：〔Ⅰ〕〔a+b〕〔a5+b5〕≥4；〔Ⅱ〕a+b≤2．2.证明：〔Ⅰ〕由柯西不等式得：〔a+b〕〔a5+b5〕≥〔+〕2=〔a3+b3〕2≥4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，〔Ⅱ〕∵a3+b3=2，∴〔a+b〕〔a2﹣ab+b2〕=2，∴〔a+b〕[〔a+b〕2﹣3ab]=2，∴〔a+b〕3﹣3ab〔a+b〕=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤〔〕2，∴〔a+b〕3﹣2≤，∴〔a+b〕3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．3.〔2017•新课标Ⅲ,23〕函数f〔x〕=|x+1|﹣|x﹣2|．〔Ⅰ〕求不等式f〔x〕≥1的解集；〔Ⅱ〕假设不等式f〔x〕≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．3.〔Ⅰ〕∵f〔x〕=|x+1|﹣|x﹣2|=，f〔x〕≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f〔x〕≥1的解集为{x|x≥1}．〔Ⅱ〕原式等价于存在x∈R使得f〔x〕﹣x2+x≥m成立，即m≤[f〔x〕﹣x2+x]max，设g〔x〕=f〔x〕﹣x2+x．由〔1〕知，g〔x〕=，当x≤﹣1时，g〔x〕=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g〔x〕≤g〔﹣1〕=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g〔x〕=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈〔﹣1，2〕，∴g〔x〕≤g〔〕=﹣+﹣1=；当x≥2时，g〔x〕=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g〔x〕≤g〔2〕=﹣4+2=3=1；综上，g〔x〕max=，∴m的取值范围为〔﹣∞，]．4.〔2017•江苏,21D〕a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．4.证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8〔cosαcosβ+sinαsinβ〕=8cos〔α﹣β〕≤8．当且仅当cos〔α﹣β〕=1时取等号．因此ac+bd≤8．5.(2016·全国Ⅰ，24)函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)在图中画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集.5.解(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4，x≤－1，,3x－2，－1<x≤\f(3,2)，,－x＋4，x>\f(3,2)，))y＝f(x)的图象如以以以下图.(2)当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝eq\f(1,3)或x＝5，故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,3)或x>5)).所以|f(x)|>1的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,3)或1<x<3或x>5)).6.(2016·全国Ⅲ，24)函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.6.解(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞).7.(2016·全国Ⅱ，24)函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.7.(1)解f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x，x≤－\f(1,2)，,1，－\f(1,2)<x<\f(1,2)，,2x，x≥\f(1,2).))当x≤－eq\f(1,2)时,由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1,所以,-1<x≤-eq\f(1,2)；当-eq\f(1,2)<x<eq\f(1,2)时，f(x)<2；当x≥eq\f(1,2)时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，所以，-eq\f(1,2)<x<1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}.(2)证明由(1)知，当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a＋b)2-(1＋ab)2＝a2＋b2-a2b2-1＝(a2-1)(1-b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.8.(2015·重庆，16)假设函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.8.4或－6[由绝对值的性质知f(x)的最小值在x＝-1或x＝a时取得,假设f(-1)＝2|－1-a|＝5,a＝eq\f(3,2)或a＝－eq\f(7,2)，经检验均不适宜；假设f(a)＝5，则|x＋1|＝5，a＝4或a＝－6，经检验合题意，因此a＝4或a＝－6.]9.(2015·陕西，24)关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值；(2)求eq\r(at＋12)＋eq\r(bt)的最大值.9.解(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－b－a＝2，,b－a＝4，))解得a＝－3，b＝1.(2)eq\r(－3t＋12)＋eq\r(t)＝eq\r(3)eq\r(4－t)＋eq\r(t)≤eq\r([〔\r(3)〕2＋12][〔\r(4－t)〕2＋〔\r(t)〕2])＝2eq\r(4－t＋t)＝4，当且仅当eq\f(\r(4－t),\r(3))＝eq\f(\r(t),1)，即t＝1时等号成立，故(eq\r(－3t＋12)＋eq\r(t))max＝4.10.(2015·新课标全国Ⅰ，24)函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)假设f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.10.解(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得eq\f(2,3)<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)<x<2)))).(2)由题设可得，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1－2a，x<－1，,3x＋1－2a，－1≤x≤a，,－x＋1＋2a，x>a.))所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,3)，0)),B(2a＋1,0),C(a,a+1)，△ABC的面积为eq\f(2,3)(a＋1)2.由题设得eq\f(2,3)(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).11.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)假设ab＞cd，则eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要条件.11.证明(1)因为(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2.因此eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).(2)①假设|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).②假设eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)，则(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即a＋b＋2eq\r(ab)＞c＋d＋2eq\r(cd).因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要条件.12.(2014·广东，9)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________.12.{x|x≤－3或x≥2}[原不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,〔x－1〕＋〔x＋2〕≥5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<x<1，,－〔x－1〕＋〔x＋2〕≥5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤－2，,－〔x－1〕－〔x＋2〕≥5，))解得x≥2或x≤－3.故原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.]13.(2014·湖南，13)假设关于x的不等式|ax－2|<3的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(5,3)<x<\f(1,3)))，则a＝________.13.－3[依题意，知a≠0.|ax－2|<3⇔－3<ax－2<3⇔－1<ax<5，当a>0时，不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，\f(5,a)))，从而有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,a)＝\f(1,3)，,－\f(1,a)＝－\f(5,3)，))此方程组无解.当a<0时，不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,a)，－\f(1,a)))，从而有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,a)＝－\f(5,3)，,－\f(1,a)＝\f(1,3)，))解得a＝－3.]14.(2014·重庆，16)假设不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋eq\f(1,2)a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.14.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))[令f(x)＝|2x-1|＋|x+2|,易求得f(x)min＝eq\f(5,2),依题意得a2+eq\f(1,2)a+2≤eq\f(5,2)⇔-1≤a≤eq\f(1,2).]15.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f(x)＝|x＋eq\f(1,a)|＋|x－a|(a>0).(1)证明：f(x)≥2；(2)假设f(3)<5，求a的取值范围.15.(1)证明由a>0，有f(x)＝|x＋eq\f(1,a)|＋|x－a|≥|x＋eq\f(1,a)－(x－a)|＝eq\f(1,a)＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)解f(3)＝|3＋eq\f(1,a)|＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋eq\f(1,a)，由f(3)<5