中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）专题15 PISA类实际应用问题（解析版）

题型十五PISA类实际应用问题【要点提炼】什么是PISA试题：PISA测试的重点时看学生全面参与社会的知识与技能，对学生阅读、数学和科学能力的考察并不限于书本知识，还包括成年人生活中需要的知识与技能。而在数学中考中，PISA类试题常考察几何变换，如平移、对称、折叠、旋转等，需要注意的是，虽然这些问题中图形都是在变化的，但是以不变应万变才是真理！即不论是如何运动和变化，都需要找出题目中永远不变的量，那就是解题的关键！【专题训练】一．填空题（共7小题）1．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是16cm．（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为6013cm【答案】16；60【解答】解：（1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，∵OE＝OF＝1cm，∴EF＝2cm，∴AB＝CD＝2cm，∴此时四边形ABCD的周长为2+2+6+6＝16（cm），故答案为16．（2）如图3中，连接EF交OC于H．由题意CE＝CF=25×6=∵OE＝OF＝1cm，∴CO垂直平分线段EF，∵OC=CE2∵12•OE•EC=12•CO∴EH=1×125∴EF＝2EH=2413（∵EF∥AB，∴EFAB∴AB=52×故答案为60132．图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣453cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256cm2．【答案】90﹣453；2256【解析】解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE=32AB＝253∴B运动的路程为（50﹣253）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣253）×45=（40﹣20∴BC＝（50﹣253）+（40﹣203）＝（90﹣453）cm故答案为：90﹣453；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积=12×90×(40+32)−12×∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．3．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为303cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为105−10cm【答案】303，105−【解析】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A＝D1B1＝30∴D1是B1∵AD1⊥B1C1，∴B1H＝C1H＝30×sin60°＝153，∴B1C1＝303∴弓臂两端B1，C1的距离为303（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr=120⋅π⋅30∴r＝20，∴AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，在Rt△GB2D2中，GD2=30∴D1D2＝105−故答案为303，105−4．图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD＝90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC′D′，最后折叠形成一条线段BD″．（1）小床这样设计应用的数学原理是三角形具有稳定性．（2）若AB：BC＝1：4，则tan∠CAD的值是815【答案】（1）三角形具有稳定性（2）8【解答】解：（1）小床这样设计应用的数学原理是：三角形具有稳定性；故答案为：三角形具有稳定性；（2）∵AB：BC＝1：4，∴设AB＝x，DC＝y，则BC＝4x，C″D″＝y，由图形可得：BC″＝4x，则AC″＝3x，AD＝AD″＝3x+y，故AC2+DC2＝AD2，即（5x）2+y2＝（3x+y）2，解得：y=83则tan∠CAD的值是：DCAC故答案为：8155．如图是一个海绵拖把，图1、图2是它的示意图，现用线段BC表示拉手柄，线段DE表示海绵头，其工作原理是：当拉动BC时线段OA能绕点O旋转（设定转角∠AOQ大于等于0°且小于等于180°），同时带动连杆AQ拉着DE向上移动．图1表示拖把的初始位置（点O、A、Q三点共线，P、Q重合），此时OQ＝45cm，图2表示拉动过程中的一种状态图，若DE可提升的最大距离PQ＝10cm．（1）请计算：OA＝5cm；AQ＝40cm．（2）当sin∠OQA=110时，则PQ＝42−1211或48﹣1211【答案】（1）5；40（2）42﹣1211或48﹣1211【解析】解：（1）由题意OA=12×10＝5cm，AQ＝45﹣5＝40故答案为5，40．（2）当∠OAQ是钝角时，如图1中，作AH⊥PQ于H．在Rt△AHQ中，∵sin∠AQH=AHAQ=∴AH＝4，∴QH=AQ2在Rt△QOH中，OH=O∴OQ＝3+1211，∴PQ＝45﹣（3+1211）＝（42﹣1211）（cm），当∠OAQ是锐角时，如图2中，作AH⊥OP交PO的延长线于H．同法可得：OQ＝1211−∴PQ＝45﹣（1211−3）＝（48﹣1211）（cm故答案为：42﹣1211或48﹣1211．6．如图所示是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA＝OB＝OC，且∠AOB＝120°．折线NG﹣GH﹣HE﹣EF表示楼梯，GH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边都相切，且AO∥GH．如图2，若点H在线段OB时，则BHOH的值是3【答案】3【解析】解：如图，作OK⊥GH，BT⊥HE垂足分别为K、T，设圆的半径都是r，在Rt△OKH中，∵∠OKH＝90°，OK＝r，∠OHK＝180°﹣∠AOB＝60°，∴cos60°=OK∴OH=23在Rt△HTB中，∵∠HTB＝90°，BT＝r，∠THB＝30°，∴BH＝2BT＝2r，∴BHOH故答案为3．7．如图1为伸缩衣架，因其便捷性，在生活中应用广泛，该衣架由4根长为26cm的矩形木条和4根长为14cm的矩形木条组成，木条宽度都为2cm，图2是它收缩时的状态，圆形挂钩⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙G，⊙H，⊙I，⊙J与它所在矩形三边相切，⊙E，⊙F与它所在矩形两边相切，圆心表示两根木条的链接点，点E是线段BH，AI的中点，点F是线段BJ，CI的中点．（1）这种衣架能伸缩，依据的数学原理是四边形的不稳定性．（2）当这个伸缩衣架拉伸到最长时，DG＝72cm．【答案】（1）四边形的不稳定性（2）72【解析】解：（1）这种衣架能伸缩，依据的数学原理是：四边形的不稳定性，故答案为：四边形的不稳定性；（2）由题意可知，∵木条宽度都为2cm，图2是它收缩时的状态，圆形挂钩⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙G，⊙H，⊙I，⊙J与它所在矩形三边相切，∴⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙G，⊙H，⊙I，⊙J的半径都为1，当A与H，B与I，C与J重合时，其重合点在DG上，DG最长，其长为：DG＝DA+AI+IC+CG═（14﹣2）+（26﹣2）+（26﹣2）+（14﹣2）＝72（cm），故答案为：72．二．解答题（共3小题）8．一扇窗户如图1所示，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，如图2是图1中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，支点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D在一条直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）当∠CAB＝35°时，求窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数．（2）当窗扇关闭时，图中点E，A，D，C，B都在滑轨MN上，求此时点A与点B之间的距离．（3）在（2）的前提下，将窗户推开至四边形ACDE为矩形时，求点A处的滑块移动的距离．【答案】（1）35°（2）50cm（3）（50﹣1013）cm【解析】解：（1）∵AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，∴四边形DEAC是平行四边形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠CAB＝35°．（2）由题意AB＝AC+BC＝20+30＝50（cm），（3）当四边形DEAC是矩形时，AB=AC2+BC∴点A处的滑块移动的距离＝（50﹣1013）cm．9．如图①是一张可折叠的海绵床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况．如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A、B、C、D各点都是活动的，BC段和EF段都视为床头部分），其折叠过程可由图②的变化过程反映出来．经测量四边形ABCD中，AB＝6cm，CD＝15cm，当床水平支撑在地面时△ADC周长为90cm．（1）活动床头的固定与折叠的设计依据是三角形的稳定性与四边形的不稳定性（请填写相应的数学原理）（2）BC、AD各取多长时，才能实现上述的折叠变化？【答案】（1）三角形的稳定性与四边形的不稳定性（2）BC＝30，AD＝39【解析】解：（1）活动床头的固定与折叠的设计依据是三角形的稳定性与四边形的不稳定性，故答案为：三角形的稳定性与四边形的不稳定性；（2）由图形可知，AD+AB=CB+CDAD+CD+AC=90即AD+6=BC+15AD+BC=90−6−15解得，AD＝30，BC＝39，答：当BC＝30，AD＝39时，才能实现上述的折叠变化．10．观察思考某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝4分米，PQ＝3分米，OP＝2分米．解决问题（1）点Q与点O间的最小距离是4分米；点Q与点O间的最大距离是5分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是6分米．（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是3分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．【解析】解：（1）当OQ最小时，Q、H重合，此时OQ＝OH＝4；当O、Q的距离最大时，O、P、Q三点共线，此时OQ＝OP+PQ＝5；当O、P、Q三点共线时，在Rt△OQH中，由勾股定理可求得QH＝3，那么点Q在l上的最大滑动距离为2QH＝6．故答案为：4，5，6；（2）不对．∵OP＝2，PQ＝3，OH＝4，∵当Q、H重合时，OQ＝OH＝4，∵42≠32+22，即OQ2≠PQ