广东省东莞市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题【含答案解析】

广东省东莞市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（2023高二上·东莞月考）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将直线化为斜截式方程得出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案.【详解】将直线化为斜截式方程为，斜率.设直线的倾斜角为，则.又，所以.故选：C.（2023高二上·东莞月考）2.已知，，且，则的值为（）A. B. C.6 D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得到，再利用空间向量坐标运算求解即可.【详解】已知，，且，则，所以，所以，解得，则的值为6.故选：C（2023高二上·东莞月考）3.下列叙述正确的是（）A.数列是递增数列B.数列0，1，2，3，…的一个通项公式为C.数列0，0，0，1，…是常数列D.数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列【答案】A【解析】【分析】作差即可判断A项；代入检验，即可判断B项；根据常数列以及数列的概念，即可判断C、D.【详解】对于A项，设，则对恒成立，所以，数列是递增数列.故A正确；对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误；对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误；对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关.所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误.故选：A.（2023高二上·东莞月考）4.已知直线与垂直，则（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】将化为斜截式方程得出斜率，根据直线垂直，列出方程求解，即可得出答案.【详解】将化为斜截式方程可得，.因为，所以，解得.故选：B.（2023高二上·东莞月考）5.设、是两条不同直线，、是两个不同的平面，则能得出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】根据空间中面面、线面、线线的位置关系判断即可.【详解】对于A：因为，，则或或与相交，又，当时，当时，当与相交时与可能平行、相交、异面，故A错误；对于B：因为且，所以，又且、是两条不同的直线，所以，故B错误；对于C：因为，，所以，又，所以，故C正确；对于D：因为，，则或或与相交，又，当时与可能平行、异面，当时与可能平行、相交，当与相交时与可能相交、异面，故D错误；故选：C（2023高二上·东莞月考）6.已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的内切圆半径的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】寻找的内切圆半径与三角形面积之间的关系，根据面积的取值范围可以得到的内切圆半径的取值范围.【详解】设的内切圆半径为r，椭圆方程为，则，，，即，又，所以，由于，所以.故选：D（2023高二上·东莞月考）7.设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】设直线的方程并联立抛物线方程，可得根与系数关系，结合化简可得的关系式，表示出的中点到轴的距离的表达式，换元后利用函数的单调性即可求得答案.【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为，与抛物线方程联立得，，需满足，设，，则，则由弦长公式得，两边平方得，，因为，代入得，，令，，则，而根据对勾函数性质知在单调递增，因此当时，，即的中点到轴的最短距离为，故选：A（2023高二上·东莞月考）8.下列数列中，其前项和可能为1028的数列是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式可判断A；利用裂项求和求出数列的前n项和可判断B；讨论n的奇偶性，分别求数列的和，可判断C；利用等比数列的前n项和公式，结合单调性可判断D.【详解】A选项：因为，设数列的前项和为，则随n的增大而增大，令，由于，，故方程无正整数解，故A错误；B选项：因为，设数列的前项和为，则，令，即，方程无正整数解，故B错误；C选项：因为，设数列的前项和为，当偶数时，，，所以当为偶数时，和不可能为1028；当为奇数时，，，令，即，此时故方程无正奇数解，故C错误；D选项：因为，设数列的前项和为，则，由于随n的增大而增大，当时，，故数列的前10项的和为1028，故D符合题意．故选：D二、多选题：（本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）（2023高二上·东莞月考）9.已知双曲线，下列对双曲线判断正确的是（）A.实轴长是虚轴长的2倍 B.焦距为4C.离心率为 D.渐近线方程为【答案】ACD【解析】【分析】根据方程求出的值，即可得出双曲线的性质.【详解】由已知可得，，，所以，，，.对于A项，实轴长，虚轴长为，故A正确；对于B项，焦距为，故B错误；对于C项，离心率，故C项正确；对于D项，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为.整理可得，.故D项正确.故选：ACD.（2023高二上·东莞月考）10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.若点在函数（，为常数）的图象上，则为等差数列B.若为等差数列，则为等比数列C.若为等差数列，，，则当时，最大D.若，则为等差数列【答案】AB【解析】【分析】结合等差数列、等比数列的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A，依题意，则，所以为等差数列，A正确.B，依题意，，则，所以为等比数列，B正确.C，，所以或，最大，C错误.D，，，所以不是等差数列.故选：AB（2023高二上·东莞月考）11.已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且直线恒过定点，则（）A.点的轨迹方程为B.的最小值为C.圆上的点到直线的距离的最大值为D【答案】CD【解析】【分析】设，以为直径的圆的方程，结合已知圆的方程求直线AB的方程，进而确定的轨迹方程，由直线所过定点、圆的性质求最短弦长、圆上点到直线距离的最大值，讨论的位置，结合圆的切线性质研究角的范围，从而可求解.【详解】对于A项：设，以为直径的圆的方程为，化简得，与联立，两式相减得：直线AB的方程为，又因为直线AB恒过定点，所以的轨迹方程为，即，故A项错误；对于B项：因为，当时弦长最小，所以，故B项错误；对于C项：因为直线AB恒过定点，所以圆上点到直线AB距离的最大值为，故C项正确；对于D项：如图，圆心到直线的距离为，记为：，当运动到时，，则，则，当位于直线的其它位置时，，，则，则，综上所述，故D项正确.故选：CD.（2023高二上·东莞月考）12.如图（1）是一副直角三角板．现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体，设，与面所成角分别为，，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（）A.若，当时，点到面的距离是2B.存在某个位置使得C.若，当二面角时，则D.当在面的射影在三角形的内部（不含边界），则【答案】ACD【解析】【分析】根据等体积法求点面距离判断A，根据射影的性质判断B，根据空间点的坐标求两点间的距离判断C，分类讨论点在平面上射影的位置判断D.【详解】当时，，，，，当时，又，平面，所以平面，设点到面的距离为，因为，所以，即，解得，故A正确；若，因，平面，故平面，而平面，故，这与矛盾，故B错误；以原点，建立如图示的空间直角坐标系，当时，，三角形斜边上的中线为，取中点，中点，连接，则由平面图可知，则为二面角的平面角，二面角知，，所以，，则，，故，故C正确；由C的证明可得，而平面，故平面，而平面，故平面平面，如图，过作，因为平面平面，平面，故平面，故为与平面所成的角，为与平面所成的角，又，，故，故即，而为锐角，故，故D正确.故选：ACD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）（2023高二上·东莞月考）13.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据曲线方程表示的曲线类型列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意知方程表示焦点在轴上的椭圆，故，解得，故答案为：（2023高二上·东莞月考）14.假设每次用相同体积的清水漂流一件衣服,且每次能洗去污垢的,那么至少要清洗_______次才能使存留的污垢在以下.【答案】【解析】【分析】设每次用升清水漂流一件衣服,通过题意可知,存留的污垢是以为首项,为公比的等比数列,最后列出存留的污垢与洗涤次数之间的关系,最后结合已知求出的值即可.【详解】设每次用升清水漂流一件衣服,洗涤次数,通过题意可知,存留的污垢是以为首项,为公比的等比数列,所以有,由题意可知:,所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在以下.故答案为：4【点睛】本题考查了等比数列的实际应用,考查了数学阅读能力和数学运算能力.（2023高二上·东莞月考）15.如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，是等腰三角形，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】取中点为，中点为，连接，根据面面垂直的性质定理即可得出平面.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，进而求出平面的法向量，根据向量法求出点到平面的距离，即可得出答案.【详解】如图，取中点为，中点为，连接，因为，中点为，所以，且.又因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面.又为中点，所以.因为为正方形，所以，.连接，交于点，则即为的中心如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则O0,0,0，，，，，，，，所以，，，.设是平面的一个法向量，则，即，取，则.所以，点到平面的距离.显然，即为平面上任意一点到底面中心的距离的最小值.故答案为：.（2023高二上·东莞月考）16.过双曲线（a>0，）的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为_______.【答案】##【解析】【分析】利用已知条件结合三角形与内切圆的位置关系得出点M在的角平分线上，利用线线垂直证出四边形进而证出MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离结合双曲线a，b，c三者的几何意义，利用直线的斜率与倾斜角的关系式得出的值，结合双曲线的离心率与的关系式得出双曲线的离心率.【详解】如图，设的内切圆的圆心为M，则M在的平分线Ox上，过点M分别作于，于，由得出四边形MTAN为正方形，设Fc,0，直线：，则.又因为，所以.因为，所以.因为，所以双曲线的离心率为.故答案为：.四、解答题：（本题共6小题，共70分.17题10分，18~22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（2023高二上·东莞月考）17.已知直线和圆．（1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；（2）求过点且与圆相切的直线方程．【答案】（1）相交，截得的弦长为2.（2）或.【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.【小问1详解】由圆可得，圆心,半径，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，直线被圆截得的弦长为.【小问2详解】若过点的直线斜率不出在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，满足题意；若过点且与圆相切的直线斜率存在，则设切线方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，所以切线方程为，即，综上，过点且与圆相切的直线方程为或.（2023高二上·东莞月考）18.已知数列满足，．（1）证明：是等差数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知整理可得，进而作差得出，即可得出证明；（2）根据（1）求出，代入根据裂项法化简可得，相加整理即可得出答案.【小问1详解】由已知，可得，，则.又，所以是首项为1，公差为1的等差数列．【小问2详解】由（1）可得，所以，所以，则，故．（2023高二上·东莞月考）19.已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦AB被点平分.（1）求直线的方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）已知中点坐标可用点差法解决，将点代入曲线作差，再结合中点坐标公式和两点斜率公式，可得直线斜率，再用点斜式可得直线方程。（2）利用已知条件，将直线与椭圆联立，再结合韦达定理和三角形的面积公式，进而得出三角形的面积.【详解】（1）解：因为弦AB被点平分，所以设交点坐标，，，，又将，代入椭圆得，两式相减可得：，所以直线的斜率，故直线的方程为，即为.（2）解：，联立椭圆与直线方程，得，所以，，所以，又因为直线过点，所以.【点睛】本题主要考查直线与曲线相交问题，其中中点问题常用点差法解决，属于中档题.（2023高二上·东莞月考）20.如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面．（1）若是线段的中点，求证：平面；（2）若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）连接，根据已知得出.进而根据面面垂直以及线面垂直的性质定理得出.然后根据菱形的性质得出.进而即可根据线面垂直的判定定理，得出证明；（2）连接，先根据已知推得面.以为原点，建立直角坐标系．设，得出各点的坐标，根据向量共线得出点坐标，求出平面以及平面的法向量.根据已知列出方程，结合图象，即可得出的值.【小问1详解】连接，因为为正三角形且是的中点，所以.因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.因为四边形是菱形，所以.又，所以.因为平面，平面，且，所以平面．【小问2详解】连接，因为四边形是菱形，所以，.又，所以为等边三角形.又是的中点，所以.平面平面，平面平面，平面，所以，面.以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴、所在直线为轴，如图建立直角坐标系．设，则，，，所以，，，.又，所以.设面法向量为，因为，，所以，即，取，得.设，则，，由得，，即，即，则，则，.设n=a,b,c为面，所