2024-2025学年河南省南阳市高三上册第二次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年河南省南阳市高三上学期第二次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．集合，若．则实数a的范围是（

）A． B．C．或 D．或2．已知、为非零向量，未知数，则“函数为一次函数”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为（）A．2020 B．2019 C．1 D．－14．已知向量满足，，若，则向量的夹角为（

）A． B． C．或 D．或5．设函数是定义在0,+∞上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．6．若，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．数列an满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9二、多选题（本大题共3小题）9．已知数列满足且的前项和为，则（

）A．是等差数列 B．为周期数列C．成等差数列 D．成等比数列10．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（

）A．在中，若，则B．若在线段上，且，，，，则的面积为8C．若，则是等腰三角形D．若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为11．已知函数，则（

）A．在上单调递减B．当和时，函数分别取得极大值点、极小值点C．无最大值，有最小值D．当时，有三个零点三、填空题（本大题共3小题）12．已知，则.13．已知向量，，，满足，，，，则在方向上的投影向量为.14．已知不等式恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列an的前项和为，其中，且.(1)求an(2)设，求bn的前项和.16．如图，在凸四边形中，已知．(1)若，，求的值；(2)若，四边形的面积为4，求的值．17．已知函数.（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）当时，判断的零点个数并说明理由；（3）若恒成立，求的取值范围.18．已知函数，为的导函数．（1）设，求的单调区间；（2）若，证明：．19．我们规定：若数列为递增数列且也为递增数列，则为“—数列”.(1)已知：，，，数列，，中其中只有一个—数列，它是：__________（不需说明理由）；并从另外两个数列中任选一个证明其不是一数列；(2)已知数列满足：，，为的前项和，试求的通项并判断数列是否为—数列并证之；(3)已知数列、均为—数列，且，，求证：数列也为—数列.

答案1．【正确答案】A【详解】因为，则，当时，不成立，所以，所以满足，当时，因为，所以，又因为，所以，所以，当时，因为，所以，又因为，所以，所以，综上可知.故选：A.2．【正确答案】A【详解】，若，则，如果同时有，则函数恒为0，不是一次函数，故是不必要条件；如果是一次函数，则，故，故是充分条件.故选：A．3．【正确答案】D【分析】对曲线求导，求出导函数，再把点代入导函数中，求出，再利用对数的运算性质化简，即可求出答案.【详解】因为，所以切线方程是，所以，所以故选：D.4．【正确答案】B【分析】利用，结合数量积的运算律可解方程求得，结合可确定，由此可得结果.【详解】由得：，即，，解得：或；，，，又，.故选：B.5．【正确答案】A【详解】由条件，∴在0,+∞上单调递减，所求不等式可化为，故，∴.故选：A．6．【正确答案】C【详解】因为，所以，因为，所以，故，，，又因为，，，由基本不等式就可得，当且仅当，时等号成立，所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.故选：C.7．【正确答案】A【详解】由题意可得：，因为在区间上单调递增，因为，，所以，解得：，又在区间上有且仅有1个零点，所以，，结合，所以，所以这个零点可能为或或，当时，，，解得：，当时，，，解得：，当时，无解，综上：的取值范围为.故选：A.8．【正确答案】C【详解】数列满足①，当时，，即，当时，②，

由②①得，数列的所有奇数项，，数列的所有偶数项，，综上，数列的通项公式为.记，所以数列的前项和为：，由得，即，因为，随着的增大而增大，故当时，刚好满足，所以，的最小值为.

故选：C.9．【正确答案】AB【分析】根据已知可得、为奇数时，为偶数时，结合等差、等比数列定义判断各项的正误.【详解】由且则且，故，所以在上成立，A对；综上，为奇数时，为偶数时，B对；为奇数，为偶数，不成等差数列，C错；不成等比数列，D错.故选：AB10．【正确答案】ABD【详解】对于A，，由正弦定理可得，所以，故A正确；对于B，由在线段上，且，，，，则，设，，在中，利用余弦定理，整理得，解得或（舍去），所以，，在中，可得，则，所以的面积为，故B正确；对于C，由，可得，整理得，由正弦定理得，可得，因为，可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在中，因为，，则点在以为弦的一个圆上，由正弦定理可得外接圆的直径为，即，当点在外部时，如图所示，因为，可得，所以，所以的长度为，同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是，所以动点的轨迹的长度为，故D正确．故选：ABD.11．【正确答案】ACD【详解】，对于A，当时，，，所以在上单调递减，故A正确；对于B，当时，f'x>0，当时，f所以在上单调递增，上单调递减，所以当时，函数取得极大值点，当时，，，在上单调递增，但不存在，所以当时，函数不是极小值点，故B错误；对于C，当时，，当时，，又，的大致图象如图所示：所以的值域为，所以有最小值，无最大值，故C正确；对于D，当时，在上单调递增，因为，所以，，所以在上有一个零点，当时，，当时，，，结合的大致图象可知，在上有一个零点，在上有一个零点，综上，当时，有三个零点.故D正确.

故选：ACD.12．【正确答案】【详解】，则，故.故答案为.13．【正确答案】【详解】，，，，，，则在方向上的投影向量为.故答案为.14．【正确答案】【详解】令，可得，当时，可得f'x<0，当时，可得f'x>0，可得，即，所以，由不等式，可得，因为，当且仅当时等号成立，即，解得，所以实数的取值范围为.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到时，，再由，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得到，利用错位相减法求和，即可求解.【详解】（1）由，可得，则，两式相减，可得，即，又由，易知，所以当时，，所以数列an的通项公式为.（2）因为，可得，则，所以，两式相减得，所以.16．【正确答案】(1)；(2)﹒【分析】(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根据即可求；(2)在△、△中，分别由余弦定理求出，两式相减可得cosA与cosC的关系式；又由的sinA与sinC的关系式；两个关系式平方后相加即可求出cos(A＋C)﹒【详解】(1)在△中，∵，∴．在△中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．(2)在△、△中，由余弦定理得，，，从而①，由得，②，得，，∴．17．【正确答案】（1）；（2）无零点，理由见解析；（3）.（1）利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求导，并判断导数的单调性，以及利用零点存在性定理说明存在使，并利用导数判断函数的单调性，证明函数的最小值的正负，说明零点个数；（2）不等式等价于，构造函数，利用函数的单调性可知，利用参变分离的方法，求的取值范围.【详解】（1）当时，，，，切线方程为，即（2）当时，，易知在0,+∞单调递增，且，存在唯一零点，且当时，单调递减，当时，单调递增.对两边取对数，得：无零点.（3）由题意得，，即，即，易知函数单调递增，，0单调递增极大值单调递减，令，则，令得，列表得，.18．【正确答案】（1）的单调递增区间是；单调递减区间是；（2）证明见解析.【详解】（1）由已知，，所以，，令，得，解得，令，得，解得，故的单调递增区间是；单调递减区间是.（2）要证，只需证：．设，，则．记，则．当时，，又，，所以；

当时，，，所以，又，，所以．

综上，当时，恒成立，所以在上单调递增．所以，，即，

所以，在上递增，则，证毕．19．【正确答案】(1)；条件选择见解析，证明见解析(2)；不是，证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）空格处填.原因如下：因为，则，由幂函数与在上都是增函数，由，故数列与都是递增数列，则为“数列”.若选，下面证明不是数列.证明：由，则，.故，所以不是递增