同济大学第六版高数第3章课件中值定理与导数的应用教学案例_第1页
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第一节中值定理第三章中值定理与导数的应用y=f(x)预备知识一、罗尔(Rolle)定理AB(几何解释）罗尔定理若函数f(x)满足证：证即为方程的小于1的正实根.矛盾,一个小于1的正实根例1证明方程有且仅有注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,y=f(x)y=f(x)y=f(x)其结论可能不成立。二、拉格朗日(Lagrange)中值定理(几何解释)拉格朗日定理若函数f(x)满足拉格朗日中值公式推论若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内恒有则函数f(x)在[a,b]上是一个常数.故f(x)是一个常数∵

f(x)在[x1,x2]连续，在(x1,x2)可导，例2证例3证:由上式得∵

f(t)在[0,x]连续，在(0,x)可导，三、柯西(Cauchy)中值定理柯西定理如果函数f(x)、F(x)满足使等式成立（1）在闭区间[a,b]上连续,（2）在开区间(a,b)内可导,且在(a,b)内每一点处均不为零，则在(a,b)内至少有一点,分析:证设罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理注：四：小结A几何解释：一条连续曲线AB，若除端点外，处处有不垂直于x轴切线，则该曲线上至少

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